[Elettrotecnica] Circuito in transitorio
Buongiorno, sto cercando risolvere questo circuito, ma ho dei dubbi:
I dati del problema sono:
e1(t)=34sen(10t+2.3)V, E=28.28V, R1=2ohm, R2=1ohm, L=10H, C=0.30F, T=1s.
Le richieste sono:
1) costanti di tempo del circuito;
2) valore della tensione $v_L(0^+)$;
3) valore della tensione $v_L(\infty)$;
4) valore della tensione $v_L(T)$;
5) valore medio della tensione ai capi della R più a destra per t<0;
6) valore medio della tensione ai capi della R più a destra per t=0+.
Ho svolto tutte le domande, ma non sono sicurissimo al 100% del mio operato.
1) Trovo due costanti di tempo in virtù del fatto che il generatore in continua disaccoppia in circuito in due parti.
La costante di tempo dell'unica maglia di sinistra vale $\tau_1=10s$, mentre quella delle due maglie di destra vale $\tau_2=5s$.
Sapreste dirmi se è corretto?
2) Per calcolare il valore della tensione al tempo t=0+ devo capire in quale situazione si trovasse il circuito nell'infinito di tempo precedente, fino al tempo t=0-: l'interruttore aperto non fa circolare corrente, perciò concludo immediatamente che $v_L(0^-)=v_L(0^+)=0V$. Corretto?
3) Ho trovato in ordine:
_resistenza equivalente ai morsetti del generatore E: $R_{eq}=2.67\ohm$;
_corrente erogata dal generatore: $I=\frac{E}{R_{eq}}=10.60A$;
_tensione su R2 mediante legge di Ohm + partitore di corrente: $V_{R_2}=7.07V$;
_tensione su R1 mediante legge di Ohm + partitore di corrente: $V_{R_1}=7.07V$;
_applico Kirchhoff alle tensioni sulla maglia di destra: $V_L=V_{R_1}-V_{R_2}=0V$.
Sarei potuto arrivare anche immediatamente alla soluzione dicendo semplicemente che quel pezzo di circuito è in continua, perciò l'induttore si comporta come se fosse un cortocircuito e la tensione su un cortocircuito è nulla.
Mi sapreste dire se è corretto il ragionamento?
4) Alla chiusura dell'interruttore si verifica un transitorio del prim'ordine, perciò: $v_L(t)=ke^{-t/{\tau_2}}+v_L(\infty)$.
Resta solo da calcolare k, il quale va determinato sfruttando le condizioni iniziali. Il fatto di ottenere k=0 e, conseguentemente, $v_L(T)=0V$ mi disturba alquanto, ma non saprei come risolvere questa situazione dato che tutti i passaggi precedenti mi sembrano corretti.
Perciò o ho sbagliato a risolvere questa equazione circuitale oppure, anche in questo caso, la risposta è 0V.
5) Seguendo il ragionamento della risposta 2 ottengo $V_{R_2}=0V$.
6) Valore già calcolato al punto 3: $V_{R_2}=7.07V$.
Vi ringrazio dell'attenzione!
I dati del problema sono:
e1(t)=34sen(10t+2.3)V, E=28.28V, R1=2ohm, R2=1ohm, L=10H, C=0.30F, T=1s.
Le richieste sono:
1) costanti di tempo del circuito;
2) valore della tensione $v_L(0^+)$;
3) valore della tensione $v_L(\infty)$;
4) valore della tensione $v_L(T)$;
5) valore medio della tensione ai capi della R più a destra per t<0;
6) valore medio della tensione ai capi della R più a destra per t=0+.
Ho svolto tutte le domande, ma non sono sicurissimo al 100% del mio operato.
1) Trovo due costanti di tempo in virtù del fatto che il generatore in continua disaccoppia in circuito in due parti.
La costante di tempo dell'unica maglia di sinistra vale $\tau_1=10s$, mentre quella delle due maglie di destra vale $\tau_2=5s$.
Sapreste dirmi se è corretto?
2) Per calcolare il valore della tensione al tempo t=0+ devo capire in quale situazione si trovasse il circuito nell'infinito di tempo precedente, fino al tempo t=0-: l'interruttore aperto non fa circolare corrente, perciò concludo immediatamente che $v_L(0^-)=v_L(0^+)=0V$. Corretto?
3) Ho trovato in ordine:
_resistenza equivalente ai morsetti del generatore E: $R_{eq}=2.67\ohm$;
_corrente erogata dal generatore: $I=\frac{E}{R_{eq}}=10.60A$;
_tensione su R2 mediante legge di Ohm + partitore di corrente: $V_{R_2}=7.07V$;
_tensione su R1 mediante legge di Ohm + partitore di corrente: $V_{R_1}=7.07V$;
_applico Kirchhoff alle tensioni sulla maglia di destra: $V_L=V_{R_1}-V_{R_2}=0V$.
Sarei potuto arrivare anche immediatamente alla soluzione dicendo semplicemente che quel pezzo di circuito è in continua, perciò l'induttore si comporta come se fosse un cortocircuito e la tensione su un cortocircuito è nulla.
Mi sapreste dire se è corretto il ragionamento?
4) Alla chiusura dell'interruttore si verifica un transitorio del prim'ordine, perciò: $v_L(t)=ke^{-t/{\tau_2}}+v_L(\infty)$.
Resta solo da calcolare k, il quale va determinato sfruttando le condizioni iniziali. Il fatto di ottenere k=0 e, conseguentemente, $v_L(T)=0V$ mi disturba alquanto, ma non saprei come risolvere questa situazione dato che tutti i passaggi precedenti mi sembrano corretti.
Perciò o ho sbagliato a risolvere questa equazione circuitale oppure, anche in questo caso, la risposta è 0V.
5) Seguendo il ragionamento della risposta 2 ottengo $V_{R_2}=0V$.
6) Valore già calcolato al punto 3: $V_{R_2}=7.07V$.
Vi ringrazio dell'attenzione!
Risposte
1) ok, a sinistra la capacità non entra in gioco in quanto la sua tensione risulta identicamente uguale alla somma delle tensioni dei due GIT, ma a destra le costanti di tempo sono due, per t>0 e per t<0 (ad ogni modo sì, per t>0).
2) No, la tensione ai morsetti di un induttore non rappresenta la variabile di stato, che è invece la corrente, e quindi $v_L$ può presentare discontinuità per t=0.
3) Si, non serviva nessun calcolo, a regime l'induttore equivale ad un cortocircuito.
4) No, ma una volta ricavata la corretta $v_L(0^+)$, ti sarà semplice determinare $v_L(T)$ dalla discesa esponenziale.
5) Si, ma non seguendo la tua risposta al 2).
6) No, comunque è una strana domanda quella del testo; che significato ha chiedere il valor medio in un istante particolare?
2) No, la tensione ai morsetti di un induttore non rappresenta la variabile di stato, che è invece la corrente, e quindi $v_L$ può presentare discontinuità per t=0.
3) Si, non serviva nessun calcolo, a regime l'induttore equivale ad un cortocircuito.
4) No, ma una volta ricavata la corretta $v_L(0^+)$, ti sarà semplice determinare $v_L(T)$ dalla discesa esponenziale.
5) Si, ma non seguendo la tua risposta al 2).
6) No, comunque è una strana domanda quella del testo; che significato ha chiedere il valor medio in un istante particolare?
Ciao RenzoDF. Innanzitutto ti ringrazio della risposta
1) Ho trovato $\tau_3=3.33s$
Quindi non devo considerare la condizione del circuito al tempo t=0-?
Dovendo risolvere l'equazione caratteristica per l'induttore non capisco quale espressione in funzione del tempo io debba considerare dato che quel pezzo di circuito è in continua, anche se al tempo t=0+ non è stato raggiunto il valore di regime della tensione sull'induttore
Allora $V_{R_2}=0V$ perchè un istante dopo la chiusura dell'interruttore la corrente non ha ancora iniziato a circolare?
Non me lo chiedere perchè non lo so
1) Ho trovato $\tau_3=3.33s$
"RenzoDF":
2) No, la tensione ai morsetti di un induttore non rappresenta la variabile di stato, che è invece la corrente, e quindi vL può presentare discontinuità per t=0.
Quindi non devo considerare la condizione del circuito al tempo t=0-?
Dovendo risolvere l'equazione caratteristica per l'induttore non capisco quale espressione in funzione del tempo io debba considerare dato che quel pezzo di circuito è in continua, anche se al tempo t=0+ non è stato raggiunto il valore di regime della tensione sull'induttore
"RenzoDF":
5) Si, ma non seguendo la tua risposta al 2).
Allora $V_{R_2}=0V$ perchè un istante dopo la chiusura dell'interruttore la corrente non ha ancora iniziato a circolare?
"RenzoDF":
6) No, comunque è una strana domanda quella del testo; che significato ha chiedere il valor medio in un istante particolare?
Non me lo chiedere perchè non lo so
"Fabbiooo":
... Quindi non devo considerare la condizione del circuito al tempo t=0-?
Certo, ma nel passaggio da $t=0^-$ a $t=0^+$, devi ricordare che (nelle reti non degeneri, come la tua semirete destra) non presenteranno discontinuità solo le tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori, e di conseguenza nel tuo caso potrai ricavare la $v_L(0^+)$ dalla $i_L(0^+)= i_L(0^-)$.
"Fabbiooo":
... Allora $V_{R_2}=0V$ perchè un istante dopo la chiusura dell'interruttore la corrente non ha ancora iniziato a circolare?
No, la 5) si riferisce a t<0.
La tua considerazione vale comunque per la 6).
Ho provato a cimentarmi seguendo le tue indicazioni, ma proprio non riesco a capire
Per quanto riguarda la 2:
devo calcolare il valore della tensione sull'induttore per $t=0^+$, ma l'interruttore rimane aperto nell'intervallo di tempo $(-\infty,0^-)$, perciò nella maglia di destra del circuito di destra non può passare corrente.
Concludo che $i_L(0^-)=i_L(0^+)=0A\Rightarrowv_L(0^+)=0V$.
Ho provato a verificarlo anche mediante legge di Kirchhoff alle maglie, ma ottengo lo stesso risultato.
Non riesco a capire dove io stia sbagliando.
Per quanto riguarda la 5:
Stesso discorso della 2: poichè non passa corrente a causa dell'interruttore aperto, concludo immediatamente che $V_{R_2}=0V$.
Per quanto riguarda la 6:
stesso discorso della 5: siamo d'accordo che la risposta sia 0V, ma non capisco se il mio ragionamento a giustificazione di ciò sia corretto o meno.
Chiedo scusa se ho praticamente riportato il ragionamento iniziale, ma davvero non capisco dove siano i miei errori.
Per quanto riguarda la 2:
devo calcolare il valore della tensione sull'induttore per $t=0^+$, ma l'interruttore rimane aperto nell'intervallo di tempo $(-\infty,0^-)$, perciò nella maglia di destra del circuito di destra non può passare corrente.
Concludo che $i_L(0^-)=i_L(0^+)=0A\Rightarrowv_L(0^+)=0V$.
Ho provato a verificarlo anche mediante legge di Kirchhoff alle maglie, ma ottengo lo stesso risultato.
Non riesco a capire dove io stia sbagliando.
Per quanto riguarda la 5:
Stesso discorso della 2: poichè non passa corrente a causa dell'interruttore aperto, concludo immediatamente che $V_{R_2}=0V$.
Per quanto riguarda la 6:
stesso discorso della 5: siamo d'accordo che la risposta sia 0V, ma non capisco se il mio ragionamento a giustificazione di ciò sia corretto o meno.
Chiedo scusa se ho praticamente riportato il ragionamento iniziale, ma davvero non capisco dove siano i miei errori.
"Fabbiooo":
... Per quanto riguarda la 2: ...
Concludo che $i_L(0^-)=i_L(0^+)=0A\Rightarrowv_L(0^+)=0V$.
È quella implicazione che non è corretta.
"Fabbiooo":
...Per quanto riguarda la 5:
Stesso discorso della 2: poichè non passa corrente a causa dell'interruttore aperto, concludo immediatamente che $V_{R_2}=0V$.
Non conosciamo nulla sull'evoluzione per t<0, ma quello che ci permette di dire che il valo medio è di certo nullo è l'ampiezza infinita dell'intervallo temporale.
"Fabbiooo":
...Per quanto riguarda la 6:
stesso discorso della 5: siamo d'accordo che la risposta sia 0V, ma non capisco se il mio ragionamento a giustificazione di ciò sia corretto o meno.
Sì, la risposta è zero perche la $i_L(0^+)=0$, ma mi sembra tu avessi dato un diverso valore.
Rileggi ciò che ti è stato scritto sulle reti non degeneri qualche messaggio fa.
@ Fabbiooo
Dimenticavo, ... e per la 2) quale è la tua risposta?
Dimenticavo, ... e per la 2) quale è la tua risposta?
"RenzoDF":
È quella implicazione che non è corretta.
Come mai?
"RenzoDF":
Sì, la risposta è zero perche la iL(0+)=0, ma mi sembra tu avessi dato un diverso valore.
Inizialmente sì, poi ho rivisto sia i conti sia il circuito
"RenzoDF":
e per la 2) quale è la tua risposta?
La mia risposta è 0V, ma vorrei capire il tuo punto di vista
"Fabbiooo":
La mia risposta è 0V, ma vorrei capire il tuo punto di vista
Nel momento in cui chiudi l'interruttore, che tensione di stabilisce immediatamente ai capi dell'induttore L?
Ti avevo chiesto di rileggere la risposta relativa alle reti non degeneri.
Nel caso dell'induttore, la tensione può presentare una discontinuità...
Quindi?
L'ho riletto, ma niente
Per caso si stabilisce immediatamente la tensione di 28.28V?
Per caso si stabilisce immediatamente la tensione di 28.28V?
Scusa, ma perché non provi a ragionarci sopra, invece che tirare a indovinare?
... se, alla chiusura dell'interruttore, la corrente attraverso l'induttore rimane inizialmente nulla, attraverso quale percorso il GIT riuscirà a forzare una corrente?
... se, alla chiusura dell'interruttore, la corrente attraverso l'induttore rimane inizialmente nulla, attraverso quale percorso il GIT riuscirà a forzare una corrente?
Il problema è che questa parte della teoria non mi è stata presentata a lezione, per questo sto facendo fatica.
Ad ogni modo ho cercato su internet a partire dal significato di rete degenere. Ho trovato: "un circuito è degenere se contiene maglie costituite da soli generatori indipendenti di tensione e/o condensatori oppure tagli costituiti da soli generatori indipendenti di corrente e/o induttori".
Non è questo il caso (come sottolineato) e, ancora, nelle reti non degeneri, dopo l'attivazione degli interruttori, non si hanno discontinuità temporali delle variabili di stato. Non essendo la tensione sull'induttore la variabile di stato, questa presenta discontinuità e, in particolare, nell'istante $t=0^+$ posso considerare l'induttore come se fosse un circuito aperto.
Maglia di sinistra del circuito di destra.
Procedimento che ho seguito:
Nella maglia in cui circola corrente, questa ha un valore di $I=\frac{E}{R_1+R_1}=7.07A$, perciò la tensione ai capi della R1 del ramo di mezzo vale $V_{R_1}=R_1*I=14.14V$
Applicando Kirchhoff alla maglia di destra si trova $v_L(0^+)=V_{R_1}=14.14V$.
Sono arrivato a questa conclusione anche sfruttando un partitore di tensione della tensione erogata dal generatore sulla resistenza del ramo di mezzo dato che nella maglia di destra non circola corrente.
Com'è il ragionamento a questo punto?
Ad ogni modo ho cercato su internet a partire dal significato di rete degenere. Ho trovato: "un circuito è degenere se contiene maglie costituite da soli generatori indipendenti di tensione e/o condensatori oppure tagli costituiti da soli generatori indipendenti di corrente e/o induttori".
Non è questo il caso (come sottolineato) e, ancora, nelle reti non degeneri, dopo l'attivazione degli interruttori, non si hanno discontinuità temporali delle variabili di stato. Non essendo la tensione sull'induttore la variabile di stato, questa presenta discontinuità e, in particolare, nell'istante $t=0^+$ posso considerare l'induttore come se fosse un circuito aperto.
"RenzoDF":
attraverso quale percorso il GIT riuscirà a forzare una corrente?
Maglia di sinistra del circuito di destra.
Procedimento che ho seguito:
Nella maglia in cui circola corrente, questa ha un valore di $I=\frac{E}{R_1+R_1}=7.07A$, perciò la tensione ai capi della R1 del ramo di mezzo vale $V_{R_1}=R_1*I=14.14V$
Applicando Kirchhoff alla maglia di destra si trova $v_L(0^+)=V_{R_1}=14.14V$.
Sono arrivato a questa conclusione anche sfruttando un partitore di tensione della tensione erogata dal generatore sulla resistenza del ramo di mezzo dato che nella maglia di destra non circola corrente.
Com'è il ragionamento a questo punto?
Perché non hai considerato l'eventuale contributo del generatore sinusoidale?
Perdonami per la ripetizione delle cose, ma vorrei capire come rispondere alla domanda 4.
Verificandosi un transitorio del primo ordine, l'equazione circuitale da risolvere è $v_L(t)=ke^{-t/{\tau_2}}+v_L(\infty)$.
Io sono stato abituato a indagare sempre sulle condizioni iniziali, ma svolgendo questa parte in questo modo si ottiene $v_L(0^-)=0\ne14.14=v_L(0^+)$, mentre in tutti gli esercizi che ho svolto fino ad ora i due valori coincidono.
Il tuo commento "una volta ricavata la corretta $v_L(0^+)$, ti sarà semplice determinare $v_L(T)$ dalla discesa esponenziale" mi fa capire che io debba considerare la sola $v_L(0^+)$ nell'equazione circuitale, ottenendo $k=14.14\Rightarrowv_L(T)=11.58V$.
Mi potresti dire a quale commento di questo thread dovrei far riferimento per spiegare il passaggio?
Perchè il GIT separa il circuito in due semicircuiti indipendenti, di conseguenza il generatore sinusoidale non ha alcun effetto sul semicircuito di destra
Verificandosi un transitorio del primo ordine, l'equazione circuitale da risolvere è $v_L(t)=ke^{-t/{\tau_2}}+v_L(\infty)$.
Io sono stato abituato a indagare sempre sulle condizioni iniziali, ma svolgendo questa parte in questo modo si ottiene $v_L(0^-)=0\ne14.14=v_L(0^+)$, mentre in tutti gli esercizi che ho svolto fino ad ora i due valori coincidono.
Il tuo commento "una volta ricavata la corretta $v_L(0^+)$, ti sarà semplice determinare $v_L(T)$ dalla discesa esponenziale" mi fa capire che io debba considerare la sola $v_L(0^+)$ nell'equazione circuitale, ottenendo $k=14.14\Rightarrowv_L(T)=11.58V$.
Mi potresti dire a quale commento di questo thread dovrei far riferimento per spiegare il passaggio?
"Vidocq":
Perché non hai considerato l'eventuale contributo del generatore sinusoidale?
Perchè il GIT separa il circuito in due semicircuiti indipendenti, di conseguenza il generatore sinusoidale non ha alcun effetto sul semicircuito di destra
"Fabbiooo":
... Io sono stato abituato a indagare sempre sulle condizioni iniziali, ma svolgendo questa parte in questo modo si ottiene $v_L(0^-)=0\ne14.14=v_L(0^+)$, mentre in tutti gli esercizi che ho svolto fino ad ora i due valori coincidono.
Ne deduco che ne hai svolti pochi.
In generale la tensione sugli induttori presenta discontinuità, se posti lo schema di alcune reti da te risolte, nelle quali secondo te ciò non avviene, controlliamo. "Fabbiooo":
... Il tuo commento "una volta ricavata la corretta $v_L(0^+)$, ti sarà semplice determinare $v_L(T)$ dalla discesa esponenziale" mi fa capire che io debba considerare la sola $v_L(0^+)$ nell'equazione circuitale, ottenendo $k=14.14\Rightarrowv_L(T)=11.58V$.
Esatto.
"Fabbiooo":Non c'è nulla da spiegare, l'evoluzione della tensione ai morsetti dell'induttore per $t\gt0$ non può che partire dal valore $v_L(0^+)$ e di conseguenza $k=14.14\ \text{V}$.
... Mi potresti dire a quale commento di questo thread dovrei far riferimento per spiegare il passaggio?
"RenzoDF":
Ne deduco che ne hai svolti pochi.
Purtroppo è stata pure la mia conclusione.
Ho avuto queste difficoltà perchè è la prima volta che mi capita di dover calcolare la tensione su un induttore e, in generale, ogni esercizio che il mio docente presenta all'esame ha una lettura diversa da tutti gli altri che mi manda in confusione.
Tutti gli esercizi che ho a disposizione li ho risolti con te (e ti ringrazio della pazienza), perciò è inutile ripostarli
Mi resta solo da studiare la teoria.
Ad ogni modo, la risposta alla domanda 6 è ancora collegata al discorso di continuità/discontinuità, giusto?
Nel senso: la corrente è la variabile di stato per l'induttore, perciò non può presentare discontinuità nei valori che assume ad ogni istante. Questo implica che $i_L(0^-)=i_L(0^+)=0A\RightarrowV_{R_2}=R_2i_L(0^+)=0V$.
"Fabbiooo":
...Ad ogni modo, la risposta alla domanda 6 è ancora collegata al discorso di continuità/discontinuità, giusto?
Esatto.
"Fabbiooo":
... Nel senso: la corrente è la variabile di stato per l'induttore, perciò non può presentare discontinuità nei valori che assume ad ogni istante. Questo implica che $i_L(0^-)=i_L(0^+)=0A\RightarrowV_{R_2}=R_2i_L(0^+)=0V$.
BTW Ti ricordo poi che la tensione e la corrente in un induttore sono sempre legate dalla relazione costitutiva
$v_L(t)=L \frac{\text{d}i_L(t)}{\text{d}t}$
che permette anche di ricavare la relazione inversa, via integrazione.
"RenzoDF":
BTW Ti ricordo poi che la tensione e la corrente in un induttore sono sempre legate dalla relazione costitutiva
vL(t)=LdiL(t)dt
che permette anche di ricavare la relazione inversa, via integrazione.
Certo certo, però in questo caso non l'ho considerata dato che non avevo a disposizione una relazione dipendente esplicitamente da t (almeno per rispondere alla domanda 2).
Più tardi creo un altro thread per risolvere un circuito magnetico
"Fabbiooo":
... però in questo caso non l'ho considerata dato che non avevo a disposizione una relazione dipendente esplicitamente da t (almeno per rispondere alla domanda 2).
Ok, ma per esercitarti ti consiglio di provare a passare da una funzione del tempo all'altra; in questo caso per esempio prova a partire dalla $i_L(t)$ per ricavarti la $v_L(t)$, e viceversa.
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