[Elettrotecnica] Circuito magnetico
Buongiorno a tutti, ho svolto il seguente circuito magnetico, ma non sono convinto delle soluzioni calcolate 
I dati sono $N_1=500$, $N_2=25$, $I_1=750A$, $I_2=0A$, $A=0.25m^2$, $L=0.50m$, $\mu_r=1250$
Le richieste sono:
1) Autoinduttanza $L_{11}$;
2) Autoinduttanza $L_{22}$;
3) Mutua induttanza $M_{12}$;
4) Flusso nel ramo verticale inferiore;
5) Somma dei flussi incidenti nel nodo centrale.
Innanzitutto ho sviluppato il modello matematico, ottenendo:
dove le parti del circuito evidenziate in verde sono quelle derivanti dal fatto che il campo magnetico è solenoide di riluttanza nulla nel vuoto.
I punti evidenziati in arancione sono tutti equipotenziali, perciò posso ridisegnare in una maniera più "amichevole" il circuito:
R è uguale per tutti i rami e vale $R=\frac{1}{\mu_0\mu_r}\frac{L}{A}=1273.24H^-1$ e ho messo in evidenza tutte le direzioni dei flussi.
Sulla domanda 1 e sulla 2 non dovrei aver avuto problemi, a meno di errori di calcolo con la calcolatrice:
1) $L_{11}=\frac{N_1^2}{R_{eq}}=147.26H$, dove $R_{eq}=R+\frac{R\R/2}{R+R/2}=1697.7H^{-1}$;
2) $L_{22}=\frac{N_2^2}{R_{eq}}=0.3681H$, dove $R_{eq}=R+\frac{R\R/2}{R+R/2}=1697.7H^{-1}$.
Sulla 3 qualcosa non mi convince:
$M_{12}=\frac{\Phi_{C12}}{I_2}$, dove $\Phi_{C12}$ è il flusso concatenato con 1 prodotto da 2.
Per proseguire occorre definire tale flusso concatenato: $\Phi_{C12}=N_1\Phi_1$, dove $\Phi_1=\Phi_2\frac{R/2}{R+R/2}$ e $\Phi_2=\frac{N_2I_2}{R_{eq}}$.
Alla fine della fiera, mettendo tutte le scritture insieme e semplificando la $I_2$ ottengo $M_{12}=2.45H$.
Qualcuno mi saprebbe dire se ho seguito una giusta strada?
Sulla 4 sono abbastanza convinto della soluzione:
Poichè la corrente 2 è nulla, rimane acceso solo il generatore 1: $\Phi_1=\frac{N_1I_1}{R_{eq}}=220.89Wb\Rightarrow\Phi_1''=\Phi_1\frac{R}{R+R/2}=147.26Wb$.
Dato che è richiesto il flusso nel solo ramo verticale inferiore e dato che quel ramo l'ho messo in parallelo a quello sinistro, il valore richiesto è la metà di $\Phi_1''$, ovvero $73.63Wb$.
La 5 è giusta: $0Wb$
Qualcuno che mi aiuti confermi/disdica i miei calcoli per favore? Vi ringrazio dell'attenzione
I dati sono $N_1=500$, $N_2=25$, $I_1=750A$, $I_2=0A$, $A=0.25m^2$, $L=0.50m$, $\mu_r=1250$
Le richieste sono:
1) Autoinduttanza $L_{11}$;
2) Autoinduttanza $L_{22}$;
3) Mutua induttanza $M_{12}$;
4) Flusso nel ramo verticale inferiore;
5) Somma dei flussi incidenti nel nodo centrale.
Innanzitutto ho sviluppato il modello matematico, ottenendo:
dove le parti del circuito evidenziate in verde sono quelle derivanti dal fatto che il campo magnetico è solenoide di riluttanza nulla nel vuoto.
I punti evidenziati in arancione sono tutti equipotenziali, perciò posso ridisegnare in una maniera più "amichevole" il circuito:
R è uguale per tutti i rami e vale $R=\frac{1}{\mu_0\mu_r}\frac{L}{A}=1273.24H^-1$ e ho messo in evidenza tutte le direzioni dei flussi.
Sulla domanda 1 e sulla 2 non dovrei aver avuto problemi, a meno di errori di calcolo con la calcolatrice:
1) $L_{11}=\frac{N_1^2}{R_{eq}}=147.26H$, dove $R_{eq}=R+\frac{R\R/2}{R+R/2}=1697.7H^{-1}$;
2) $L_{22}=\frac{N_2^2}{R_{eq}}=0.3681H$, dove $R_{eq}=R+\frac{R\R/2}{R+R/2}=1697.7H^{-1}$.
Sulla 3 qualcosa non mi convince:
$M_{12}=\frac{\Phi_{C12}}{I_2}$, dove $\Phi_{C12}$ è il flusso concatenato con 1 prodotto da 2.
Per proseguire occorre definire tale flusso concatenato: $\Phi_{C12}=N_1\Phi_1$, dove $\Phi_1=\Phi_2\frac{R/2}{R+R/2}$ e $\Phi_2=\frac{N_2I_2}{R_{eq}}$.
Alla fine della fiera, mettendo tutte le scritture insieme e semplificando la $I_2$ ottengo $M_{12}=2.45H$.
Qualcuno mi saprebbe dire se ho seguito una giusta strada?
Sulla 4 sono abbastanza convinto della soluzione:
Poichè la corrente 2 è nulla, rimane acceso solo il generatore 1: $\Phi_1=\frac{N_1I_1}{R_{eq}}=220.89Wb\Rightarrow\Phi_1''=\Phi_1\frac{R}{R+R/2}=147.26Wb$.
Dato che è richiesto il flusso nel solo ramo verticale inferiore e dato che quel ramo l'ho messo in parallelo a quello sinistro, il valore richiesto è la metà di $\Phi_1''$, ovvero $73.63Wb$.
La 5 è giusta: $0Wb$
Qualcuno che mi aiuti confermi/disdica i miei calcoli per favore? Vi ringrazio dell'attenzione
Risposte
"Fabbiooo":
... ho svolto il seguente circuito magnetico, ma non sono convinto delle soluzioni calcolate
Io non capisco come possa essere quello il testo; se, come mi sembra di capire, quella croce ferromagnetica è circondata dall'aria o dal vuoto, quel circuito magnetico è semplicemente irrisolvibile.
Possiamo sapere da dove arriva?
Udite udite, è un tema d'esame...............................................................................................................................................................
Il fatto che fosse nel vuoto è stato specificato dal docente il giorno stesso dell'esame
Il fatto che fosse nel vuoto è stato specificato dal docente il giorno stesso dell'esame
Non ti chiedo il nome del docente, ma posso sapere in quale università?
UniBG
Come dicevo, se quella croce ferromagnetica è immersa nel vuoto (o aria), il calcolo è algebricamente impossibile e non si può far altro che ricorrere alla soluzione numerica, via software agli elementi finiti.
La tua soluzione sarebbe corretta se quella croce non solo fosse inserita in un guscio ferromagnetico di permeabilità infinita, ma avesse anche un nucleo centrale con permeabilità infinita.
Giusto per farti vedere la geometria con relativa soluzione ho usato FEMM [nota]Software gratuito di David Meeker, scaricabile da http://www.femm.info/wiki/HomePage.[/nota]
Ecco il risultato della simulazione
che porta con le suddette varianti alla tua (corretta) soluzione (vedi la riga Flux/Current)
Simulando invece il circuito magnetico in versione originale, il risultato è completamente diverso, ovvero il seguente
Leggendo la stessa riga Flux/Current ... penso non ci sia altro da dire, non credi?
... PS
Con il circuito modificato è possibile controllare il flusso richiesto al punto 4)
che coincide con la tua soluzione.
La tua soluzione sarebbe corretta se quella croce non solo fosse inserita in un guscio ferromagnetico di permeabilità infinita, ma avesse anche un nucleo centrale con permeabilità infinita.
Giusto per farti vedere la geometria con relativa soluzione ho usato FEMM [nota]Software gratuito di David Meeker, scaricabile da http://www.femm.info/wiki/HomePage.[/nota]
Ecco il risultato della simulazione
che porta con le suddette varianti alla tua (corretta) soluzione (vedi la riga Flux/Current)
Simulando invece il circuito magnetico in versione originale, il risultato è completamente diverso, ovvero il seguente
Leggendo la stessa riga Flux/Current ... penso non ci sia altro da dire, non credi?
... PS
Con il circuito modificato è possibile controllare il flusso richiesto al punto 4)
che coincide con la tua soluzione.
Come al solito ti devo innanzittutto ringraziare, soprattutto per lo sbattimento che ci hai messo nel simulare il tutto
Quello che posso dire è che mi sono limitato a risolvere tale circuito meccanicamente, esattamente come ha fatto il mio docente, senza fermarmi a ragionare sugli aspetti della permeabilità finita/infinita, i quali, inutile a dirlo, non mi sono per niente chiari dato che il corso non ha minimamente posto l'accento su questa parte della fisica/elettrotecnica.
Quello che posso dire è che mi sono limitato a risolvere tale circuito meccanicamente, esattamente come ha fatto il mio docente, senza fermarmi a ragionare sugli aspetti della permeabilità finita/infinita, i quali, inutile a dirlo, non mi sono per niente chiari dato che il corso non ha minimamente posto l'accento su questa parte della fisica/elettrotecnica.
"Fabbiooo":
... ti devo innanzittutto ringraziare, soprattutto per lo sbattimento che ci hai messo nel simulare il tutto
Di nulla, figurati, ci si impiega giusto dieci minuti.
"Fabbiooo":
... mi sono limitato a risolvere tale circuito meccanicamente, esattamente come ha fatto il mio docente, senza fermarmi a ragionare sugli aspetti della permeabilità finita/infinita, i quali, inutile a dirlo, non mi sono per niente chiari dato che il corso non ha minimamente posto l'accento su questa parte della fisica/elettrotecnica.
Come credo di averti già detto, ipotizzando per assurdo una riluttanza nulla [nota]Nemmeno per un semplice solenoide (anche se "lungo") con nucleo ferromagnetico, può essere ammessa quella ipotesi semplificativa.[/nota] per la chiusura in aria e la semplificazione della geometria via linea media (come ha fatto il tuo docente), i risultati da te ottenuti per tutte le cinque richieste del problema sono corrette, ... spero solo che le simulazioni ti possano servire per capire che, a volte, non andare ad approfondire quello che (ultimamente) si "racconta" in H-demia, può poi crearti seri problemi nel mondo reale.
BTW Sempre per quanto riguarda l'approccio ingegneristico ai circuiti magnetici ricorda poi che, andare ad usare (come hai fatto) cinque cifre significative per i risultati, è pura "fantascienza" .
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