[Elettrotecnica] Circuito dinamico e Laplace
Salve a tutti, sto incontrando dei problemi con il seguente esercizio di Elettrotecnica, da risolvere con la trasformata di Laplace:
Il primo passo è calcolare le condizioni iniziali per t < 0: considero il condensatore come circuito aperto e quindi $V_c(0)=5 V$, per via del generatore indipendente di tensione.
Ora calcolo la trasformata del generatore di corrente $a(t)=2sin(3t+30°) => A(s)=(s+3sqrt(3))/(s^2+9)$
A questo punto la mia idea era quella di usare il Teorema di Millman e poi fare una KVL per trovare la tensione richiesta, però anche facendo i passaggi algebrici con Wolfram mi ritrovo una soluzione sbagliata rispetto a quella del testo, quindi ho il timore di aver sbagliato qualcosa nel ricavare il circuito simbolico.
Il primo passo è calcolare le condizioni iniziali per t < 0: considero il condensatore come circuito aperto e quindi $V_c(0)=5 V$, per via del generatore indipendente di tensione.
Ora calcolo la trasformata del generatore di corrente $a(t)=2sin(3t+30°) => A(s)=(s+3sqrt(3))/(s^2+9)$
A questo punto la mia idea era quella di usare il Teorema di Millman e poi fare una KVL per trovare la tensione richiesta, però anche facendo i passaggi algebrici con Wolfram mi ritrovo una soluzione sbagliata rispetto a quella del testo, quindi ho il timore di aver sbagliato qualcosa nel ricavare il circuito simbolico.
Risposte
xxxxxx
Errore mio
Errore mio
Grazie per la risposta, io avevo fatto questi conti per la trasformata:
$a(t)=2sin(3t+30°) = 2[sin(3t)cos(30°)+cos(3t)sin(30°)] = 2[sin(3t)sqrt(3)/2+cos(3t)1/2)] = sqrt(3)sin(3t)+cos(3t)$
Poi so che la trasformata di $sin(at)= a/(s^2+a^2)$ e $cos(at)=s/(s^2+a^2)$ e quindi mi verrebbe il risultato che ho scritto su.
Dove ho sbagliato?
$a(t)=2sin(3t+30°) = 2[sin(3t)cos(30°)+cos(3t)sin(30°)] = 2[sin(3t)sqrt(3)/2+cos(3t)1/2)] = sqrt(3)sin(3t)+cos(3t)$
Poi so che la trasformata di $sin(at)= a/(s^2+a^2)$ e $cos(at)=s/(s^2+a^2)$ e quindi mi verrebbe il risultato che ho scritto su.
Dove ho sbagliato?
"BizarreSummer":
Dove ho sbagliato?
Veramente ti direi che la tua trasformata è corretta e quindi, posto che ci sia un errore, non è lì.
Prova a postare il tuo risultato e quello del testo.
Ho trovato l'errore, mi ero dimenticato di trasformare il generatore indipendente di tensione che nel circuito simbolico diventa $5/s$, lascio la soluzione per i posteri.
Applicando Millman ottengo:
$V_m(s) = ((3sqrt(3) + s)/(9 + s^2)+(5)/(2s)+5/4)/(1+1/2+s/4) = ... = (90 + 45 s + 12 sqrt(3) s + 14 s^2 + 5 s^3)/(s (6 + s) (9 + s^2))$
Ora faccio una KVL per calcolare la $V(s)$ richiesta dell'esercizio come segue:
$V(s)= V_m(s) - 5/s = (-180 + 12 sqrt(3) s - 16 s^2)/(s(s+6)(s^2+9)$
Vi risparmio la scomposizione in fratti semplici perché i conti sono antipatici, comunque il risultato è corretto e torna con quello dell'eserciziario:
$v(t)=(2/15(21+2sqrt(3))e^(-6t)-10/3-8/15cos(3t+30°)+16/15sin(3t+30°))u(t) \text{ } \V$ dove $u(t)$ è la funzione gradino di Heaviside.
Applicando Millman ottengo:
$V_m(s) = ((3sqrt(3) + s)/(9 + s^2)+(5)/(2s)+5/4)/(1+1/2+s/4) = ... = (90 + 45 s + 12 sqrt(3) s + 14 s^2 + 5 s^3)/(s (6 + s) (9 + s^2))$
Ora faccio una KVL per calcolare la $V(s)$ richiesta dell'esercizio come segue:
$V(s)= V_m(s) - 5/s = (-180 + 12 sqrt(3) s - 16 s^2)/(s(s+6)(s^2+9)$
Vi risparmio la scomposizione in fratti semplici perché i conti sono antipatici, comunque il risultato è corretto e torna con quello dell'eserciziario:
$v(t)=(2/15(21+2sqrt(3))e^(-6t)-10/3-8/15cos(3t+30°)+16/15sin(3t+30°))u(t) \text{ } \V$ dove $u(t)$ è la funzione gradino di Heaviside.
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