[Elettrotecnica] circuiti aperiodici con mutua induttanza
Premesso che il circuito seguente è già stato studiato per t<0 (interruttore chiuso) e
dovendo invece studiarlo per $t>=0$ (interruttore aperto), chiedo se l'equazione alla maglia che ho riportato è giusta.
Il mio dubbio è sul contributo della mutua induttanza.
Il segno delle mutua induttanza sono certo che è negativo in quanto la corrente $i(t)$ in $L_2$ entra nel contrassegno mentre la corrente $J$ in $L_1$ esce dal contrassegno.
Ma devo scrivere anche il contributo del valore iniziale di $L_1$, dato dal generatore di tensione $i_1(0^-)L1$, nell'equazione della maglia ?
dovendo invece studiarlo per $t>=0$ (interruttore aperto), chiedo se l'equazione alla maglia che ho riportato è giusta.
Il mio dubbio è sul contributo della mutua induttanza.
Il segno delle mutua induttanza sono certo che è negativo in quanto la corrente $i(t)$ in $L_2$ entra nel contrassegno mentre la corrente $J$ in $L_1$ esce dal contrassegno.
Ma devo scrivere anche il contributo del valore iniziale di $L_1$, dato dal generatore di tensione $i_1(0^-)L1$, nell'equazione della maglia ?
Risposte
Credo che il coefficiente di mutua induzione ti sia stato fornito segno compreso nei dati, quindi suppongo tu faccia riferimento al segno del suo contributo nella somma algebrica delle tensioni di maglia, ad ogni modo, perché mai dovresti scrivere anche il contributo di un GIT forzante una diversa maglia?
In generale quel generatore di tensione andrà ad influire sulla corrente I1 e quindi indirettamente sulla I, ma non in questo caso, vista la presenza del GIC.
Vorrei solo farti notare che senza indicazione del punto di connessione in quell'incrocio centrale, con l'interruttore aperto, non esisterebbero due ma una sola maglia.
BTW Vista la risoluzione via Laplace, non indicare le correnti come funzioni del tempo ma della variabile complessa s.
In generale quel generatore di tensione andrà ad influire sulla corrente I1 e quindi indirettamente sulla I, ma non in questo caso, vista la presenza del GIC.
Vorrei solo farti notare che senza indicazione del punto di connessione in quell'incrocio centrale, con l'interruttore aperto, non esisterebbero due ma una sola maglia.
BTW Vista la risoluzione via Laplace, non indicare le correnti come funzioni del tempo ma della variabile complessa s.
"RenzoDF":
BTW Vista la risoluzione via Laplace, non indicare le correnti come funzioni del tempo ma della variabile complessa s.
Ho fornito informazioni incomplete ed ho fatto, come al solito, confusione.
Questo è il circuito originale.
Supposto che il circuito sia già stato studiato per $t<0$, ho pensato che per $t>=0$ dovessi inserire solo i generatori di tensione di condizione iniziale sia per l'induttore $L_1$ che per $L_2$ ma credo che il problema sia proprio questo:
forse occorre disegnare anche il generatore di tensione di condizione iniziale anche per la mutua induttanza su ciascuna maglia? Credo che la mia ricostruzione del circuito equivalente Laplace sia sbagliata.
Vorrei solo farti notare che senza indicazione del punto di connessione in quell'incrocio centrale, con l'interruttore aperto, non esisterebbero due ma una sola maglia
Non capisco cosa intendi per punto di connessione, dovevo mettere un pallino per far capire che c'e' un nodo ?
Sono consapevole che la maglia per la quale è necessario scrivere la relativa equazione è soltanto una, quella dove presente $L_2$.
non indicare le correnti come funzioni del tempo ma della variabile complessa s
Grazie 1000! Accidenti mi ero distratto.
Sì, in quel punto deve esserci il "pallino" che indica una connessione, almeno per le regole del "mondo reale", che poi in H-demia vengono purtroppo regolarmente ignorate. 
Per quanto riguarda la tua incertezza sui quali siano i generatori che modellano le condizioni iniziali, per fare chiarezza, ti chiedo invece di postare le due relazioni[nota]Per favore in codice LaTeX.[/nota] costitutive di un generico mutuo induttore, nel dominio del tempo; partendo da quelle vedrai che tutto si chiarirà.
BTW Quali sono e come hai ricavato le condizioni iniziali per le due correnti?
Per quanto riguarda la tua incertezza sui quali siano i generatori che modellano le condizioni iniziali, per fare chiarezza, ti chiedo invece di postare le due relazioni[nota]Per favore in codice LaTeX.[/nota] costitutive di un generico mutuo induttore, nel dominio del tempo; partendo da quelle vedrai che tutto si chiarirà.
BTW Quali sono e come hai ricavato le condizioni iniziali per le due correnti?
"RenzoDF":
ori che modellano le condizioni iniziali, per fare chiarezza, ti chiedo invece di postare le due relazioni costitutive di un generico mutuo induttore, nel dominio del tempo; partendo da quelle vedrai che tutto si chiarirà.
per un generico induttore:
[tex]i(t)= i(t_0)+ \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{t} i(\tau)d\tau[/tex]
[tex]v(t) = \frac {d(i)}{dt} L[/tex]
Quali sono e come hai ricavato le condizioni iniziali per le due correnti?
[tex]I_{L1}(0^-) = 2 A[/tex]
abbiamo il generatore di corrente J quindi non si sbaglia.
[tex]I_{L2}(0^-) =\frac {2}{3} A[/tex]
perchè c'e' un partitore di corrente, quindi la corrente J si ripartisce in parti uguali sui 3 rami.
"zio_mangrovia":
... per un generico induttore: ...
Non ti ho chiesto la relazione costitutuva per un generico induttore,
ma per un generico "mutuo induttore".
BTW
"zio_mangrovia":
...
[tex]i(t)= i(t_0)+ \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{t} i(\tau)d\tau[/tex] ..
Di certo intendevi scrivere
[tex]i(t)= i(t_0)+ \frac{1}{L} \int_{t_0}^{t} v(\tau)\ \text{d}\tau[/tex]
Per quanto riguarda le condizioni iniziali, ok.
Di certo intendevi scrivere
porca miseria, la fretta di leggere e scrivere. Devo stare più attento!
Per il mutuo induttore:
[tex]\phi_1(t) = L_1 i_1(t) \pm M i_2(t)[/tex]
da cui
[tex]v_1(t) = L_1 \frac{di_1(t)}{dt} \pm M \frac{di_2(t)}{dt}[/tex]
Quindi provo a rispondermi da solo, essendo nella relazione costitutiva coinvolte le due correnti $i_1$ e $i_2$ nel circuito equivalente Laplace ci saranno anche le due condizioni iniziali corrispondenti, corretto?
Sì, ma ti ricordo anche che le relazioni costitutive di un mutuo induttore sono due e scrivendole bisogna necessariamente specificare a quali convenzioni per tensioni e correnti del doppio bipolo siano riferite.
Ad ogni modo, da quelle relazioni, ricordando la proprietà della trasformata di Laplace relativa alla derivata di una funzione del tempo, avrai la risposta alla tua domanda, in tutte le possibili situazioni circuitali, ma ricorda sempre che devi prestare particolare attenzione ai segni
Nel tuo caso particolare poi, la presenza del GIC, che forza una corrente costante in una delle due porte del doppio bipolo, semplifica drasticamente il problema.
Ad ogni modo, da quelle relazioni, ricordando la proprietà della trasformata di Laplace relativa alla derivata di una funzione del tempo, avrai la risposta alla tua domanda, in tutte le possibili situazioni circuitali, ma ricorda sempre che devi prestare particolare attenzione ai segni
Nel tuo caso particolare poi, la presenza del GIC, che forza una corrente costante in una delle due porte del doppio bipolo, semplifica drasticamente il problema.
"RenzoDF":
Sì, ma ti ricordo anche che le relazioni costitutive di un mutuo induttore sono due e scrivendole bisogna necessariamente specificare a quali convenzioni per tensioni e correnti del doppio bipolo siano riferite.
Ad ogni modo, da quelle relazioni, ricordando la proprietà della trasformata di Laplace relativa alla derivata di una funzione del tempo, avrai la risposta alla tua domanda, in tutte le possibili situazioni circuitali
$v_1 = L_1 (deli_1(t))/(delt) + M (deli_2(t))/(delt)$
$v_2 = L_2 (deli_2(t))/(delt) + M(deli_1(t))/(delt)$
$V_1(s) = L_1 [sI_1(s)-i_1(0^-)] + M [sI_2(s)-i_2(0^-)]$
$V_2(s) = L_2 [sI_2(s)-i_2(0^-)] + M [sI_1(s)-i_1(0^-)]$
Se non capisco male il segno dei generatori di tensione di auto va indicato in base al verso delle correnti iniziali che scorrono negli induttori per $t<0$ cioè quando l'interruttore è chiuso. Quindi guardo il verso della corrente $i_x(0^-)$ e metto il pallino nel gdt $L_x i_x(0^-)$ corrispondente.
Non capisco però il segno del generatore di tensione di Mutua con quale criterio va messo.
Ok, ora ci siamo.
In un mutuo induttore quelle due relazioni costitutive valgono (per es.) quando il positivo delle tensioni è scelto sui morsetti contrassegnati e i versi per le correnti sono entranti sugli stessi; in questo caso il coefficiente di mutua induzione M da considerare è quello fornito, normalmente positivo.
Nel tuo caso il verso da te scelto per la i1 è opposto e di conseguenza o ne terrai conto nei due contributi della stessa, oppure dovrai cambiare la tua scelta; ne segue che le relazioni ti forniranno le tensioni v1 e v2 (con positivo sul morsetto contrassegnato) segni compresi.
Nel caso tu scelga anche i1 entrante, i quattro generatori di tensione ausiliari associati alle condizioni iniziali avranno lo stesso segno (negativo).
NB Ovviamente con i1 intendo la corrente in L1 e con i2 quella in L2.
Detto ciò, particolarizzando, nel tuo caso, essendo la i1 costante in quanto forzata da un GIC, le cose si semplificano drasticamente in quanto la derivata della i1 rispetto al tempo sarà nulla e già nelle relazioni costitutive nel dominio del tempo risulteranno nulli i termini relativi.
In un mutuo induttore quelle due relazioni costitutive valgono (per es.) quando il positivo delle tensioni è scelto sui morsetti contrassegnati e i versi per le correnti sono entranti sugli stessi; in questo caso il coefficiente di mutua induzione M da considerare è quello fornito, normalmente positivo.
Nel tuo caso il verso da te scelto per la i1 è opposto e di conseguenza o ne terrai conto nei due contributi della stessa, oppure dovrai cambiare la tua scelta; ne segue che le relazioni ti forniranno le tensioni v1 e v2 (con positivo sul morsetto contrassegnato) segni compresi.
Nel caso tu scelga anche i1 entrante, i quattro generatori di tensione ausiliari associati alle condizioni iniziali avranno lo stesso segno (negativo).
NB Ovviamente con i1 intendo la corrente in L1 e con i2 quella in L2.
Detto ciò, particolarizzando, nel tuo caso, essendo la i1 costante in quanto forzata da un GIC, le cose si semplificano drasticamente in quanto la derivata della i1 rispetto al tempo sarà nulla e già nelle relazioni costitutive nel dominio del tempo risulteranno nulli i termini relativi.
"RenzoDF":
Nel tuo caso il verso da te scelto per la i1 è opposto e di conseguenza o ne terrai conto nei due contributi della stessa
Benissimo, il concetto è chiaro ma avrei ancora qualche dubbio sul verso del GdT che determina la corrente iniziale.
Nel circuito equivalente il pallino che indica il terminale positivo lo si mette considerando il verso della corrente di RAMO iniziale che abbiamo trovato nel circuito per $t<0$? Giusto ?
Se si, nel caso avessi n.2 correnti di maglia che hanno versi opposti che scorrono nell'induttore il valore di $i_l(0^-)$ sarebbe dato dalla somma di entrambe le correnti, ma quale verso della corrente prendere in esame ne se sono opposte?
Come ben sai i versi per correnti e tensioni sono convenzionali e completamente arbitrari, ne segue che non posso farti tutta la casistica per le varie combinazioni; il mio consiglio, come già detto, è quello di usare le seguenti
per le quali sono valide le due relazioni costitutive del tuo penultimo post, usandole, per Laplace avrai di conseguenza la seguente corrispondente topologia
Per i versi dei GIT ausiliari potrai sempre considerare quelli indicati [nota]E' più corretto usare il "+" rispetto a un punto privo di significato.[/nota], senza cambiarne le polarità, in quanto nulla vieta che la forza elettromotrice possa essere negativa, a seconda del segno della condizione iniziale, non credi?
E' chiaro che quelle due correnti i1 e i2 sono le correnti di ramo che sono le sole a poter avere un valore iniziale per t=0, positivo o negativo che sia; le correnti di maglia sono variabili circuitali puramente astratte e non possono avere dei "valori iniziali".
NB Purtroppo devo usare le immagini per FidoCadJ, in quanto questo Forum non supporta completamente il codice del programma (continua a dare errori di interpretazione); lo ho già segnalato da tempo agli amministratori, ma sembra che non abbiano intenzione di risolvere questo problema.
per le quali sono valide le due relazioni costitutive del tuo penultimo post, usandole, per Laplace avrai di conseguenza la seguente corrispondente topologia
Per i versi dei GIT ausiliari potrai sempre considerare quelli indicati [nota]E' più corretto usare il "+" rispetto a un punto privo di significato.[/nota], senza cambiarne le polarità, in quanto nulla vieta che la forza elettromotrice possa essere negativa, a seconda del segno della condizione iniziale, non credi?
E' chiaro che quelle due correnti i1 e i2 sono le correnti di ramo che sono le sole a poter avere un valore iniziale per t=0, positivo o negativo che sia; le correnti di maglia sono variabili circuitali puramente astratte e non possono avere dei "valori iniziali".
NB Purtroppo devo usare le immagini per FidoCadJ, in quanto questo Forum non supporta completamente il codice del programma (continua a dare errori di interpretazione); lo ho già segnalato da tempo agli amministratori, ma sembra che non abbiano intenzione di risolvere questo problema.
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