[Elettrotecnica] Calcolo della potenza rilevata da un wattmetro in un sistema trifase
Si consideri il sistema trifase in figura, alimentato da una terna diretta di tensioni simmetriche:
I dati sono i seguenti:
\(\displaystyle R = 3, X_{L} = 4, X_{C} = 50, P_{M} = 25k W, Q_{M} = 35k VAr \)
Si richiede di calcolare la potenza rilevata dal wattmetro.
Questo è stato il mio ragionamento: la potenza rilevata, osservando che i morsetti voltmetrici sono collegati alle fasi 1 e 3, e che i morsetti amperometrici sono collegati invece sulla seconda fase, il calcolo da effettuare è il seguente:
\(\displaystyle W = V_{13}I_{2} \cos(\phi) = (E_{1} - E_{3})I_{2} \cos(\phi) \)
Osservando che l'amperometro della prima linea mi fornisce il valore efficace
della prima corrente che alimenta il motore M, che si sa essere un carico equilibrato, e siccome anche tutti gli altri carichi sono equilibrati, allora assumo che anche le altre due correnti abbiano lo stesso valore efficace e che siano distanziate da una fase di \(\displaystyle \frac{2\pi}{3} \), vale a dire:
\(\displaystyle \bar{I_{M1}} = [30,0] \)
\(\displaystyle \bar{I_{M2}} = [30, - \frac{2\pi}{3}]\)
\(\displaystyle \bar{I_{M3}} = [30, - \frac{4\pi}{3}] \)
Dopodiché posso ricavare la fase \(\displaystyle \phi_{M} \) del motore con le relazioni:
\(\displaystyle P_{M} = 3E_{M}I_{M} \cos(\phi_{M})\)
\(\displaystyle Q_{M} = 3E_{M}I_{M} \sin(\phi_{M}) \)
dove con \(\displaystyle E_{M} \) ho indicato la tensione stellata applicata SOLTANTO al carico di condensatori e al motore, che posso eliminare effettuando il rapporto tra le due eguaglianze, e quindi:
\(\displaystyle \phi_{M} = \arctan(\frac{Q_{M}}{P_{M}}) \)
Nota \(\displaystyle \phi_{M} \), adesso posso ottenere \(\displaystyle E_{M} \) sfruttando una delle due relazioni, quindi per esempio:
\(\displaystyle E_{M} \) = \(\displaystyle \frac{P_{M}}{3I_{M} \cos(\phi_{M})} = 463 \) circa.
Poiché la fase \(\displaystyle \phi_{M} \) rappresenta, oltre che la fase del motore, anche la fase di distacco tra tensione stellata e corrente di linea associata, scrivo:
\(\displaystyle \bar{E_{M1}} = [463, \phi_{M}] \)
\(\displaystyle \bar{E_{M2}} = [463, \phi_{M} - \frac{2\pi}{3}]\)
\(\displaystyle \bar{E_{M3}} = [463, \phi_{M} - \frac{4\pi}{3}] \)
A questo punto, ottengo la corrente \(\displaystyle \bar{I_{2}} \) semplicemente come:
\(\displaystyle \bar{I_{2}} = \bar{I_{C2}} + \bar{I_{M2}} \)
dove \(\displaystyle \bar{I_{C2}} = \frac{\bar{E_{M2}}}{-jX_{C}} \).
Lo stesso ragionamento si applica per il calcolo delle altre due correnti di linea, con opportuno cambio di indici.
Restano ancora da calcolare \(\displaystyle \bar{E_{1}} \) ed \(\displaystyle \bar{E_{3}} \).
Sapendo che lo spostamento di centro stella è nullo, per via della presenza
di carichi equilibrati, posso scrivere
\(\displaystyle \bar{E_{1}} = \bar{V_{\dot{Z}}} + \bar{E_{M1}} \)
\(\displaystyle \bar{E_{3}} = \bar{V_{\dot{Z}}} + \bar{E_{M3}} \)
dove con \(\displaystyle \bar{V_{\dot{Z}}} \) indico la tensione sulla singola impedenza \(\displaystyle \dot{Z} = R + jX_{L} \), facilmente calcolabile moltiplicando \(\displaystyle \dot{Z} \) per la corrente di linea corrispondente.
Finalmente, a questo punto, posso ottenere la fase \(\displaystyle \phi \) che compare nella formula del calcolo di \(\displaystyle W \), che rappresenta la differenza di fase tra \(\displaystyle (\bar{E_{3}} - \bar{E_{1}}) \) e \(\displaystyle \bar{I_{2}} \).
Può essere considerato corretto questo procedimento? Vi ringrazio.
I dati sono i seguenti:
\(\displaystyle R = 3, X_{L} = 4, X_{C} = 50, P_{M} = 25k W, Q_{M} = 35k VAr \)
Si richiede di calcolare la potenza rilevata dal wattmetro.
Questo è stato il mio ragionamento: la potenza rilevata, osservando che i morsetti voltmetrici sono collegati alle fasi 1 e 3, e che i morsetti amperometrici sono collegati invece sulla seconda fase, il calcolo da effettuare è il seguente:
\(\displaystyle W = V_{13}I_{2} \cos(\phi) = (E_{1} - E_{3})I_{2} \cos(\phi) \)
Osservando che l'amperometro della prima linea mi fornisce il valore efficace
della prima corrente che alimenta il motore M, che si sa essere un carico equilibrato, e siccome anche tutti gli altri carichi sono equilibrati, allora assumo che anche le altre due correnti abbiano lo stesso valore efficace e che siano distanziate da una fase di \(\displaystyle \frac{2\pi}{3} \), vale a dire:
\(\displaystyle \bar{I_{M1}} = [30,0] \)
\(\displaystyle \bar{I_{M2}} = [30, - \frac{2\pi}{3}]\)
\(\displaystyle \bar{I_{M3}} = [30, - \frac{4\pi}{3}] \)
Dopodiché posso ricavare la fase \(\displaystyle \phi_{M} \) del motore con le relazioni:
\(\displaystyle P_{M} = 3E_{M}I_{M} \cos(\phi_{M})\)
\(\displaystyle Q_{M} = 3E_{M}I_{M} \sin(\phi_{M}) \)
dove con \(\displaystyle E_{M} \) ho indicato la tensione stellata applicata SOLTANTO al carico di condensatori e al motore, che posso eliminare effettuando il rapporto tra le due eguaglianze, e quindi:
\(\displaystyle \phi_{M} = \arctan(\frac{Q_{M}}{P_{M}}) \)
Nota \(\displaystyle \phi_{M} \), adesso posso ottenere \(\displaystyle E_{M} \) sfruttando una delle due relazioni, quindi per esempio:
\(\displaystyle E_{M} \) = \(\displaystyle \frac{P_{M}}{3I_{M} \cos(\phi_{M})} = 463 \) circa.
Poiché la fase \(\displaystyle \phi_{M} \) rappresenta, oltre che la fase del motore, anche la fase di distacco tra tensione stellata e corrente di linea associata, scrivo:
\(\displaystyle \bar{E_{M1}} = [463, \phi_{M}] \)
\(\displaystyle \bar{E_{M2}} = [463, \phi_{M} - \frac{2\pi}{3}]\)
\(\displaystyle \bar{E_{M3}} = [463, \phi_{M} - \frac{4\pi}{3}] \)
A questo punto, ottengo la corrente \(\displaystyle \bar{I_{2}} \) semplicemente come:
\(\displaystyle \bar{I_{2}} = \bar{I_{C2}} + \bar{I_{M2}} \)
dove \(\displaystyle \bar{I_{C2}} = \frac{\bar{E_{M2}}}{-jX_{C}} \).
Lo stesso ragionamento si applica per il calcolo delle altre due correnti di linea, con opportuno cambio di indici.
Restano ancora da calcolare \(\displaystyle \bar{E_{1}} \) ed \(\displaystyle \bar{E_{3}} \).
Sapendo che lo spostamento di centro stella è nullo, per via della presenza
di carichi equilibrati, posso scrivere
\(\displaystyle \bar{E_{1}} = \bar{V_{\dot{Z}}} + \bar{E_{M1}} \)
\(\displaystyle \bar{E_{3}} = \bar{V_{\dot{Z}}} + \bar{E_{M3}} \)
dove con \(\displaystyle \bar{V_{\dot{Z}}} \) indico la tensione sulla singola impedenza \(\displaystyle \dot{Z} = R + jX_{L} \), facilmente calcolabile moltiplicando \(\displaystyle \dot{Z} \) per la corrente di linea corrispondente.
Finalmente, a questo punto, posso ottenere la fase \(\displaystyle \phi \) che compare nella formula del calcolo di \(\displaystyle W \), che rappresenta la differenza di fase tra \(\displaystyle (\bar{E_{3}} - \bar{E_{1}}) \) e \(\displaystyle \bar{I_{2}} \).
Può essere considerato corretto questo procedimento? Vi ringrazio.
Risposte
"CosenTheta":
Questo è stato il mio ragionamento: la potenza rilevata, osservando che i morsetti voltmetrici sono collegati alle fasi 1 e 3, e che i morsetti amperometrici sono collegati invece sulla seconda fase, il calcolo da effettuare è il seguente:
\(\displaystyle W = V_{13}I_{2} \cos(\phi) = (E_{1} - E_{3})I_{2} \cos(\phi) \)
Osserva meglio lo schema.
Chi e' $E_{1}$?
Chi e' $E_{3}$?
Come e' collegato il wattmetro?
Forse \(\displaystyle E_{1'} - E_{3} = E_{M1} - E_{3} \)?
Ok, a parte questo mio errore, il procedimento è giusto, supponendo di ragionare non su \(\displaystyle E_{1} \) ma su \(\displaystyle E_{1'} \)?
Ho il dubbio sul fatto che la tensione stellata \(\displaystyle E_{M} \) del motore sia anche la tensione stellata dei condensatori: visto che sia i consensatori sia il carico M condividono gli stessi morsetti 1' 2' 3', hanno allora certamente le stesse tensioni concatenate, quindi posso dire che condividono anche le stesse tensioni stellate?
Ho il dubbio sul fatto che la tensione stellata \(\displaystyle E_{M} \) del motore sia anche la tensione stellata dei condensatori: visto che sia i consensatori sia il carico M condividono gli stessi morsetti 1' 2' 3', hanno allora certamente le stesse tensioni concatenate, quindi posso dire che condividono anche le stesse tensioni stellate?
Se tu avessi seguito il mio consiglio finale in un tuo precedente thread, avresti già la risposta 
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=203142
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=38&t=203142
Potresti mostrarmi come si imposta un diagramma fasoriale, applicato per esempio a questo esercizio?
Scusa, ma perché non provi prima a rispondere a quella domanda sul centro stella (per la quale non serve il diagramma fasoriale) 
"CosenTheta":
Potresti mostrarmi come si imposta un diagramma fasoriale, applicato per esempio a questo esercizio?
Come già detto possiamo usare il circuito equivalente semplificato per disegnare il diagramma di una singola fase; per quello complessivo basterà replicarlo a +120 e a -120 gradi per le fasi 3 e 2.
Scegliendo per convenienza grafica il fasore della stellata $E_{M1}$ della prima fase del motore con argomento nullo, avremo una corrente $I_{M1}$ del motore in ritardo dell'angolo $\phi_M$ e una corrente nel ramo capacitivo in anticipo di 90 gradi; la somma delle due correnti fornirà la corrente $I_1$, e di conseguenza la caduta di tensione sulla impedenza in serie alla linea che, sommata alla stellata del motore, fornirà la stellata $E_1$ del sistema.
Qualitativamente avrai il seguente diagramma
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 0.5
FJC A 0.2
FJC B 0.2
LI 10 40 69 40 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 69 40 81 46 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 81 46 91 26 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 91 26 10 40 0
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 10 40 10 20 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 10 40 49 79 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 10 40 49 59 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 13 18 4 3 0 0 0 * IC1
TY 43 81 4 3 0 0 0 * IM1
TY 49 53 4 3 0 0 0 * I1
TY 62 45 4 3 0 0 0 * R·I1
BE 26 40 26 40 27 48 22 52 0
TY 27 42 4 3 0 0 0 * φM
BE 40 35 43 45 39 54 39 54 0
TY 61 33 4 3 0 0 0 * EM1
TY 43 42 4 3 0 0 0 * φ1
LI 10 36 14 36 0
LI 14 36 14 40 0
LI 77 44 79 40 0
LI 79 40 83 42 0
TY 89 36 4 3 0 0 0 * jX·I1
TY 80 19 4 3 0 0 0 * E1[/fcd]
Come al solito attendiamo la tua soluzione al problema.
"RenzoDF":
Come al solito attendiamo la tua soluzione al problema.
Ossia? Un altro diagramma degli stessi vettori?
"CosenTheta":
... Ossia? ...
Ossia rispondere alla richiesta del problema.
"RenzoDF":
Scegliendo per convenienza grafica il fasore della stellata $E_{M1}$ della prima fase del motore con argomento nullo, avremo una corrente $I_{M1}$ del motore in ritardo dell'angolo $\phi_M$ e una corrente nel ramo capacitivo in anticipo di 90 gradi
Ok, quindi questo mi lascia intuire che effettivamente la stellata del motore $\bar{E_{M1}}$ è anche quella sui condensatori, visto che quella corrente $\bar{I_{C1}}$ si ottiene algebricamente così:
\(\displaystyle \bar{I_{C1}} = \frac{\bar{E_{M1}}}{-jX_{c}} = \frac{\bar{E_{M1}}}{X_{c}}j = \frac{E_{M1} e^{j(Arg(E_{M1}) + \frac{\pi}{2})}}{X_{c}} \)
Poichè abbiamo supposto \(\displaystyle Arg(\bar{E_{M1}}) = 0 \), ottengo \(\displaystyle \bar{I_{C1}} = \frac{E_{M1}}{X_{c}} e^{j\frac{\pi}{2}} \), come da schema.
Ritornando al problema iniziale, in definitiva:
-assumendo per le stellate del motore che quella della prima linea sia a fase nulla, ottengo:
$\bar{E_{M1}}$ = $[463,0]$
$\bar{E_{M2}}$ = $[463,-\frac{2\pi}{3}]$
$\bar{E_{M3}}$ = $[463,-\frac{4\pi}{3}]$
-le correnti di linea del motore sono in ritardo di $\phi_{M}$ rispetto alle corrispondenti tensioni stellate, per cui:
$\bar{I_{M1}}$ = $[30, -\phi_{M}]$
$\bar{I_{M2}}$ = $[30, -\phi_{M}-\frac{2\pi}{3}]$
$\bar{I_{M3}}$ = $[30, -\phi_{M}-\frac{4\pi}{3}]$
-ciò che ho detto sulla corrente del primo condensatore lo applico anche alle restanti altre due, ottenendo:
$\bar{I_{C1}}$ = $[\frac{463}{50}, \frac{\pi}{2}]$
$\bar{I_{C2}}$ = $[\frac{463}{50}, \frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}]$
$\bar{I_{C3}}$ = $[\frac{463}{50}, \frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{3}]$
-per le tensioni stellate d'ingresso, l'unica utile per la domanda del problema è la $\bar{E_{3}}$, che si ottiene semplicemente sommando il contributo di tensione sull'impedenza di ingresso $R + jX_{L}$ e quella stellata $\bar{E_{M3}}$, mediante le formule:
$\bar{I_{3}}$ = $\bar{I_{C3}}$ + $\bar{I_{M3}}$
$\bar{E_{3}}$ = ($R + jX_{L}$) $\bar{I_{3}}$ + $\bar{E_{M3}}$
A questo punto ottengo la prima incognita del problema, effettuando il calcolo $\bar{I_{2}} = \bar{I_{C2}} + \bar{I_{M2}}$, mentre per la tensione concatenata $\bar{V_{1' 3}} = \bar{E_{M1}}-\bar{E_{3}}$.
Infine, il $\phi$ della formula del calcolo di W è pari a $Arg(\bar{V_{1'3}}) - Arg(\bar{I_{2}})$.
Ok , come sempre, per il procedimento, ma puoi ricontrollare il valore numerico della tensione stellata ai morsetti del motore ...e postare l'indicazione numerica del wattmetro?
Grazie.
, come sempre, per il procedimento, ma puoi ricontrollare il valore numerico della tensione stellata ai morsetti del motore ...e postare l'indicazione numerica del wattmetro?Grazie.
"RenzoDF":
puoi ricontrollare il valore numerico della tensione stellata ai morsetti del motore e postare l'indicazione numerica del wattmetro?
Per calcolare il modulo della tensione stellata del motore ho sfruttato le relazioni seguenti:
$3E_{M}I_{M} \cos(\phi_{M}) = 25000$
$3E_{M}I_{M} \sin(\phi_{M}) = 35000$
da cui, dal rapporto delle due equazioni ottengo \(\displaystyle \tan(\phi_{M}) = \frac{7}{5} \rightarrow \phi_{M} = \arctan(\frac{7}{5}) \simeq 0.95\)
Quindi
\(\displaystyle E_{M} \simeq \frac{25000}{3 \cdot 30 \cdot \cos(0.95)} \simeq \frac{25000}{90 \cdot 0.58} \simeq 478.92 \simeq 480V. \)
Per quanto riguarda il valore letto dal wattmetro, ho svolto i calcoli seguenti:
\(\displaystyle \bar{I_{C3}} \simeq \frac{480}{50} e^{j(-\frac{5\pi}{6})} \simeq 4.8(-\sqrt{3} - j). \)
\(\displaystyle \bar{I_{M3}} \simeq 30 e^{j(-0.95-\frac{4\pi}{3})} \simeq 30(0.41 - j0.9) \simeq 12-27j. \)
\(\displaystyle \bar{I_{3}} \simeq -4.8 \sqrt{3} + 12 -j(4.8+27) \simeq 3.8 - j31.8 \simeq 4 - 32j. \)
\(\displaystyle \bar{E_{3}} \simeq (3 + 4j)(4-32j) + 480(-\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}) \simeq -100 + (240 \sqrt{3} - 80)j. \)
\(\displaystyle \bar{E_{M1}} - \bar{E_{3}} \simeq 480 + 100 + (80 - 240\sqrt{3})j \simeq 580 + (80 - 240\sqrt{3})j \)
\(\displaystyle \bar{I_{C2}} \simeq \frac{480}{50} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{j}{2}) = 4.8(\sqrt{3} - j). \)
\(\displaystyle \bar{I_{M2}} \simeq 30 (-1 - \frac{j}{10}) \simeq -30 - 3j. \)
\(\displaystyle \bar{I_{2}} \simeq 4.8\sqrt{3} - 4.8j -30 -3j \simeq -22-8j. \)
\(\displaystyle \phi \simeq \arctan(\frac{80-240\sqrt{3}}{580}) - (\arctan(\frac{-8}{-22}) + \pi) \simeq \arctan(-0.57) - \arctan(\frac{2}{11}) - \pi \simeq -4. \)
\(\displaystyle W = \sqrt{(80 - 240\sqrt{3})^2 + 580^2} * \sqrt{22^2 + 8^2} * \cos{(-4)} \simeq -10016.5 W.\)
Spero di non aver commesso errori troppo grossolani in questo shanghai di calcoli.
Direi che esageri con le approssimazioni.
Non avendo tempo per controllare i tuoi calcoli ti posto un'immagine dei miei[nota]Via SpeQ.[/nota], fatti di fretta in quest'istante e che, non escludendo la presenza di qualche errore, ti invito a controllare
Non avendo tempo per controllare i tuoi calcoli ti posto un'immagine dei miei[nota]Via SpeQ.[/nota], fatti di fretta in quest'istante e che, non escludendo la presenza di qualche errore, ti invito a controllare
"RenzoDF":
Direi che esageri con le approssimazioni.
Sì, l'ho fatto soltanto per rendere i calcoli un po più puliti, per sfruttare qualche semplificazione tra numeratori e denominatori in più, però è evidente che comunque ci si allontana un pò troppo dai valori attesi; ad ogni modo, almeno dal punto di vista delle decine di migliaia e dal segno, mi sono avvicinato alla potenza che richiedeva l'esercizio. Ti ringrazio per avermi suggerito questo software, sarà senz'altro un utile strumento di verifica dei calcoli (senza sostituire quelli carta e penna, naturalmente).
Ad ogni modo, i miei complimenti per l'impegno e la partecipazione al thread.
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