[Elettrotecnica] Circuito del secondo ordine

[vicio_93]

Salve Ragazzi, ho un piccolo dubbio con questo problemino



In particolare non riesco a capire perchè la costante A2 possa essere nulla..

Grazie per le risposte

[vicio_93]

Attraverrso una serie di trasformazioni si vede che il circuito è equivalente ad un RLC parallelo con un generatore di corrente per t>0 dove $I=0,5mA$, $R_(eq)=13,33 KOmega$. Trovate $alpha=3,57,omega_0=10.000$ si vede che il circuito è sottosmorzato. La tensione deve essere quindi nella forma $v(t)=e^(-alpha t)[A_1 cos(beta t)+A_2sin(beta t)]$ dove $A_1 e A_2$ sono costanti da determinare. In particolare $A_1=v(0)=v_c(0)$ che per relazione di continuità è 2 V. $A_2=((dv(0))/dt+alpha v(0))/beta$. Il problema adesso è trovare $(dv(0))/dt$. Siccome le tensioni, essendo i bipoli in parallelo sono le stesse, anche le loro derivate temporali devono essere uguali giusto? Se così è $(dv(0))/dt=(i_c(0+))/C$. Utilizzando la prima legge di Kirchoff $i_c(0)+i_l(0)+i_r(0)+I=0$. Le nostre incognite sono quindi $i_l(0) , i_r(0)$. La prima essendo $i_l(t)$ funzione continua la possiamo ricavare dal circuito a t=0- dove il condensatore è un circuito aperto e l'induttore un cortocircuito e trasformando il generatore di corrente in parallelo col resistore in uno di tensione in serie con lo stesso resistore. Ho quindi un circuito ad una sola maglia dove $i_r(0-)=i_l(0+)=0,5 mA$. La seconda ($i_r(0+)$) la trovo dalla legge di ohm visto che ho la tensione ai capi del resistore e trovo essere $0,15 mA$. $i_c(0+)=-1mA$.
Questo è il mio ragionamento
Sostituendo i valori mi viene una certa costante, ma dal risultato la costante deve essere 0.

[RenzoDF]

"vich":.... $i_c(0+)=-1mA$.

Ricavata come?

[vicio_93]

$i_c(0+)=-I-i_(Req)-i_l=-0,5-0,15-0,35=-1mA$

[RenzoDF]

Perché $-I$ ?

[vicio_93]

perchè tutte le correnti sono entranti nel nodo superiore e quindi positive, lasciando a primo membro solo $i_c(0+)$ il risultato viene quello

[RenzoDF]

"vich":perchè tutte le correnti sono entranti nel nodo superiore e quindi positive,

Vista la scelta iniziale di quei versi per la vL la vC e per la vR direi che, se hai usato le "normali" equazioni costitutive, per i bipoli condensatore, induttore e resistore, le tre correnti sono uscenti dal nodo superiore e non entranti.

Ad ogni modo, per non far perdere tempo ad entrambi, la costante A2, pur non risultando nulla, visto l'elevato valore della pulsazione di risonanza del parallelo L C rispetto ad $\alpha$, è sufficientemente piccola da poter trascurare il termine sinusoidale rispetto a quello cosinusoidale.

[vicio_93]

Grazie!!