[Elettrotecnica] Circuito con tre condensatori
Sto tentando di calcolare la tensione $v_3$ ai capi del condensatore $C_y$, come mostrato in figura.
La tensione del generatore $V_x$ è un gradino di Heaviside unitario.
Le leggi di Kirchoff e le relazioni caratteristiche dei vari componenti sono le seguenti
$V_x - v - v_1 = 0$
$v_1 - v_2 - v_3 = 0$
$i = i_1 + i_2$
$i_2 = i_4 + i_3$
$i = v/R_x$
$i_1 = C_x \frac{d}{dt}v_1$
$i_2 = C_{xy} \frac{d}{dt}v_2$
$i_3 = C_y \frac{d}{dt}v_3$
$i_4 = v_3/R_y$
Voglio arrivare a scrivere un'equazione differenziale nella sola variabile $v_3$.
Tolgo da mezzo le correnti utilizzando le relazioni caratteristiche nelle leggi di Kirchhoff, ottenendo
$v/R_x = C_x\frac{d}{dt}v_1 + C_{xy} \frac{d}{dt}v_2$
$C_{xy} \frac{d}{dt}v_2 = C_y \frac{d}{dt}v_3 + v_3/R_y$
Elimino $v_2$ utilizzando la seconda legge alle tensioni, ottenendo
$v/R_x - C_x\frac{d}{dt}v_1 = C_{xy} \frac{d}{dt}(v_1 - v_3)$
$C_{xy} \frac{d}{dt}(v_1 - v_3) = C_y \frac{d}{dt}v_3 + v_3/R_y$
Elimino $v$ utilizzando la prima legge alle tensioni, ottenendo
$(V_x - v_1)/R_x - C_x\frac{d}{dt}v_1 = C_{xy} \frac{d}{dt}v_1 - C_{xy} \frac{d}{dt}v_3$
$C_{xy} \frac{d}{dt}v_1 - C_{xy} \frac{d}{dt}v_3 = C_y \frac{d}{dt}v_3 + v_3/R_y$
Sono fermo a questo punto, senza riuscire a scrivere $v_1$ in funzione di $v_3$, così da unificare le due equazioni per ottenerne una sola. Cosa sbaglio/manco?
La tensione del generatore $V_x$ è un gradino di Heaviside unitario.
Le leggi di Kirchoff e le relazioni caratteristiche dei vari componenti sono le seguenti
$V_x - v - v_1 = 0$
$v_1 - v_2 - v_3 = 0$
$i = i_1 + i_2$
$i_2 = i_4 + i_3$
$i = v/R_x$
$i_1 = C_x \frac{d}{dt}v_1$
$i_2 = C_{xy} \frac{d}{dt}v_2$
$i_3 = C_y \frac{d}{dt}v_3$
$i_4 = v_3/R_y$
Voglio arrivare a scrivere un'equazione differenziale nella sola variabile $v_3$.
Tolgo da mezzo le correnti utilizzando le relazioni caratteristiche nelle leggi di Kirchhoff, ottenendo
$v/R_x = C_x\frac{d}{dt}v_1 + C_{xy} \frac{d}{dt}v_2$
$C_{xy} \frac{d}{dt}v_2 = C_y \frac{d}{dt}v_3 + v_3/R_y$
Elimino $v_2$ utilizzando la seconda legge alle tensioni, ottenendo
$v/R_x - C_x\frac{d}{dt}v_1 = C_{xy} \frac{d}{dt}(v_1 - v_3)$
$C_{xy} \frac{d}{dt}(v_1 - v_3) = C_y \frac{d}{dt}v_3 + v_3/R_y$
Elimino $v$ utilizzando la prima legge alle tensioni, ottenendo
$(V_x - v_1)/R_x - C_x\frac{d}{dt}v_1 = C_{xy} \frac{d}{dt}v_1 - C_{xy} \frac{d}{dt}v_3$
$C_{xy} \frac{d}{dt}v_1 - C_{xy} \frac{d}{dt}v_3 = C_y \frac{d}{dt}v_3 + v_3/R_y$
Sono fermo a questo punto, senza riuscire a scrivere $v_1$ in funzione di $v_3$, così da unificare le due equazioni per ottenerne una sola. Cosa sbaglio/manco?
Risposte
La trasformata di Laplace la conosci ?
Quinzio ha ragione. Conviene usare Laplace.
Comunque, premesso che non ho controllato tutti i conti, puoi dalla seconda eq. ricavare la derivata di v1 e sostituirla nella prima. Ti rimane un'equazione dove hai solo v1, v3 e la derivata di v3. Quindi derivandola riappare la derivata di v1 che puoi nuovamente sostituire.
Comunque, premesso che non ho controllato tutti i conti, puoi dalla seconda eq. ricavare la derivata di v1 e sostituirla nella prima. Ti rimane un'equazione dove hai solo v1, v3 e la derivata di v3. Quindi derivandola riappare la derivata di v1 che puoi nuovamente sostituire.
Diciamo che non serve trovare una sola equazione differenziale; anche due, nelle variabili di stato v1 e v3, vanno benissimo lo stesso, ... e senza scomodare Laplace. 
"Quinzio":
La trasformata di Laplace la conosci?
Sì, la conosco, stavo giusto provando questo approccio seguendo questi passi:
- calcolo della trasformata dell'ingresso e delle impedenze (banale)
- calcolo del parallelo $Z_1$ tra l'impedenza di $R_y$ e quella di $C_y$
- calcolo della serie $Z_2$ tra $Z_1$ e l'impedenza di $C_{xy}$
- calcolo del parallelo $Z_3$ tra $Z_2$ e l'impedenza di $C_x$
- calcolo della corrente I tramite legge di Ohm
- calcolo della corrente $I_2$ tramite partitore
- calcolo della $I_4$ tramite partitore
- calcolo della $V_3$ tramite legge di Ohm
- antitrasformazione
Tuttavia, esce fuori un vero e proprio fiume di conti, con espressioni non proprio "friendly". Secondo te, sempre utilizzando Laplace, qual è l'approccio più furbo da seguire per comprimere i calcoli?
"ingres":
puoi dalla seconda eq. ricavare la derivata di v1 e sostituirla nella prima. Ti rimane un'equazione dove hai solo v1, v3 e la derivata di v3. Quindi derivandola riappare la derivata di v1 che puoi nuovamente sostituire
Dunque, dovrebbe venire quanto segue
$\frac{d}{dt}v_1 = (1 + C_y/C_{xy})\frac{d}{dt}v_3 + \frac{v_3}{R_yC_{xy}}$
$ (V_x - v_1)/R_x = (C_x + C_{xy})((1 + C_y/C_{xy})\frac{d}{dt}v_3 + \frac{v_3}{R_yC_{xy}})) - C_{xy} \frac{d}{dt}v_3$
$1/R_x(\frac{d}{dt}V_x - \frac{d}{dt}v_1) = (C_x + C_{xy})((1 + C_y/C_{xy})\frac{d^2}{dt^2}v_3 + 1/(R_yC_{xy})\frac{d}{dt}v_3)) - C_{xy} \frac{d^2}{dt^2}v_3 $
$1/R_xV_x^{\prime} = 1/R_x((1 + C_y/C_{xy})v_3^{\prime} + \frac{v_3}{R_yC_{xy}} )+(C_x + C_{xy})((1 + C_y/C_{xy})v_3^{''} + 1/(R_yC_{xy})v_3^{\prime})) - C_{xy}v_3^{''} $
Nell'ultima equazione ho utilizzando gli apici per le derivate per non sforare la pagina.
Sembra uscire fuori un'equazione del secondo ordine, ma non dovrebbe essere del terzo ordine visto che gli elementi dinamici sono, appunto, tre?
"RenzoDF":
non serve trovare una sola equazione differenziale; anche due, nelle variabili di stato v1 e v3, vanno benissimo lo stesso
Cioè proprio quello a cui sono arrivato io, ma senza unificarle come si prosegue?
"CosenTheta":
... ma senza unificarle come si prosegue?
Andando a scriverle nella forma di equazioni di stato, ovvero
$v_1^\prime=f(v_1,v_3,V_x)$
$v_3^\prime=g(v_1,v_3, V_x)$
BTW Mi chiedo: ma il problema devi forse risolverlo in forma simbolica?
"RenzoDF":
ma il problema devi forse risolverlo in forma simbolica?
In realtà non devo nemmeno risolverlo, visto che non mi è richiesto: leggendo questa slide sul crosstalk, dovuto alla vicinanza di linee di interconnessione sui chip, si dice che il transitorio del disturbo sulla capacità "vittima" si estingue dopo un tempo $\tau = R_Y(C_Y + C_{XY})$ ma non riesco a capire perché; è per dunque questo che tentavo di dimostrarlo studiando analiticamente il circuito.
Con Laplace usando dapprima Thevenin sulla parte di circuito in x si ottiene un circuito con un generatore equivalente con la sua impedenza equivalente (con $tau_x = R_x * C_x$)
$V_(TH) = V_x/(1+s tau_x)$
$Z_x = R_x/(1+s tau_x)$
in serie a $1/(sC_(xy))$ e alla $Z_y = R_y/(1+s tau_y)$ con $tau_y = R_y * C_y$.
Quindi $V_3(s)$ risulta:
$V_3(s) = V_(TH)*Z_y/(Z_x + 1/(sC_(xy)) + Z_y)$
Per cui definendo $tau_(x2y) = R_x * C_(xy)$ e $tau_(xy2) = R_y * C_(xy)$ , si ottiene
$V_3(s) = (s tau_(xy2) V_x(s))/((tau_(x2y)*tau_y+tau_x*tau_y+ tau_(xy2)*tau_x)s^2+(tau_(x2y)+tau_x+tau_y+ tau_(xy2))s+1)$
che puoi usare per calcolare la risposta oppure ritrasformare come equazione differenziale nel dominio del tempo.
Tuttavia ritengo che non sia necessario per lo studio in questione. In pratica quello che implicitamente si ammette è che la prima parte del circuito abbia una costante di tempo piccola e vada rapidamente a regime. Ammettiamo quindi che sia $R_x approx 0$ e quindi $tau_x approx 0$. In questo caso $V_x$ è praticamente riportata su un circuito con $C_(xy)$ in serie al parallelo di $C_y$ e $R_y$. La costante di tempo si può ricavare passivando (cortocircuitando) $V_x$, per cui si vede subito che $C_(xy)$ risulta in parallelo a $C_y$. In conclusione la tensione inizialmente va come $V_x$ e poi si estingue con costante di tempo $R_y*(C_(xy)+C_y)$
In modo più analitico e preciso, se ammettiamo che $tau_x$ e $tau_(x2y)$ siano molto piccole, avremo dall'espressione trovata
$V_3(s) approx (s tau_(xy2) V_x(s))/((tau_y+ tau_(xy2))s+1)$
ovvero il circuito è dominato dalla costante di tempo $tau_y+ tau_(xy2)=R_y*(C_(xy)+C_y)$
$V_(TH) = V_x/(1+s tau_x)$
$Z_x = R_x/(1+s tau_x)$
in serie a $1/(sC_(xy))$ e alla $Z_y = R_y/(1+s tau_y)$ con $tau_y = R_y * C_y$.
Quindi $V_3(s)$ risulta:
$V_3(s) = V_(TH)*Z_y/(Z_x + 1/(sC_(xy)) + Z_y)$
Per cui definendo $tau_(x2y) = R_x * C_(xy)$ e $tau_(xy2) = R_y * C_(xy)$ , si ottiene
$V_3(s) = (s tau_(xy2) V_x(s))/((tau_(x2y)*tau_y+tau_x*tau_y+ tau_(xy2)*tau_x)s^2+(tau_(x2y)+tau_x+tau_y+ tau_(xy2))s+1)$
che puoi usare per calcolare la risposta oppure ritrasformare come equazione differenziale nel dominio del tempo.
Tuttavia ritengo che non sia necessario per lo studio in questione. In pratica quello che implicitamente si ammette è che la prima parte del circuito abbia una costante di tempo piccola e vada rapidamente a regime. Ammettiamo quindi che sia $R_x approx 0$ e quindi $tau_x approx 0$. In questo caso $V_x$ è praticamente riportata su un circuito con $C_(xy)$ in serie al parallelo di $C_y$ e $R_y$. La costante di tempo si può ricavare passivando (cortocircuitando) $V_x$, per cui si vede subito che $C_(xy)$ risulta in parallelo a $C_y$. In conclusione la tensione inizialmente va come $V_x$ e poi si estingue con costante di tempo $R_y*(C_(xy)+C_y)$
In modo più analitico e preciso, se ammettiamo che $tau_x$ e $tau_(x2y)$ siano molto piccole, avremo dall'espressione trovata
$V_3(s) approx (s tau_(xy2) V_x(s))/((tau_y+ tau_(xy2))s+1)$
ovvero il circuito è dominato dalla costante di tempo $tau_y+ tau_(xy2)=R_y*(C_(xy)+C_y)$
Ringrazio tutti per le risposte.
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