[Elettrotecnica] Circuito di elettrotecnica
Buongiorno a tutti, ho questo esercizio in cui ho un dubbio
L'esercizio chiede di essere risolto nel dominio del tempo per trovare la tensione $ v_(AB)(t) $ per $ t>0 $ , sapendo che all'istante $ t=0 $ l'interruttore si apre.
Per $ t>0 $ il circuito è un RC con un generatore di tensione, e scegliendo come verso di percorrenza della corrente quello che va dal + di $ v(t) $ verso C, la tensione $ v_(AB)(t) $ dovrebbe essere $ v_(AB)(t)=Ri(t)-v(t) $ , giusto?
L'esercizio chiede di essere risolto nel dominio del tempo per trovare la tensione $ v_(AB)(t) $ per $ t>0 $ , sapendo che all'istante $ t=0 $ l'interruttore si apre.
Per $ t>0 $ il circuito è un RC con un generatore di tensione, e scegliendo come verso di percorrenza della corrente quello che va dal + di $ v(t) $ verso C, la tensione $ v_(AB)(t) $ dovrebbe essere $ v_(AB)(t)=Ri(t)-v(t) $ , giusto?
Risposte
Si lo so che se parto da quella ottengo quello che ho già ottenuto, ma era per evidenziare la differenza del risultato imponendo $ v_(AB) = -v_C $ e $ v_(AB) = RC(dv_C)/(dt)-v $ , omettendo la dipendenza temporale.
Per $ v_C $ il K l'ho ricavato dal circuito per t<0 considerando solo la soluzione particolare perché è già a regime e dicendo che al momento dell'apertura dell'interruttore $ v_C(0^-) = v_C(0^+) $, mentre i coefficienti del seno e coseno dallo studio del circuito per t>0
Per $ v_C $ il K l'ho ricavato dal circuito per t<0 considerando solo la soluzione particolare perché è già a regime e dicendo che al momento dell'apertura dell'interruttore $ v_C(0^-) = v_C(0^+) $, mentre i coefficienti del seno e coseno dallo studio del circuito per t>0
Ci riprovo: puoi postare il sistema in tre equazioni e tre incognite in forma numerica che ti ha permesso di ricavare quei tre coefficienti 
Ah ora ho capito, perdono ahah
Ho studiato il circuito inizialmente per $ t>0 $: (ometto le dipendenze temporali e indico la derivata con il simbolo ' )
$ v=RCv'_C+v_C $, e di questa equazione differenziale rappresentante la LKT alla maglia cerco una soluzione generale e una particolare, ottenendo:
- Sol. generale
$ v_(Cg)=K*e^(gamma t) $, e sostituendo ottengo $ gamma = -1/(RC) = -200 $
-Sol. particolare
$ v_(Cp)=A*sin(wt)+B*cos(wt) $, che derivata e sostituita all'interno dell'eq. e dicendo che l'uguaglianza sia verificata per ogni $ t $ (raccolgo seno e coseno) mi permette di trovare i due coefficienti
$ { ( 0=B+RCw*A ),( V_M=A-RCw*B ):}rArr { ( A=0.11__V ),( B=-3.5__V ):} $ , dove $ V_m = 110__V $
Ora per determinare K valuto il circuito per $ t<0 $ e scrivo le LK per il circuito (in ordine LKC al nodo A , LKT1, LKT2)
$ { ( i=Cv'_C +i_L),( v_C+Ri=v(t) ),( v(t)=Ri+Li'_L ):} $, e risolvendo rispetto a $ v_C $ ottengo
$ (Lv'(t))/R=LCv''_C+L/Rv'_C+v_C $ (se risolvevo rispetto a $ i_L $ mi complicavo meno la vita) e di questa equazione cerco solo una soluzione particolare del tipo: $ v_(Cp)=P*sin(wt)+Q*cos(wt) $, che derivata e sostituita e raccogliendo i termini simili in seno e coseno mi da questo sistema:
$ { ( 0=P*(-LCw^2+1)-L/RwQ ),( L/R*w*V_m=Q*(1-LCw^2)+L/RwP ):}rArr { ( P=0.11__V ),( Q=-3.54__V ):} $
Applico le CI $ rArr v_C(0^+) = v_C(0^-) $, trovando cosi $ K-3.5 = -3.54 $, e quindi $ K=-0.04 $
_____________________
Sostituisco all'interno della $ v_C $ trovata per t>0 e ottengo: $ v_C=-0.04*e^(-200t)+0.11*sin(wt)-3.5*cos(wt) $
Per trovare $ v_(AB) =Ri-v(t) $, derivo $ v_C $ e moltiplico per $ RC $, sottraendo il tutto poi a $ v(t) $, ottenendo così:
$ v_(AB)(t)=0.04*e^(-200t)+3.45*cos(wt)-0.04*sin(wt)__V $
Ho studiato il circuito inizialmente per $ t>0 $: (ometto le dipendenze temporali e indico la derivata con il simbolo ' )
$ v=RCv'_C+v_C $, e di questa equazione differenziale rappresentante la LKT alla maglia cerco una soluzione generale e una particolare, ottenendo:
- Sol. generale
$ v_(Cg)=K*e^(gamma t) $, e sostituendo ottengo $ gamma = -1/(RC) = -200 $
-Sol. particolare
$ v_(Cp)=A*sin(wt)+B*cos(wt) $, che derivata e sostituita all'interno dell'eq. e dicendo che l'uguaglianza sia verificata per ogni $ t $ (raccolgo seno e coseno) mi permette di trovare i due coefficienti
$ { ( 0=B+RCw*A ),( V_M=A-RCw*B ):}rArr { ( A=0.11__V ),( B=-3.5__V ):} $ , dove $ V_m = 110__V $
Ora per determinare K valuto il circuito per $ t<0 $ e scrivo le LK per il circuito (in ordine LKC al nodo A , LKT1, LKT2)
$ { ( i=Cv'_C +i_L),( v_C+Ri=v(t) ),( v(t)=Ri+Li'_L ):} $, e risolvendo rispetto a $ v_C $ ottengo
$ (Lv'(t))/R=LCv''_C+L/Rv'_C+v_C $ (se risolvevo rispetto a $ i_L $ mi complicavo meno la vita) e di questa equazione cerco solo una soluzione particolare del tipo: $ v_(Cp)=P*sin(wt)+Q*cos(wt) $, che derivata e sostituita e raccogliendo i termini simili in seno e coseno mi da questo sistema:
$ { ( 0=P*(-LCw^2+1)-L/RwQ ),( L/R*w*V_m=Q*(1-LCw^2)+L/RwP ):}rArr { ( P=0.11__V ),( Q=-3.54__V ):} $
Applico le CI $ rArr v_C(0^+) = v_C(0^-) $, trovando cosi $ K-3.5 = -3.54 $, e quindi $ K=-0.04 $
_____________________
Sostituisco all'interno della $ v_C $ trovata per t>0 e ottengo: $ v_C=-0.04*e^(-200t)+0.11*sin(wt)-3.5*cos(wt) $
Per trovare $ v_(AB) =Ri-v(t) $, derivo $ v_C $ e moltiplico per $ RC $, sottraendo il tutto poi a $ v(t) $, ottenendo così:
$ v_(AB)(t)=0.04*e^(-200t)+3.45*cos(wt)-0.04*sin(wt)__V $
Come ti dicevo, usando poche cifre significative, si rischia di ottenere dei risultati con una alta approssimazione e questo avviene in problemi mal posti dal punto di vista numerico (come quello in oggetto).
Il tuo procedimento è corretto, ma per i coefficienti A e B della soluzione particolare, usando alcune cifre significative in più, avresti scritto $A\approx 0.1113$ e $B\approx -3.4979$.
Visto il coefficiente K viene ottenuto per sottrazione fra due numeri prossimi fra loro [nota]Evento altamente "pericoloso".
[/nota], per ridurre la sua "incertezza" numerica, dobbiamo usare anche per la condizione iniziale qualche cifra in più, per esempio $v_C(0)\approx -3.5445 \ \text{V}$ e di conseguenza $ K=v_C(0)-B\approx -0.0466\ \text{V}$; coefficiente che rispetto al tuo presenta una differenza percentuale intorno al 16%.
Sostanzialmente intendo dire che se al limite tu avessi approssimato la tensione iniziale su C a 3.5 volt, avresti ottenuto un K=0 e avresti addirittura fatto sparire il termine esponenziale nella funzione.
Morale della favola: occhio a non approssimare troppo i risultati intermedi, ma usare qualche cifra significativa in più, ovviamente senza esagerare, ovvero senza portarsi dietro tutte la cifre della calcolatrice in ogni passaggio.
Il campanello d'allarme, nel nostro caso, doveva suonare non appena ti rendevi conto che il K lo conoscevi con una sola (misera) cifra significativa.
Il tuo procedimento è corretto, ma per i coefficienti A e B della soluzione particolare, usando alcune cifre significative in più, avresti scritto $A\approx 0.1113$ e $B\approx -3.4979$.
Visto il coefficiente K viene ottenuto per sottrazione fra due numeri prossimi fra loro [nota]Evento altamente "pericoloso".
[/nota], per ridurre la sua "incertezza" numerica, dobbiamo usare anche per la condizione iniziale qualche cifra in più, per esempio $v_C(0)\approx -3.5445 \ \text{V}$ e di conseguenza $ K=v_C(0)-B\approx -0.0466\ \text{V}$; coefficiente che rispetto al tuo presenta una differenza percentuale intorno al 16%.Sostanzialmente intendo dire che se al limite tu avessi approssimato la tensione iniziale su C a 3.5 volt, avresti ottenuto un K=0 e avresti addirittura fatto sparire il termine esponenziale nella funzione.
Morale della favola: occhio a non approssimare troppo i risultati intermedi, ma usare qualche cifra significativa in più, ovviamente senza esagerare, ovvero senza portarsi dietro tutte la cifre della calcolatrice in ogni passaggio.
Il campanello d'allarme, nel nostro caso, doveva suonare non appena ti rendevi conto che il K lo conoscevi con una sola (misera) cifra significativa.
Grazie mille per il chiarimento e chiedo perdono per il ritardo alla risposta ma ho avuto da fare e non ho mai acceso il PC.
Grazie ancora!!
Grazie ancora!!
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