[Elettrotecnica] Circuito RLC - Risposta con ingresso zero

[Sirio1988]

Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per la risoluzione del seguente problema.

Valutare la risposta con ingresso zero di un circuito RLC lineare tempo-invariante (caso sottosmorzato).
Condizioni iniziali: $i_L(0)=I_0$, $v_L(0)=V_0$
Si ha poi che
$alpha=G/(2C)$ coefficiente di smorzamento
$omega_0=1/sqrt(LC)$ pulsazione propria
Da LkT e LKC si ottiene
$(partial^2i_L)/(partialt^2)+2alpha(partial i_L)/(partial t)+omega_0^2 i_L=0$

La soluzione nel caso sottosmorzato è del tipo:

$i_L=Ke^(-alpha)cos(omega_d t+theta)$

con $omega_d=sqrt(omega_0^2-alpha^2)$

Devo valutare le costanti k e $theta$

Dato che $v_L(t)=L(di_L)/(dt)$ si ha allora che

$v_L(t)=-alpha k L e^(-alpha t) cos(omega_d t+theta)-k omega_d L e^(-alphat) sin(omega_d t+theta)=$
$-Lk[alpha e^(-alpha t) cos(omega_d t+theta)+omega_d e^(-alphat) sin(omega_d t+theta)]$

Imponendo le condizioni iniziali si trova che:

${(V_0=-Lk[alpha cos(theta)+omega_d sin(theta)]),(I_0=kcos(theta)):}$

Mi sapreste spiegare che strategia devo usare per risolvere questo sistema?

[elgiovo]

E' facile:\(\displaystyle k = \frac{I_0}{\cos(\theta)} \). Sostituendo nella prima il primo termine tra parentesi diventa una costante, il secondo conterrà un termine \(\displaystyle \tan(\theta) \). Usi un'arcotangente per risolvere in \(\displaystyle \theta \) e poi hai \(\displaystyle k \) dalla seconda.

[Sirio1988]

"elgiovo":E' facile:\( \displaystyle k = \frac{I_0}{\cos(\theta)} \). Sostituendo nella prima il primo termine tra parentesi diventa una costante, il secondo conterrà un termine \( \displaystyle \tan(\theta) \). Usi un'arcotangente per risolvere in \( \displaystyle \theta \) e poi hai \( \displaystyle k \) dalla seconda.

Si può risolvere anche in maniera diversa. Possiamo infatti scrivere la soluzione nel seguente modo

$i_L (t)=e^(-αt) (k_1 cos⁡(ω_d t)+k_2 sin⁡(ω_d t) )$

Si ha poi che
$v_L (t)=L (di_L)/dt (t)=-αLe^(-αt) (k_1 cos⁡(ω_d t)+k_2 sin⁡(ω_d t) )+Le^(-αt) (-k_1 ω_d sin⁡(ω_d t)+k_2 ω_d cos⁡(ω_d t) )$


$I_0=i_L (0)=k_1$
$V_0=v_L (0)=-αLk_1+k_2 Lω_d$
Quindi
$k_1=I_0$
$k_2 =V_0/(Lω_d )+(αI_0)/ω_d$
$i_L (t)=e^(-αt) [I_0 cos⁡(ω_d t)+(V_0/(Lω_d )+(αI_0)/ω_d ) sin⁡(ω_d t) ]$
A questo punto è facile trovare $v_L$