[Elettrotecnica] Circuito rc con generatore sinusoidale
Ciao a tutti. Sto trovando non poca difficoltà nel capire la soluzione particolare della seguente equazione differenziale:
$(dVc(t))/dt+1/tau*Vc(t)=1/tau*Vm*cos(omega*t)$
Il mio modo di procedere è il seguente:
soluzione omogenea:
$(dVc(t))/dt+1/tau*Vc(t)=0$
$(dVc(t))/dt=-1/tau*Vc(t)$
$(dVc(t))/(Vc(t))=-1/tau*dt$
integro:
$ln(|Vc(t)|)=-t/tau+c$
$Vc(t)=e^(-t/tau+c)$
$Vc(t)=e^(-t/tau)*k$
Applicando il metodo di variazione della costante e rendo la costante una funzione di t
$Vc(t)=e^(-t/tau)*k(t)$
$(dVc(t))/dt=-1/tau*e^(-t/tau)*k(t)+e^(-t/tau)*(dk(t))/dt$
e vado a sostituire $Vc(t)$ e $(dVc(t))/dt$ nell'equazione differenziale iniziale:
$-1/tau*e^(-t/tau)*k(t)+e^(-t/tau)*(dk(t))/dt+1/tau*e^(-t/tau)*k(t)=1/tau*Vm*cos(omega*t)$
$e^(-t/tau)*(dk(t))/dt=1/tau*Vm*cos(omega*t)$
$(dk(t))/dt=e^(t/tau)*1/tau*Vm*cos(omega*t)$
integro:
$k(t)=\inte^(t/tau)*1/tau*Vm*cos(omega*t) dt$
ed ora finisce la festa. Se lo risolvo per parti viene fuori qualcosa di totalmente diverso rispetto al risultato proposto dal libro (Circuiti Elettrici di Renzo Perfetti) che propone questo risultato:
$Vc(t)=K*e^(-t/tau)+A*cos(omega*t + phi)$
Scusate per il papiro e grazie in anticipo.
$(dVc(t))/dt+1/tau*Vc(t)=1/tau*Vm*cos(omega*t)$
Il mio modo di procedere è il seguente:
soluzione omogenea:
$(dVc(t))/dt+1/tau*Vc(t)=0$
$(dVc(t))/dt=-1/tau*Vc(t)$
$(dVc(t))/(Vc(t))=-1/tau*dt$
integro:
$ln(|Vc(t)|)=-t/tau+c$
$Vc(t)=e^(-t/tau+c)$
$Vc(t)=e^(-t/tau)*k$
Applicando il metodo di variazione della costante e rendo la costante una funzione di t
$Vc(t)=e^(-t/tau)*k(t)$
$(dVc(t))/dt=-1/tau*e^(-t/tau)*k(t)+e^(-t/tau)*(dk(t))/dt$
e vado a sostituire $Vc(t)$ e $(dVc(t))/dt$ nell'equazione differenziale iniziale:
$-1/tau*e^(-t/tau)*k(t)+e^(-t/tau)*(dk(t))/dt+1/tau*e^(-t/tau)*k(t)=1/tau*Vm*cos(omega*t)$
$e^(-t/tau)*(dk(t))/dt=1/tau*Vm*cos(omega*t)$
$(dk(t))/dt=e^(t/tau)*1/tau*Vm*cos(omega*t)$
integro:
$k(t)=\inte^(t/tau)*1/tau*Vm*cos(omega*t) dt$
ed ora finisce la festa. Se lo risolvo per parti viene fuori qualcosa di totalmente diverso rispetto al risultato proposto dal libro (Circuiti Elettrici di Renzo Perfetti) che propone questo risultato:
$Vc(t)=K*e^(-t/tau)+A*cos(omega*t + phi)$
Scusate per il papiro e grazie in anticipo.
Risposte
La soluzione particolare è:
$V_(cp) = V_m/(1+omega^2*tau^2)*(cos(omega t) + omega tau*sin(omega t))$
come puoi facilmente verificare per sostituzione nell'equazione differenziale. Quindi al limite la soluzione è del tipo $V_c = K*e^(-t/tau)+Acos(omega t + phi)$.
Prova adesso ad andare avanti con la variazione delle costanti arbitrarie, anche se non è un buon metodo per risolvere questo tipo di problemi. Qui comunque ti metto la soluzione con tale metodo.
La risoluzione migliore è con il metodo dei fasori, ma se non lo avete ancora fatto, allora conviene usare il metodo della somiglianza (ovvero in questo caso se ho un coseno in ingresso cerco una soluzione come combinazione di seni e coseni).
$V_(cp) = V_m/(1+omega^2*tau^2)*(cos(omega t) + omega tau*sin(omega t))$
come puoi facilmente verificare per sostituzione nell'equazione differenziale. Quindi al limite la soluzione è del tipo $V_c = K*e^(-t/tau)+Acos(omega t + phi)$.
Prova adesso ad andare avanti con la variazione delle costanti arbitrarie, anche se non è un buon metodo per risolvere questo tipo di problemi. Qui comunque ti metto la soluzione con tale metodo.
La risoluzione migliore è con il metodo dei fasori, ma se non lo avete ancora fatto, allora conviene usare il metodo della somiglianza (ovvero in questo caso se ho un coseno in ingresso cerco una soluzione come combinazione di seni e coseni).
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Sei stato davvero gentilissimo.
Ho modificato il risultato da me scritto erroneamente perchè effettivamente la soluzione è del tipo
$Acos(omega t+phi)$
Nel mio caso ho
$A=(Vm)/(1+omega^2 tau^2)$
ma non capisco come arrivi a scrivere $cos(omega t+phi)$ dalla forma $cos(omega t)+omega tau sen(omega t)$
Ho modificato il risultato da me scritto erroneamente perchè effettivamente la soluzione è del tipo
$Acos(omega t+phi)$
Nel mio caso ho
$A=(Vm)/(1+omega^2 tau^2)$
ma non capisco come arrivi a scrivere $cos(omega t+phi)$ dalla forma $cos(omega t)+omega tau sen(omega t)$
Si può scrivere la soluzione particolare in questo modo:
$V_(cp)=V_m/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*(1/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*cos(omega*t)-(-omega*tau)/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*sin(omega*t))$
Ora i termini $x=1/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)$ e $y=(-omega*tau)/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)$ sono minori di 1 e tali che $x^2+y^2 =1$. Quindi sono assimilabili rispettivamente al coseno e al seno di un angolo $Phi$ definito dal loro rapporto:
$Phi=-arctg(omega*tau)$
e quindi dalle formule di addizione degli angoli risulterà:
$cos(omega*t+Phi)=1/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*cos(omega*t)+(omega*tau)/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*sin(omega*t)$
$A=V_m/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)$
$V_(cp)=V_m/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*(1/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*cos(omega*t)-(-omega*tau)/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*sin(omega*t))$
Ora i termini $x=1/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)$ e $y=(-omega*tau)/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)$ sono minori di 1 e tali che $x^2+y^2 =1$. Quindi sono assimilabili rispettivamente al coseno e al seno di un angolo $Phi$ definito dal loro rapporto:
$Phi=-arctg(omega*tau)$
e quindi dalle formule di addizione degli angoli risulterà:
$cos(omega*t+Phi)=1/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*cos(omega*t)+(omega*tau)/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)*sin(omega*t)$
$A=V_m/(1+omega^2*tau^2)^(1/2)$
Spiegazione perfetta, grazie mille.
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