[Elettrotecnica] Circuito con trasformatore ideale
Torno a darvi fastidio con un nuovo esercizio 
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
MC 100 35 0 0 ey_libraries.trftrf0
FCJ
TY 100 20 4 3 0 0 0 * n:1
TY 110 40 4 3 0 0 0 *
MC 25 25 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 30 25 4 3 0 0 0 * R1
TY 35 35 4 3 0 0 0 *
MC 60 30 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 60 35 4 3 0 0 0 * R2
TY 70 40 4 3 0 0 0 *
MC 135 35 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 135 40 4 3 0 0 0 * R3
TY 145 40 4 3 0 0 0 *
MC 15 35 0 0 ey_libraries.genivs0
FCJ
TY 20 35 4 3 0 0 0 * e(t)
TY 25 40 4 3 0 0 0 *
MC 50 25 1 0 ey_libraries.pascap0
FCJ
TY 50 25 4 3 0 0 0 * C
TY 60 30 4 3 0 0 0 *
MC 120 35 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 115 40 4 3 0 0 0 * L
TY 130 40 4 3 0 0 0 *
MC 85 25 0 0 ey_libraries.swcno0
FCJ
TY 75 20 4 3 0 0 0 * t=0
TY 95 30 4 3 0 0 0 *
LI 20 25 15 25 0
LI 15 25 15 30 0
LI 35 25 40 25 0
LI 55 25 80 25 0
LI 75 30 75 25 0
LI 60 45 15 45 0
LI 60 45 75 45 0
LI 75 45 100 45 0
LI 95 25 100 25 0
LI 100 25 100 30 0
LI 105 30 105 25 0
LI 105 25 120 25 0
LI 120 25 120 30 0
LI 120 45 105 45 0
LI 105 45 120 45 0
LI 120 45 125 45 0
LI 125 45 135 45 0
LI 135 30 135 25 0
LI 135 25 120 25 0
MC 60 40 0 0 ey_libraries.refpnt0
FCJ
TY 60 45 4 3 0 0 0 * i2(t)
TY 70 50 4 3 0 0 0 *
TY 130 30 4 3 0 0 0 * +
TY 130 40 4 3 0 0 0 * -
MC 75 35 0 0 ey_libraries.genics0
FCJ
TY 80 35 4 3 0 0 0 * j(t)
TY 85 40 4 3 0 0 0 *[/fcd]
Vengono richieste:
a)corrente i2(t) per t<0;
b)potenza complessa erogata dal generatore di corrente per t<0;
c)tensione ai capi del resistore R3 per t>=0;
(l'interruttore è inizialmente chiuso ma si apre a t=0, non sapevo come rappresentarlo sul disegno)
(i due generatori sono entrambi descritti in forma sinusoidale)
La mia idea è quella di effettuare il trasporto al primario per poi valutare i casi t<0 e t>=0 utilizzando il principio della sovrapposizione degli effetti.
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
MC 25 25 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 30 25 4 3 0 0 0 * R1
TY 35 35 4 3 0 0 0 *
MC 60 30 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 60 35 4 3 0 0 0 * R2
TY 70 40 4 3 0 0 0 *
MC 135 35 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 135 40 4 3 0 0 0 * R3(n^2)
TY 145 40 4 3 0 0 0 *
MC 15 35 0 0 ey_libraries.genivs0
FCJ
TY 20 35 4 3 0 0 0 * e(t)
TY 25 40 4 3 0 0 0 *
MC 50 25 1 0 ey_libraries.pascap0
FCJ
TY 50 25 4 3 0 0 0 * C
TY 60 30 4 3 0 0 0 *
MC 120 35 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 105 45 4 3 0 0 0 * L(n^2)
TY 130 40 4 3 0 0 0 *
MC 85 25 0 0 ey_libraries.swcno0
FCJ
TY 75 20 4 3 0 0 0 * t=0
TY 95 30 4 3 0 0 0 *
LI 20 25 15 25 0
LI 15 25 15 30 0
LI 35 25 40 25 0
LI 55 25 80 25 0
LI 75 30 75 25 0
LI 60 45 15 45 0
LI 60 45 75 45 0
LI 75 45 105 45 0
LI 95 25 105 25 0
LI 105 25 120 25 0
LI 120 25 120 30 0
LI 120 45 105 45 0
LI 105 45 120 45 0
LI 120 45 125 45 0
LI 125 45 135 45 0
LI 135 30 135 25 0
LI 135 25 120 25 0
MC 60 40 0 0 ey_libraries.refpnt0
FCJ
TY 60 45 4 3 0 0 0 * i2(t)
TY 70 50 4 3 0 0 0 *
TY 130 30 4 3 0 0 0 * +
TY 130 40 4 3 0 0 0 * -
MC 75 35 0 0 ey_libraries.genics0
FCJ
TY 80 35 4 3 0 0 0 * j(t)
TY 85 45 4 3 0 0 0 *[/fcd]
Per t<0 (interruttore chiuso) ho che spento il generatore di tensione (indico con Z le impedenze)
$ Z_(eq)=(R_1+Z_C)||R_2 $ e $ (Z_(Ln^2)||R_(3n^2)) $
$ I_(eq)=(J*(Z_(Ln^2)||R_(3n^2)))/((Z_(Ln^2)||R_(3n^2))+((R_1+Z_C)||R_2)) $
$ I_2=I_(eq)*(R_1+Z_c)/(R_1+Z_c+R_2 $
Spento il generatore di corrente
$ (R_(3n^2)||Z_(Ln^2))||R_2 $
$ I_2=E/(((R_(3n^2)||Z_(Ln^2))||R_2)+R_1+Z_c $
Sommando le due componenti di $ I_2 $ e portandolo nel dominio del tempo ottengo la risposta alla richiesta a.
Inoltre $ P_J=1/2*J^(coniugat)*(I_2*R_2) $ e questa è la risposta alla b.
Per la c, studio il caso in cui t>=0 e quindi l'interruttore è aperto, allora $ Z_(Ln^2)||R_(3n^2) $ è in serie con un circuito aperto dunque V3=0.
E' giusto ragionare in questo modo o sto sbagliando qualcosa?
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
MC 100 35 0 0 ey_libraries.trftrf0
FCJ
TY 100 20 4 3 0 0 0 * n:1
TY 110 40 4 3 0 0 0 *
MC 25 25 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 30 25 4 3 0 0 0 * R1
TY 35 35 4 3 0 0 0 *
MC 60 30 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 60 35 4 3 0 0 0 * R2
TY 70 40 4 3 0 0 0 *
MC 135 35 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 135 40 4 3 0 0 0 * R3
TY 145 40 4 3 0 0 0 *
MC 15 35 0 0 ey_libraries.genivs0
FCJ
TY 20 35 4 3 0 0 0 * e(t)
TY 25 40 4 3 0 0 0 *
MC 50 25 1 0 ey_libraries.pascap0
FCJ
TY 50 25 4 3 0 0 0 * C
TY 60 30 4 3 0 0 0 *
MC 120 35 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 115 40 4 3 0 0 0 * L
TY 130 40 4 3 0 0 0 *
MC 85 25 0 0 ey_libraries.swcno0
FCJ
TY 75 20 4 3 0 0 0 * t=0
TY 95 30 4 3 0 0 0 *
LI 20 25 15 25 0
LI 15 25 15 30 0
LI 35 25 40 25 0
LI 55 25 80 25 0
LI 75 30 75 25 0
LI 60 45 15 45 0
LI 60 45 75 45 0
LI 75 45 100 45 0
LI 95 25 100 25 0
LI 100 25 100 30 0
LI 105 30 105 25 0
LI 105 25 120 25 0
LI 120 25 120 30 0
LI 120 45 105 45 0
LI 105 45 120 45 0
LI 120 45 125 45 0
LI 125 45 135 45 0
LI 135 30 135 25 0
LI 135 25 120 25 0
MC 60 40 0 0 ey_libraries.refpnt0
FCJ
TY 60 45 4 3 0 0 0 * i2(t)
TY 70 50 4 3 0 0 0 *
TY 130 30 4 3 0 0 0 * +
TY 130 40 4 3 0 0 0 * -
MC 75 35 0 0 ey_libraries.genics0
FCJ
TY 80 35 4 3 0 0 0 * j(t)
TY 85 40 4 3 0 0 0 *[/fcd]
Vengono richieste:
a)corrente i2(t) per t<0;
b)potenza complessa erogata dal generatore di corrente per t<0;
c)tensione ai capi del resistore R3 per t>=0;
(l'interruttore è inizialmente chiuso ma si apre a t=0, non sapevo come rappresentarlo sul disegno)
(i due generatori sono entrambi descritti in forma sinusoidale)
La mia idea è quella di effettuare il trasporto al primario per poi valutare i casi t<0 e t>=0 utilizzando il principio della sovrapposizione degli effetti.
[fcd="Schema elettrico"][FIDOCAD]
MC 25 25 0 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 30 25 4 3 0 0 0 * R1
TY 35 35 4 3 0 0 0 *
MC 60 30 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 60 35 4 3 0 0 0 * R2
TY 70 40 4 3 0 0 0 *
MC 135 35 1 0 ey_libraries.pasres0
FCJ
TY 135 40 4 3 0 0 0 * R3(n^2)
TY 145 40 4 3 0 0 0 *
MC 15 35 0 0 ey_libraries.genivs0
FCJ
TY 20 35 4 3 0 0 0 * e(t)
TY 25 40 4 3 0 0 0 *
MC 50 25 1 0 ey_libraries.pascap0
FCJ
TY 50 25 4 3 0 0 0 * C
TY 60 30 4 3 0 0 0 *
MC 120 35 1 0 ey_libraries.pasind0
FCJ
TY 105 45 4 3 0 0 0 * L(n^2)
TY 130 40 4 3 0 0 0 *
MC 85 25 0 0 ey_libraries.swcno0
FCJ
TY 75 20 4 3 0 0 0 * t=0
TY 95 30 4 3 0 0 0 *
LI 20 25 15 25 0
LI 15 25 15 30 0
LI 35 25 40 25 0
LI 55 25 80 25 0
LI 75 30 75 25 0
LI 60 45 15 45 0
LI 60 45 75 45 0
LI 75 45 105 45 0
LI 95 25 105 25 0
LI 105 25 120 25 0
LI 120 25 120 30 0
LI 120 45 105 45 0
LI 105 45 120 45 0
LI 120 45 125 45 0
LI 125 45 135 45 0
LI 135 30 135 25 0
LI 135 25 120 25 0
MC 60 40 0 0 ey_libraries.refpnt0
FCJ
TY 60 45 4 3 0 0 0 * i2(t)
TY 70 50 4 3 0 0 0 *
TY 130 30 4 3 0 0 0 * +
TY 130 40 4 3 0 0 0 * -
MC 75 35 0 0 ey_libraries.genics0
FCJ
TY 80 35 4 3 0 0 0 * j(t)
TY 85 45 4 3 0 0 0 *[/fcd]
Per t<0 (interruttore chiuso) ho che spento il generatore di tensione (indico con Z le impedenze)
$ Z_(eq)=(R_1+Z_C)||R_2 $ e $ (Z_(Ln^2)||R_(3n^2)) $
$ I_(eq)=(J*(Z_(Ln^2)||R_(3n^2)))/((Z_(Ln^2)||R_(3n^2))+((R_1+Z_C)||R_2)) $
$ I_2=I_(eq)*(R_1+Z_c)/(R_1+Z_c+R_2 $
Spento il generatore di corrente
$ (R_(3n^2)||Z_(Ln^2))||R_2 $
$ I_2=E/(((R_(3n^2)||Z_(Ln^2))||R_2)+R_1+Z_c $
Sommando le due componenti di $ I_2 $ e portandolo nel dominio del tempo ottengo la risposta alla richiesta a.
Inoltre $ P_J=1/2*J^(coniugat)*(I_2*R_2) $ e questa è la risposta alla b.
Per la c, studio il caso in cui t>=0 e quindi l'interruttore è aperto, allora $ Z_(Ln^2)||R_(3n^2) $ è in serie con un circuito aperto dunque V3=0.
E' giusto ragionare in questo modo o sto sbagliando qualcosa?
Risposte
Per $t < 0$ la rete si trova in regime sinusoidale e quindi ok per il metodo che vai ad usare [nota]Anche se via Millman o via potenziali nodali, la determinazione, della tensione ai morsetti del GIC e di conseguenza la $I_2$, sarebbe risultata più rapida.[/nota], ok anche per il trasporto al primario, ma manca una ulteriore partizione della corrente erogata dal GIT per determinare la quotaparte della $I_2$ relativa allo stesso.
Se usi fasori a valore massimo, Ok per la potenza complessa (per il coniugato in Elettrotecnica si usa un asterisco come apice $J^\text{*}$.).
Per $t > 0$ invece, l'apertura dell'interruttore porta la rete in regime transitorio e di conseguenza, per rispondere alla richiesta c) del testo, dovrai andare a ricavarti il valore della corrente nell'induttore per t=0, valore che ti permetterà di ottenere la $i_L(t)$ per $t>0$, che solo asintoticamente tenderà a zero per t tendente a infinito.
Se usi fasori a valore massimo, Ok per la potenza complessa (per il coniugato in Elettrotecnica si usa un asterisco come apice $J^\text{*}$.).
Per $t > 0$ invece, l'apertura dell'interruttore porta la rete in regime transitorio e di conseguenza, per rispondere alla richiesta c) del testo, dovrai andare a ricavarti il valore della corrente nell'induttore per t=0, valore che ti permetterà di ottenere la $i_L(t)$ per $t>0$, che solo asintoticamente tenderà a zero per t tendente a infinito.
"RenzoDF":
... manca una ulteriore partizione della corrente erogata dal GIT per determinare la quotaparte della I2 relativa allo stesso.
Si mi sa che ho sbagliato, penso che cosi dovrebbe andare bene
$ I_2=E/(((R_(3n^2)||Z_(Ln^2))||R_2)+R_1+Z_c)*((R_(3n^2)||Z_(Ln^2))/(R_(3n^2)||Z_(Ln^2)+R_2)) $
"RenzoDF":
Per t>0 invece, l'apertura dell'interruttore porta la rete in regime transitorio e di conseguenza, per rispondere alla richiesta c) del testo, dovrai andare a ricavarti il valore della corrente nell'induttore per t=0, valore che ti permetterà di ottenere la iL(t) per t>0
Quindi se considero il caso t<0 con sovrapposizione ho che
$ I_(Ln^2)^{\prime}=J((R_1+Z_c)||R_2)/((R_1+Z_c)||R_2+(R_(3n^2)||Z_(Ln^2)))*R_(3n^2)/(R_(3n^2+Z_(Ln^2))) $
$ I_(Ln^2)^('')=E*1/(R_1+Z_c+((R_(3n^2)||Z_(Ln^2))||R_2))*R_2/(R_2+(R_(3n^2)||Z_(Ln^2)))*R_(3n^2)/(R_(3n^2)+Z_(Ln^2)) $
per t>=0 la resistenza R3 e l'induttore vengono a mancare perche il loro parallelo è in serie con un circuito aperto e quindi a prescindere dal generatore che considero avrò sempre i(Ln^2)=0.
Quindi se vado a considerare che $ i_(Ln^2)(t)=A*e^(-t/(R_(eq)*C)) $
La matrice A coincide con la corrente i(Ln^2) ottenuta per t<0, mentre
$ R_(eq)=(R_1+Z_c)||R_2 $
A questo punto $ V_(R_(3n^2))(t)=i_(Ln^2)(t)*R_(3n^2) $
$ V_(R_3)=(V_(R_(3n^2))(t))/n $
Fila adesso?
"RenzoDF":
Anche se via Millman o via potenziali nodali, la determinazione, della tensione ai morsetti del GIC e di conseguenza la I2, sarebbe risultata più rapida.
Grazie del consiglio, ora provo a rifare il procedimento con i potenziali di nodo cosi confronto i due metodi.
"Tr4mster":
... Si mi sa che ho sbagliato, penso che cosi dovrebbe andare bene ...
"Tr4mster":
... Quindi se considero il caso t<0 con sovrapposizione ho che ...
Non serve rideterminare da zero, per la corrente nell'induttore, basta la legge di Ohm, visto che disponi già della tensione ai morsetti del GIC.
"Tr4mster":
... per t>=0 la resistenza R3 e l'induttore vengono a mancare perche il loro parallelo è in serie con un circuito aperto e quindi a prescindere dal generatore che considero avrò sempre i(Ln^2)=0....
No, per t > 0, la resistenza R3 e l'induttore L vengono ad essere isolati dal resto della rete e quindi la corrente circolante in entrambi avrà la forma [nota]Occhio comunque ai versi, anche relativamente alla tensione richiesta.[/nota]
$ i_(L n^2)(t)=A*e^(-t (R_3n^2)/(L n^2)) $
dove la costante $A=i_(L n^2)(0^-)$, determinabile usando il fasore ottenuto per t<0.
"RenzoDF":
Non serve rideterminare da zero, per la corrente nell'induttore, basta la legge di Ohm, visto che disponi già della tensione ai morsetti del GIC.
Intendi che $ V_L=V_2=I_2*R_2 $ e da qui poi uso la caratteristica dell'induttore per ricavare iL?
"RenzoDF":
No, per t > 0, la resistenza R3 e l'induttore L vengono ad essere isolati dal resto della rete e quindi la corrente circolante in entrambi avrà la forma1
Questa cosa non credo di averla capita...
in pratica poichè per t>0 sto a regime posso considerare L al pari di un generatore di corrente e quindi isolarlo insieme ad R3?E' proprio per questo motivo che poi la $ R_(eq)=R_3 $ ?
"Tr4mster":
...
Intendi che $ V_L=V_2=I_2*R_2 $ e da qui poi uso la caratteristica dell'induttore per ricavare iL?
Esatto.
"Tr4mster":
... Questa cosa non credo di averla capita...
Per t>0 entrambe le semireti (destra e sinistra), che vengono a crearsi a causa dell'apertura dell'interruttore, sono in "regime transitorio"; per tua "fortuna" devi considerare solo la semirete destra, costituita dall'unica maglia data dal parallelo fra resistore e induttore (riportati al primario) e di conseguenza, dovrai studiare l'evoluzione di questo semplice circuito RL, sfruttando la conoscenza della condizione iniziale (per la corrente nell'induttore) che come ben sai non può presentare discontinuità per t=0.
Perfetto, mi sorge solo una curiosità. In base a cosa posso dimostrare che quei due circuiti (che si vengono a formare per t>0) sono in regime transitorio?
EDIT:Pensandoci mi verebbe da dire che scattando l'interruttore viene modificato il circuito e quindi le grandezze in gioco, dunque affinchè si giunga ad un nuovo stato di regime si verifica prima un transitorio.
È forse questo il motivo?
EDIT:Pensandoci mi verebbe da dire che scattando l'interruttore viene modificato il circuito e quindi le grandezze in gioco, dunque affinchè si giunga ad un nuovo stato di regime si verifica prima un transitorio.
È forse questo il motivo?
"Tr4mster":
... È forse questo il motivo?
Esatto, cambiando la topologia della rete, che va a dividersi nelle due sottoreti, cambia il regime [nota]Da sinusoidale a sinusoidale a sinistra, da sinusoidale a stazionario a destra.[/nota], e in entrambe le semireti questo avviene passando attraverso un regime transitorio che, anche se teoricamente necessiterebbe di un tempo infinito per completarsi, in praticamente si esaurisce dopo un tempo sufficientemente maggiore delle costanti di tempo associate alla rete.
Giusto per esercitarti, ti consiglio di provare a determinare anche la $i_2(t)$ per $t > 0$.
"RenzoDF":
Giusto per esercitarti, ti consiglio di provare a determinare anche la i2(t) per t>0.
Seguendo lo stesso ragionamento che hai fatto precedentemente, posso dividere il circuito nelle due reti di destra e sinistra e dire che il potenziale fra i capi del circuito RL, ottenuto a destra, risulta uguale a quello ai capi della rete di sinistra?
Quindi i2(t) sarà data da questo potenziale diviso R2?
No, forse non mi sono spiegato bene, all'apertura dell'interruttore la rete si divide nelle due semireti che non interagiscono più ed evolvono indipendentemente: a destra potrai usare la continuità della $i_L$, a sinistra la continuità della $v_C$ per $t=0$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo