[Elettrotecnica] Circuiti con Laplace: giusto il procedimento?
Vorrei sapere, per i due seguenti esercizi, se il procedimento che propongo è quello corretto.
Determinare la dinamica della tensione del condensatore con la trasformata di Laplace
Ho determinato le impedenze operatoriali $Z_L = 0.002s$ , $Z_C = 10^{5}/s$, calcolato il parallelo tra $R_1$ e $Z_L$ ovvero $Z_{L1} = \frac{0.002s}{1+0.002s}$ e la serie tra $C$ e $R_2$ ovvero $Z_{C2} = 2+10^{5}/s$
A questo punto, mi ritrovo con il generatore di corrente (con $J = 5$), $Z_{L1}$ e $Z_C2$ in parallelo tra loro.
Calcolo la corrente in $Z_{C2}$ con il partitore di corrente
$I_{C2} = J \cdot \frac{Z_{L1}}{Z_{L1}+Z_{C2}}$
e infine la tensione dell'impedenza $Z_C$ con il partitore di tensione
$V_{C} = Z_{C2} I_{C2} \cdot \frac{Z_C}{Z_C + R_2}$
---
Determinare la dinamica dell’intensità di corrente dell’induttore
Lo risolverei con la sovrapposizione degli effetti. Siccome lo scopo è discutere l'analisi dei circuiti con Laplace, considererò acceso direttamente il solo generatore di corrente $J = 2$
Le impedenze operatoriali sono $Z_C = 2/s$ , $Z_L = 0.002s$ e calcolo la serie tra il condensatore e il resistore trovando $Z_{C2} = 10 + 2/s$ trovandomi così con il generatore di corrente, il resistore $R_1$, l'impedenza $Z_L$ e l'impedenza $Z_{C2}$ tutti in parallelo tra loro.
Calcolo per comodità il parallelo tra $Z_{C2}$ e $R_1$ ottenendo $Z_{C21} = \frac{50s+10}{15s+2}$
Ottengo infine la corrente dell'impedenza $Z_L$ applicando il partitore di corrente
$I_{Z_L} = J \cdot \frac{Z_{C21}}{Z_{C21}+Z_L}$
.
Per entrambi gli esercizi, vi chiedo: è giusto il procedimento?
Voglio esserne sicuro, perchè svolgendo i calcoli vengono fuori numeri parecchio brutti e intimidatori... e dovrei farne l'antitrasformata...
Grazie in anticipo!
Determinare la dinamica della tensione del condensatore con la trasformata di Laplace
Ho determinato le impedenze operatoriali $Z_L = 0.002s$ , $Z_C = 10^{5}/s$, calcolato il parallelo tra $R_1$ e $Z_L$ ovvero $Z_{L1} = \frac{0.002s}{1+0.002s}$ e la serie tra $C$ e $R_2$ ovvero $Z_{C2} = 2+10^{5}/s$
A questo punto, mi ritrovo con il generatore di corrente (con $J = 5$), $Z_{L1}$ e $Z_C2$ in parallelo tra loro.
Calcolo la corrente in $Z_{C2}$ con il partitore di corrente
$I_{C2} = J \cdot \frac{Z_{L1}}{Z_{L1}+Z_{C2}}$
e infine la tensione dell'impedenza $Z_C$ con il partitore di tensione
$V_{C} = Z_{C2} I_{C2} \cdot \frac{Z_C}{Z_C + R_2}$
---
Determinare la dinamica dell’intensità di corrente dell’induttore
Lo risolverei con la sovrapposizione degli effetti. Siccome lo scopo è discutere l'analisi dei circuiti con Laplace, considererò acceso direttamente il solo generatore di corrente $J = 2$
Le impedenze operatoriali sono $Z_C = 2/s$ , $Z_L = 0.002s$ e calcolo la serie tra il condensatore e il resistore trovando $Z_{C2} = 10 + 2/s$ trovandomi così con il generatore di corrente, il resistore $R_1$, l'impedenza $Z_L$ e l'impedenza $Z_{C2}$ tutti in parallelo tra loro.
Calcolo per comodità il parallelo tra $Z_{C2}$ e $R_1$ ottenendo $Z_{C21} = \frac{50s+10}{15s+2}$
Ottengo infine la corrente dell'impedenza $Z_L$ applicando il partitore di corrente
$I_{Z_L} = J \cdot \frac{Z_{C21}}{Z_{C21}+Z_L}$
.
Per entrambi gli esercizi, vi chiedo: è giusto il procedimento?
Voglio esserne sicuro, perchè svolgendo i calcoli vengono fuori numeri parecchio brutti e intimidatori... e dovrei farne l'antitrasformata...
Grazie in anticipo!
Risposte
Usando un tool online, trovo, ad esempio, $V_C$ (del primo esercizio):
Mai possibile che io debba far questo casino per un esercizio?
Devo aver sbagliato qualcosa nell'impostazione ... mi rifuto di credere che in una prova d'esame venga chiesto di fare tutto tranne che un esercizio di elettrotecnica.
Considerando che dopo dovrei pure antitrasformare...
Mai possibile che io debba far questo casino per un esercizio?
Devo aver sbagliato qualcosa nell'impostazione ... mi rifuto di credere che in una prova d'esame venga chiesto di fare tutto tranne che un esercizio di elettrotecnica.
Considerando che dopo dovrei pure antitrasformare...
"DeltaEpsilon":
e infine la tensione dell'impedenza $ Z_C $ con il partitore di tensione
$ V_{C} = Z_{C2} I_{C2} \cdot \frac{Z_C}{Z_C + R_2} $
Credo che una semplificazione potrebbe essere:
$ V_{C}=I_{C2}*Z_{C}$
... e poteva anche evitare il doppio partitore di corrente, usando un partitore a tre. 
Ad ogni modo, leggendo che
La prima e la seconda rete sono topologicamente uguali [nota]Con GIT spento nella seconda.[/nota], di conseguenza, viste le richieste, il miglior metodo risolutivo per entrambe direi sia Thevenin; applicandolo per la prima, dai morsetti del condensatore
$Z_{Th}=R_1\text{||} \ sL+R_2$
$E_{Th}=J (R_1\text{||} \ sL)$
e quindi, facilmente, via partitore di tensione, alla $V_C(s)$
che antitrasformata ti fornisce la tensione $v_C(t)$.
Per la seconda, ovviamente, lo applicherai dai morsetti dell'induttore.
BTW Giusto per curiosità, quale tool online hai usato?
Ad ogni modo, leggendo che
"DeltaEpsilon":
... Devo aver sbagliato qualcosa nell'impostazione ... mi rifuto di credere che in una prova d'esame venga chiesto di fare tutto tranne che un esercizio di elettrotecnica. ...
La prima e la seconda rete sono topologicamente uguali [nota]Con GIT spento nella seconda.[/nota], di conseguenza, viste le richieste, il miglior metodo risolutivo per entrambe direi sia Thevenin; applicandolo per la prima, dai morsetti del condensatore
$Z_{Th}=R_1\text{||} \ sL+R_2$
$E_{Th}=J (R_1\text{||} \ sL)$
e quindi, facilmente, via partitore di tensione, alla $V_C(s)$
che antitrasformata ti fornisce la tensione $v_C(t)$.
Per la seconda, ovviamente, lo applicherai dai morsetti dell'induttore.
BTW Giusto per curiosità, quale tool online hai usato?
Grazie ad entrambi
MiniMath... non sembra il massimo, nella foto che ho messo prima, ad esempio, non ha colto la semplificazione della seconda frazione mettendo in evidenza 2.
"RenzoDF":
BTW Giusto per curiosità, quale tool online hai usato?
MiniMath... non sembra il massimo, nella foto che ho messo prima, ad esempio, non ha colto la semplificazione della seconda frazione mettendo in evidenza 2.
Sulla base dei suggerimenti ricevuti, trovo che $V_C = \frac{1000s}{0.006s^2+202s+10^5}$
Quindi non mi resta che trovare l'antitrasformata di Laplace
$v_C(t) = 1000 \cdot L^(-1) [\frac{s}{0.006s^2+202s+10^5}]$
per il denominatore trovo le radici $s_1 = -33164$ e $s_2 = -502.6$
Quindi $v_C(t) = 1000/(0.006) \cdot L^(-1)[\frac{s}{(s+33164)(s+502.6)}] = 1000/(0.006) \cdot L^(-1)[F(s)] = 1000/(0.006) \cdot L^(-1)[A/(s+33164) + B/(s+502.6)]$
trovo ora le costanti $A$ e $B$
$A = Res(F(s), s_1) = 1.015 $
$B = Res(F(s), s_2) = 0.0153 $
Di conseguenza è immediato ricavare l'antitrasformata di Laplace
$v_C(t) = 169166e^(-33164t)-2550e^(-502.6t)$
Quindi non mi resta che trovare l'antitrasformata di Laplace
$v_C(t) = 1000 \cdot L^(-1) [\frac{s}{0.006s^2+202s+10^5}]$
per il denominatore trovo le radici $s_1 = -33164$ e $s_2 = -502.6$
Quindi $v_C(t) = 1000/(0.006) \cdot L^(-1)[\frac{s}{(s+33164)(s+502.6)}] = 1000/(0.006) \cdot L^(-1)[F(s)] = 1000/(0.006) \cdot L^(-1)[A/(s+33164) + B/(s+502.6)]$
trovo ora le costanti $A$ e $B$
$A = Res(F(s), s_1) = 1.015 $
$B = Res(F(s), s_2) = 0.0153 $
Di conseguenza è immediato ricavare l'antitrasformata di Laplace
$v_C(t) = 169166e^(-33164t)-2550e^(-502.6t)$
Per quanto riguarda il secondo esercizio, i conti sono ancora antipatici 
Intanto la $Z_C$ è $2000/s$, mentre dell'OP ho erroneamente riportato $2/s$
Dunque, applico Thevenin all'impedenza $Z_L$
Dove $Z_{C2} = Z_C + R_2 = 10 + 2000/s$
$I_{R1} = J \frac{Z_{C2}}{R_1 + Z_{C2}} = \frac{4s+800}{3s+400}$
Di conseguenza $E_0 = V_{R1} = R_1 \cdot I_{R1} = \frac{s+200}{0.15s+20}$ è la tensione a vuoto
Per il calcolo dell'impedenza di Thevenin invece faccio meramente il parallelo tra $R1$ e $Z_{C2}$
$Z_{Th} = R_1 \text{//} Z_{C2} = \frac{10s+2000}{3s+400}$
Non mi resta che considerare il circuito equivalente
per poi ricavare $I_L = \frac{E_0}{Z_{Th}+Z_L}$ di cui andrebbe poi calcolata l'antitrasformata di Laplace.
Quest'ultima espressione l'ho trovata abbastanza ostica da maneggiare, motivo per cui non sono riuscito a ricondurla in una forma tale da consentirmi di valutarne agevolmente l'antitrasformata.
Lasciando comunque i calcoli della $I_L$ a Wolfram Alpha ottengo che l'antitrasformata è
una roba inavvicinabile
.
Probabilmente c'è qualche errore nell'applicazione del teorema di Thevenin? O di calcolo?
In ogni caso, l'importante per me è apprendere il procedimento generale.
Intanto la $Z_C$ è $2000/s$, mentre dell'OP ho erroneamente riportato $2/s$
Dunque, applico Thevenin all'impedenza $Z_L$
Dove $Z_{C2} = Z_C + R_2 = 10 + 2000/s$
$I_{R1} = J \frac{Z_{C2}}{R_1 + Z_{C2}} = \frac{4s+800}{3s+400}$
Di conseguenza $E_0 = V_{R1} = R_1 \cdot I_{R1} = \frac{s+200}{0.15s+20}$ è la tensione a vuoto
Per il calcolo dell'impedenza di Thevenin invece faccio meramente il parallelo tra $R1$ e $Z_{C2}$
$Z_{Th} = R_1 \text{//} Z_{C2} = \frac{10s+2000}{3s+400}$
Non mi resta che considerare il circuito equivalente
per poi ricavare $I_L = \frac{E_0}{Z_{Th}+Z_L}$ di cui andrebbe poi calcolata l'antitrasformata di Laplace.
Quest'ultima espressione l'ho trovata abbastanza ostica da maneggiare, motivo per cui non sono riuscito a ricondurla in una forma tale da consentirmi di valutarne agevolmente l'antitrasformata.
Lasciando comunque i calcoli della $I_L$ a Wolfram Alpha ottengo che l'antitrasformata è
una roba inavvicinabile
.
Probabilmente c'è qualche errore nell'applicazione del teorema di Thevenin? O di calcolo?
In ogni caso, l'importante per me è apprendere il procedimento generale.
"DeltaEpsilon":
Sulla base dei suggerimenti ricevuti, trovo che
$v_C(t) = 169166e^(-33164t)-2550e^(-502.6t)$
Ok, io trovo
$v_C(t) \approx 169231e^(-33164t)-2564e^(-502.6t)$
di conseguenza, come al solito, risultato ufficiale errato, così come è errato lo schema.
NB Nel caso non fosse stato imposto Laplace, la soluzione poteva essere ottenuta più semplicemente andando a ricavarsi le due "frequenze naturali" attraverso il metodo che avevo indicato in
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8475967
per poi ottenere le due costanti via valori iniziali.
"DeltaEpsilon":
... Quest'ultima espressione l'ho trovata abbastanza ostica da maneggiare,
Probabilmente c'è qualche errore nell'applicazione del teorema di Thevenin? O di calcolo? .
Non capisco dove sia l'osticità, visto che la relazione è simile a quella del precedente problema, ovviamente dobbiamo accontentarci di un calcolo approssimato, non andare a ricavare il risultato numericamente corretto come fa Wolfram.
Ad ogni modo il metodo è corretto, anche se facevi prima a determinare da ZTh la ETh via Ohm.
BTW Anche in questo caso, visto che sostanzialmente si tratta di risolvere un circuito con forzante impulsiva, la via più veloce sarebbe stata quella suggerita per il precedente problema. Se io fossi in te proverei anche questa strada alternativa; potrebbe esserti utile.
"RenzoDF":
Nel caso non fosse stato imposto Laplace, la soluzione poteva essere ottenuta più semplicemente andando a ricavarsi le due "frequenze naturali"
"RenzoDF":
Se io fossi in te proverei anche questa strada alternativa; potrebbe esserti utile.
Per entrambi gli esercizi viene esplicitamente richiesto di operare nel dominio della frequenza.
Grazie comunque
"RenzoDF":
Non capisco dove sia l'osticità
Sta nell'ottenere un'espressione per $I_L$ tale da poterne ricavare l'antitrasformata in maniera agevole (per me ovviamente, Wolfram non si crea questi problemi
)
Mah, continuo a non capire, ad ogni modo, per gli eventuali "curiosi" che volessero provare a risolverlo, ancora una volta, una soluzione ufficiale errata.
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