[Elettrotecnica] Circuito PAS con interruttore
Buonasera, sto svolgendo questo esercizio e non ne vengo a capo con due richieste:
I dati sono: e(t)=100cos(100t), C=0,001F, R=5ohm, L=0,10H, T=1000s.
Le richieste sono:
1) tensione ai capi del condensatore per $t=0^-$;
2) corrente che percorre il condensatore per $t=0^+$;
3) valore efficace della tensione ai capi del condensatore per $t=\infty$;
4) costanti di tempo;
5) valore medio della corrente erogata dal generatore per t=T.
Ovviamente risolvo il circuito nel dominio dei fasori. I miei risultati per il momento sono:
1) $V_C=56,568-j28,28$ (con un semplice partitore di tensione);
Ritorno nel dominio del tempo: $v_C(t)=|V_C|sqrt(2)cos(100t-0,4636)$, dove $-0,4636=arctg(\frac{-28,28}{56,568})$, da cui $v_C(0)=|V_C|sqrt(2)cos(-0,4636)=80V$.
Giusto?
3) calcolo la corrente erogata dal generatore dopo una serie di operazioni di serie e parallelo ($I_E$), calcolo la corrente che fluisce nel ramo centrale mediante partitore di corrente ($I_C$), calcolo la tensione sul condensatore mediante banale legge di Ohm e infine ne calcolo il modulo: $|V_C|=58,72V$. Questo è il valore efficace.
4) Si trovano facilmente $\tau_1=-4,25*10^{-3}s$ e $\tau_2=0,01175s$.
L'idea che mi sono fatto per rispondere alla 5 è che, per $t=T$, il circuito può essere considerato a regime, perciò si tratta di risolvere un circuito in continua, ma non riesco ad inquadrare la parte della domanda "valore medio della corrente erogata dal generatore".
Per rispondere alla 2 sono in alto mare. Non capisco da dove poter partire
Grazie a chi mi risponderà!
I dati sono: e(t)=100cos(100t), C=0,001F, R=5ohm, L=0,10H, T=1000s.
Le richieste sono:
1) tensione ai capi del condensatore per $t=0^-$;
2) corrente che percorre il condensatore per $t=0^+$;
3) valore efficace della tensione ai capi del condensatore per $t=\infty$;
4) costanti di tempo;
5) valore medio della corrente erogata dal generatore per t=T.
Ovviamente risolvo il circuito nel dominio dei fasori. I miei risultati per il momento sono:
1) $V_C=56,568-j28,28$ (con un semplice partitore di tensione);
Ritorno nel dominio del tempo: $v_C(t)=|V_C|sqrt(2)cos(100t-0,4636)$, dove $-0,4636=arctg(\frac{-28,28}{56,568})$, da cui $v_C(0)=|V_C|sqrt(2)cos(-0,4636)=80V$.
Giusto?
3) calcolo la corrente erogata dal generatore dopo una serie di operazioni di serie e parallelo ($I_E$), calcolo la corrente che fluisce nel ramo centrale mediante partitore di corrente ($I_C$), calcolo la tensione sul condensatore mediante banale legge di Ohm e infine ne calcolo il modulo: $|V_C|=58,72V$. Questo è il valore efficace.
4) Si trovano facilmente $\tau_1=-4,25*10^{-3}s$ e $\tau_2=0,01175s$.
L'idea che mi sono fatto per rispondere alla 5 è che, per $t=T$, il circuito può essere considerato a regime, perciò si tratta di risolvere un circuito in continua, ma non riesco ad inquadrare la parte della domanda "valore medio della corrente erogata dal generatore".
Per rispondere alla 2 sono in alto mare. Non capisco da dove poter partire
Grazie a chi mi risponderà!
Risposte
Per la (1) ti bastava ricordare che usando fasori a base cosinusoidale e a valore massimo, la parte reale corrisponde al valore della grandezza per t=0; avendo usato fasori a valore efficace dovevi moltiplicarla per radice di due.
per la (2) devi solo ricordare che la tensione su C e la corrente su L non possono presentare discontinuità e quindi ...
per la (3) ok
per la (4) non ho fatto il calcolo, posta il tuo metodo
per la (5) il circuito è di certo a regime, ma sinusoidale non stazionario.
per la (2) devi solo ricordare che la tensione su C e la corrente su L non possono presentare discontinuità e quindi ...
per la (3) ok
per la (4) non ho fatto il calcolo, posta il tuo metodo
per la (5) il circuito è di certo a regime, ma sinusoidale non stazionario.
"RenzoDF":
Per la (1) ti bastava ricordare che usando fasori a base cosinusoidale e a valore massimo, la parte reale corrisponde al valore della grandezza per t=0; avendo usato fasori a valore efficace dovevi moltiplicarla per radice di due.
Quindi il mio calcolo è sbagliato e quello giusto prevede solamente di considerare il $100$ che moltiplica la cosinusoide (sempre imponendo t=0)?
Applicando il mio metodo invece dovrei semplicemente dividere per $sqrt(2)$ il valore di e(t) quando t=0, trovando il valore corrispondente alla tensione continua nel mondo dei fasori. Da qui dovrei rimoltiplicare ancora per $sqrt(2)$ per riottenere il valore massimo, giusto?
"RenzoDF":Ora mi metto e provo ad affrontare il nemico
devi solo ricordare che la tensione su C e la corrente su L non possono presentare discontinuità e quindi ...
"RenzoDF":
posta il tuo metodo
Spengo il generatore, faccio avvenire la manovra dell'interruttore, taglio il circuito in un punto interessato dal transitorio e ottengo la seguente equazione: $Z(\lambda)=R+\lambdaL+Rparal(\frac{-1}{\lambdaC})=0$.
Le soluzioni sono $\lambda_1$ e $\lambda_2$ e, ricordandomi che $\tau=-1/\lambda$, si trovano le due costanti.
"RenzoDF":
ma sinusoidale non stazionari
Nella mia ignoranza questo commento mi dice tutto e nulla
Ho un tarlo per la testa, riferito al punto 3.
Te mi hai dato la conferma che i miei conti siano giusti, ma all'infinito non dovrei considerare induttore->corto circuito e condensatore->circuito aperto?
"Fabbiooo":
... Quindi il mio calcolo è sbagliato ,..
No, è corretto, ti dicevo solo che c'era un metodo più rapido, usando fasori a valore massimo poi, non serviva nemmeno moltiplicare la parte reale per radice di due.
"Fabbiooo":
... Spengo il generatore, faccio avvenire la manovra dell'interruttore, taglio il circuito in un punto interessato dal transitorio e ottengo la seguente equazione: $Z(\lambda)=R+\lambdaL+Rparal(\frac{-1}{\lambdaC})=0$.
Non concordo su quel meno per l'impedenza di C.
"Fabbiooo":
... Nella mia ignoranza questo commento mi dice tutto e nulla ...
Sto solo dicendo che per t=infinito il circuito non è in "continua" è in regime sinusoidale.
"Fabbiooo":
... Ho un tarlo per la testa, riferito al punto 3.
Te mi hai dato la conferma che i miei conti siano giusti, ma all'infinito non dovrei considerare induttore->corto circuito e condensatore->circuito aperto?
No, come detto sopra, il circuito è in regime SINUSOIDALE.
"RenzoDF":
Non concordo su quel meno per l'impedenza di C.
Sì hai ragione, ho fatto confusione ed erroneamente ho proseguito i conti con quel - in mezzo.
"RenzoDF":
il circuito è di certo a regime, ma sinusoidale non stazionario
Ok, è in regime sinusoidale, ma quindi mi si riconfigura la situazione analizzata al punto (3) e la corrente erogata dal generatore è $I_E=2,438+j0,975A$
Per quanto riguarda il primo punto, quella fase che ho calcolato è giusta sia di modulo sia di segno? So che $cos(-0,4636)=cos(0,4636)=0,89$, ma se avessi avuto un seno il segno avrebbe avuto un peso nel calcolo finale. Perdonami per la domanda banale, ma i miei professori mi hanno traumatizzato quando si tratta di calcolare una fase tirando in mezzo l'arcotangente
@ Fabbiooo Ad evitare futuri traumi ecco una tabellina che calcola la fase ( rispetto all'asse orizzontale positivo )di un vettore
$ bar x = a+j b $
fase $phi(x)= arctan( b/a) $ se $ a>=0 $ ;$ =arctan( b/a) -pi $ se $ a<0, b<0 $ ; $=arctan (b/a) + pi$ se $ a<0, b>0 $
$ bar x = a+j b $
fase $phi(x)= arctan( b/a) $ se $ a>=0 $ ;$ =arctan( b/a) -pi $ se $ a<0, b<0 $ ; $=arctan (b/a) + pi$ se $ a<0, b>0 $
Direi che sia sufficiente ricordare che se a < 0, venendo il fasore a trovarsi nel secondo o nel terzo quadrante, all'arcotangente si deve sempre sommare (o equivalentemente sottrarre) pigreco.
"Fabbiooo":
... Ok, è in regime sinusoidale, ma quindi mi si riconfigura la situazione analizzata al punto (3) e la corrente erogata dal generatore è $I_E=2,438+j0,975A$
Certo, e quindi, essendo la corrente una grandezza sinusoidale, sarà semplice risalire al valore medio, da quello efficace o da quello massimo, non credi?
"RenzoDF":
Direi che è sufficiente ricordare che se a < 0, venendo il fasore a trovarsi nel secondo o nel terzo quadrante, all'arcotangente si deve sempre sommare (o equivalentemente sottrarre) pigreco.
Un lapsus , adesso è corretto anche l'ultimo caso
Quindi il risultato $v_C(t)=|V_C|sqrt(2)cos(100t-0,4636)$ è giusto sia dal punto di vista del modulo sia del segno.
Me la segnerò questa tabellina
Il valore medio di una grandezza sinusoidale è 0. Confermi?
Me la segnerò questa tabellina
"RenzoDF":
Certo, e quindi, essendo la corrente una grandezza sinusoidale, ti sarà semplice come risalire al valore medio da quello efficace o da quello massimo
Il valore medio di una grandezza sinusoidale è 0. Confermi?
"Fabbiooo":
... Il valore medio di una grandezza sinusoidale è 0. Confermi?
No.
... altrimenti perché ti avrei detto che puoi ottenerlo dal valore massimo?
Ovviamente poi tutto dipende da quello che ti hanno raccontato a lezione.
"Fabbiooo":
Quindi il risultato $v_C(t)=|V_C|sqrt(2)cos(100t-0,4636)$ è giusto sia dal punto di vista del modulo sia del segno.
Scusa, ma non te li disegni mai i fasori? ... in quel modo non puoi di certo sbagliare.
"RenzoDF":
No.
Mi hai fatto cadere una certezza ahahah
A lezione mi è stato detto che una qualunque sinusoide non traslata ha valore medio nullo in un periodo completo.
"RenzoDF":
ma non te li disegni mai i fasori
Più che disegnarli, li immagino analizzando i segni del numero complesso, solo che non mi è mai stata data esplicitamente una tabellina come quella di Camillo che mi dica cosa aggiungere/togliere di volta in volta in base ai segni
"Fabbiooo":
... A lezione mi è stato detto che una qualunque sinusoide ha valore medio nullo in un periodo completo
Ah beh, c'era da aspettarselo!
.... H-demia.Che le grandezze alternate abbiano valor medio nullo sta nella loro definizione, ma se nel mondo reale vai a raccontare che una grandezza sinusoidale ha valor medio nullo, ti licenziano in tronco.
"Fabbiooo":
... Più che disegnarli, li immagino analizzando i segni del numero complesso, solo che non mi è mai stata data esplicitamente una tabellina come quella di Camillo che mi dica cosa aggiungere/togliere di volta in volta in base ai segni
Io ti consiglio caldamente di disegnarli poi, come ti dicevo, basta guardare il segno della parte reale per capire se devi sommare o meno pigreco al valore fornito dall' arcotangente della calcolatrice.
... se poi hai una calcolatrice con ATAN2, l'argomento sarà sempre corretto.
"RenzoDF":
se nel mondo reale vai a raccontare che una grandezza sinusoidale ha valor medio nullo, ti licenziano in tronco
"RenzoDF":
se poi hai una calcolatrice con ATAN2, l'argomento sarà sempre corretto
Uso il Matlab con questa funzione per esercitarmi! I dubbi mi erano venuti perchè uso solo la calcolatrice per fare prima
Quindi, tornando a noi e alla richiesta 5, la risposta che dovrei dare quale sarebbe? Essendo sbagliata la mia considerazione riguardo il valore medio nullo, l'unica alternativa che mi viene è considerare il valore massimo e il valore minimo della sinusoide e calcolarne la media
E in quel modo che risultato otterresti?
Ancora 0
Supponevo che la curiosità ti portasse autonomamente alla risposta.
In Elettrotecnica, quando ci si riferisce al valore medio di una grandezza sinusoidale, normalmente, si intende il valor medio della singola semionda, ovvero il valor medio del modulo
$Y_m=2/piY_{M}$
ad ogni modo, se non ti è stato detto nulla in proposito, segui quello che intende il tuo insegnante.
In Elettrotecnica, quando ci si riferisce al valore medio di una grandezza sinusoidale, normalmente, si intende il valor medio della singola semionda, ovvero il valor medio del modulo
$Y_m=2/piY_{M}$
ad ogni modo, se non ti è stato detto nulla in proposito, segui quello che intende il tuo insegnante.
Non mi è stato detto nulla di tutto ciò a lezione, quindi presumo che la risposta che il mio prof volesse fosse 0A
Ho provato a rispondere alla domanda 2 e vorrei un tuo riscontro sui calcoli.
Le considerazioni che ho fatto sono: per studiare la condizione in $t=0^+$ devo studiare il circuito nell'istante $t=0^-$. So già che $v_C(0^-)=80V$, perciò in $t=0^+$ il circuito è costituito dalla sola maglia di sinistra in cui, al posto del condensatore, sostituisco un generatore di tensione da 80V (la maglia di destra non la considero perchè $i_L(0^-)=0A$ e tale condizione permane in $t=0^+$).
A questo punto ho un circuito con un generatore in continua e uno in alternata, perciò lo risolvo ricorrendo al PSE.
_Spegnendo il generatore di tensione a sostituzione del condensatore trovo $I_C=E/R=14,14V=|I_C|$. Poichè ho fase nulla, ottengo, nel dominio del tempo: $i_C(0^-)'=sqrt(2)*14,14=20V$.
_Spegnendo il generatore E trovo $i_C(0^-)''=\frac{v_C(0^-)}{R}=16A$.
Sovrapponengo gli effetti trovo la risposta alla richiesta: $i_C(0^+)=i_C(0^-)'-i_C(0^-)''=4A$
Ho provato a rispondere alla domanda 2 e vorrei un tuo riscontro sui calcoli.
Le considerazioni che ho fatto sono: per studiare la condizione in $t=0^+$ devo studiare il circuito nell'istante $t=0^-$. So già che $v_C(0^-)=80V$, perciò in $t=0^+$ il circuito è costituito dalla sola maglia di sinistra in cui, al posto del condensatore, sostituisco un generatore di tensione da 80V (la maglia di destra non la considero perchè $i_L(0^-)=0A$ e tale condizione permane in $t=0^+$).
A questo punto ho un circuito con un generatore in continua e uno in alternata, perciò lo risolvo ricorrendo al PSE.
_Spegnendo il generatore di tensione a sostituzione del condensatore trovo $I_C=E/R=14,14V=|I_C|$. Poichè ho fase nulla, ottengo, nel dominio del tempo: $i_C(0^-)'=sqrt(2)*14,14=20V$.
_Spegnendo il generatore E trovo $i_C(0^-)''=\frac{v_C(0^-)}{R}=16A$.
Sovrapponengo gli effetti trovo la risposta alla richiesta: $i_C(0^+)=i_C(0^-)'-i_C(0^-)''=4A$
Ok, ma bastava osservare che e(0)=100 volt e di conseguenza la corrente nel resistore, uguale a quella nel condensatore, pari a \((100\ \text V-80\ \text V)/5 \ \Omega\).
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