[Elettrotecnica] Calcolo della potenza media su un resistore tramite Norton nel dominio fasoriale
Sto cercando di svolgere il seguente esercizio
La mia intenzione è quello di risolverlo tramite Norton, calcolando la corrente che scorre in $R_{2}$ per poi applicare la nota relazione della potenza dissipata da un resistore.
Calcolo dell'impedenza equivalente
Stacco il ramo interessato dalla corrente che voglio calcolare, e al suo posto piazzo un generatore di prova.
Il circuito è il seguente
Si ha immediatamente che
$\dot{Z_{eq}} = \frac{(\dot{Z_{c}} + R_{1})\cdot \dot{Z_{L}}}{\dot{Z_{c}} + R_{1} + \dot{Z_{L}}} = 20$
Calcolo della corrente di cortocircuito
Ho scelto Norton al posto di Thevenin proprio perché avrei così cortocircuitato l'impedenza associata all'induttore nel calcolo della corrente di cortocircuito, rendendo leggermente più semplice il tutto.
Dunque, il circuito è questo
\(\displaystyle \bar{J_{cc}} = \frac{\bar{J} \cdot R_1}{\dot{Z_{c}} + R_1} = 2.5 + 2.5j \)
Circuito equivalente
Infine, si ha il circuito equivalente
Utilizzando la sovrapposizione degli effetti, considero due casi:
Gen. di corrente spento
\(\displaystyle I_1 = \frac{e}{Z_{eq} + R_2} = 0.4\)
Gen. di tensione spento
\(\displaystyle \bar{I_2} = \frac{\bar{J_{cc}} \cdot Z_{eq}}{Z_{eq} + R_2} = 2 + 2j\)
Dunque la corrente cercata vale $\bar{I_{TOT}} = 2.4 + 2j$
La potenza sul resistore, avendo considerato la convenzione ai valori massimi, vale:
$P_R = \frac{R_2|I_{TOT}|^{2}}{2} = 24.4$
quando dovrebbe venire 40. Dove sbaglio?
N.B: i calcoli sono stati svolti con il tool SpeQMathematics, che sono i seguenti
La mia intenzione è quello di risolverlo tramite Norton, calcolando la corrente che scorre in $R_{2}$ per poi applicare la nota relazione della potenza dissipata da un resistore.
Calcolo dell'impedenza equivalente
Stacco il ramo interessato dalla corrente che voglio calcolare, e al suo posto piazzo un generatore di prova.
Il circuito è il seguente
Si ha immediatamente che
$\dot{Z_{eq}} = \frac{(\dot{Z_{c}} + R_{1})\cdot \dot{Z_{L}}}{\dot{Z_{c}} + R_{1} + \dot{Z_{L}}} = 20$
Calcolo della corrente di cortocircuito
Ho scelto Norton al posto di Thevenin proprio perché avrei così cortocircuitato l'impedenza associata all'induttore nel calcolo della corrente di cortocircuito, rendendo leggermente più semplice il tutto.
Dunque, il circuito è questo
\(\displaystyle \bar{J_{cc}} = \frac{\bar{J} \cdot R_1}{\dot{Z_{c}} + R_1} = 2.5 + 2.5j \)
Circuito equivalente
Infine, si ha il circuito equivalente
Utilizzando la sovrapposizione degli effetti, considero due casi:
Gen. di corrente spento
\(\displaystyle I_1 = \frac{e}{Z_{eq} + R_2} = 0.4\)
Gen. di tensione spento
\(\displaystyle \bar{I_2} = \frac{\bar{J_{cc}} \cdot Z_{eq}}{Z_{eq} + R_2} = 2 + 2j\)
Dunque la corrente cercata vale $\bar{I_{TOT}} = 2.4 + 2j$
La potenza sul resistore, avendo considerato la convenzione ai valori massimi, vale:
$P_R = \frac{R_2|I_{TOT}|^{2}}{2} = 24.4$
quando dovrebbe venire 40. Dove sbaglio?
N.B: i calcoli sono stati svolti con il tool SpeQMathematics, che sono i seguenti
Risposte
Sbagli nel non considerare che, mentre il generatore di corrente è di tipo sinusoidale, quello di tensione è di tipo continuo; ne segue che la corrente I1 da te determinata è errata ed inoltre, essendo una grandezza continua, non potrà essere sommata alla corrente I2, potrai invece sommare le due rispettive potenze, o meglio ancora, determinare il valore efficace (complessivo) della corrente attraverso R2, andando a ricavarlo come
$I_{t ot}=\sqrt{I_1^2+I_{2_{eff}}^2}$
e da questa
$P=R_2 I_{t ot}^2$
$I_{t ot}=\sqrt{I_1^2+I_{2_{eff}}^2}$
e da questa
$P=R_2 I_{t ot}^2$
Si, effettivamente sommare $I_1$ con $I_2$ in termini fasoriali è stato un vero e proprio abbaglio.
Al massimo, avrei dovuto sommarli una volta ritornati nel tempo, cioè avrei dovuto scrivere \(\displaystyle i_{tot}(t) = 2\sqrt{2}\cos(100t + \frac{\pi}{4}) + 0.4 \).
Quello che continuo a non capire è per quale motivo il calcolo di $I_1$ è sbagliato. Qual è il procedimento giusto?
Al massimo, avrei dovuto sommarli una volta ritornati nel tempo, cioè avrei dovuto scrivere \(\displaystyle i_{tot}(t) = 2\sqrt{2}\cos(100t + \frac{\pi}{4}) + 0.4 \).
Quello che continuo a non capire è per quale motivo il calcolo di $I_1$ è sbagliato. Qual è il procedimento giusto?
Il calcolo è errato in quanto per I1 la Zeq dovresti determinarla per una pulsazione nulla, ovvero considerare il circuito equivalente in "corrente continua", e quindi induttore equivalente ad un cortocircuito e condensatore ad un circuito aperto che, in questo caso, porta a
$I_1=(e(t))/R_2=2 \ \text{A}$
$I_1=(e(t))/R_2=2 \ \text{A}$
Grazie mille.
Un'ultima considerazione: come carico da applicare al circuito equivalente ho scelto la serie tra resistore $R_2$ e generatore $e(t)$. Tuttavia, con l'applicazione del th. di Norton, avrei anche potuto semplicemente scegliere come carico solo il resistore $R_2$, in modo tale da lasciare nel circuito originario un corto che continuasse a tenere collegato il generatore al resto della rete. Se avessi scelto Thevenin, però, avrei dovuto lasciare aperto e il generatore di tensione sarebbe rimasto scollegato, e non avrebbe più influito in nessun modo nel calcolo della corrente incognita.
Proprio per questo confermi, dunque, che nel caso di Norton la scelta della serie resistore-generatore è facoltativa, mentre con Thevenin è obbligatoria?
Un'ultima considerazione: come carico da applicare al circuito equivalente ho scelto la serie tra resistore $R_2$ e generatore $e(t)$. Tuttavia, con l'applicazione del th. di Norton, avrei anche potuto semplicemente scegliere come carico solo il resistore $R_2$, in modo tale da lasciare nel circuito originario un corto che continuasse a tenere collegato il generatore al resto della rete. Se avessi scelto Thevenin, però, avrei dovuto lasciare aperto e il generatore di tensione sarebbe rimasto scollegato, e non avrebbe più influito in nessun modo nel calcolo della corrente incognita.
Proprio per questo confermi, dunque, che nel caso di Norton la scelta della serie resistore-generatore è facoltativa, mentre con Thevenin è obbligatoria?
In presenza di n generatori non isofrequenziali, la regola risolutiva generale, applicabile ad una rete lineare è quella di risolvere via sovrapposizione degli effetti, andando a determinare la grandezza cercata via somma delle n funzioni del tempo parziali.
Nel tuo caso quindi non è corretto collegare la parte sinistra della rete, semplificata (nel dominio dei fasori) via Norton o Thevenin, al ramo destro, costituito dalla serie di R2 ed e(t), in quanto le due parti sono caratterizzate da due diverse frequenze.
Devi invece determinare due circuiti equivalenti: il primo, spento il GIT, per pulsazione $\omega_1=100$, il secondo, spento il GIC, per $\omega_2=0$ e poi sommare le due correnti parziali ottenute, nel dominio del tempo.
Una volta determinata la $i(t)=i_1(t)+i_2(t)$, per ottenere il valore efficace della stessa (necessario per la determinazione della potenza), potrai applicare il teorema di Parseval.
Nel tuo caso quindi non è corretto collegare la parte sinistra della rete, semplificata (nel dominio dei fasori) via Norton o Thevenin, al ramo destro, costituito dalla serie di R2 ed e(t), in quanto le due parti sono caratterizzate da due diverse frequenze.
Devi invece determinare due circuiti equivalenti: il primo, spento il GIT, per pulsazione $\omega_1=100$, il secondo, spento il GIC, per $\omega_2=0$ e poi sommare le due correnti parziali ottenute, nel dominio del tempo.
Una volta determinata la $i(t)=i_1(t)+i_2(t)$, per ottenere il valore efficace della stessa (necessario per la determinazione della potenza), potrai applicare il teorema di Parseval.
Grazie.
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