[Elettrotecnica] Calcolo dei residui per questo esercizio

[ChryChry96]

Salve a tutti ragazzi, vi mostro il testo di un esercizio di elettrotecnica del mio professore... Praticamente quando provo a risolvere i suoi esercizi relativi al calcolo di correnti o tensioni, non ottengo mai i residui come previsti dal risultato descritto da lui nel testo...

Ecco il testo:


Vi descrivo come ho risolto io (usando i dati del formato STANDARD dell'esercizio). Ho trasformato il tutto nel dominio di Laplace (utilizzo "p" al posto di "s) ed ho applicato l'analisi nodale ai nodi Vr e V0 (segnati in rosso nella figura a seguire)



Le singole trasformate sono:
$ C = 10/P $
$ L = 0.333P $
$ text(i)_(0)(P)=120P/(P^2+25) $

Dunque ho calcolato la matrice (senza tener conto del resistore R2 dato che l'interruttore S risulta 'aperto':
$ ( ( 1/(0.333P)+1/5+P/10 , -P/10 ),( -P/10 , P/10+1 ) )( ( V_(R) ),( V_(0) ) )= ( ( -0.7V_(R) ),( 0.7V_(R) + 120P/(P^2+25) ) ) $

Da cui:

$ ( ( 1/(0.333P)+0.9+P/10 , -P/10 ),( -P/10 -0.7 , P/10+1 ) )( ( V_(R) ),( V_(0) ) )= ( ( 0 ),( 120P/(P^2+25) ) ) $

Ho quindi calcolato il determinante ed ho ricavato Vr:
$ Delta = 3/25(P+5)^2/P $

$ V_(R)= | ( 0 , -P/10 ),( 120P/(P^2+25) , P/10+1 ) | /Delta = (100P^3)/((P+5)^2(P+i5)(P-i5) $

Da cui è bastato calcolare $ i_(L)(P)= (0-V_(R))/L=-100/0.333 P^2/((P+5)^2(P+i5)(P-i5) $ .
Da quanto vedo, i Modi sono già quelli del risultato... e se fino a qui ho fatto tutto correttamente, allora siamo al vero problema: i residui delle antitrasformate!

Ho usato il metodo tipico dei fratti semplici. Per i poli complessi non ho avuto problemi ed il risultato coincide con quello descritto dal professore di $ 30cos(5t+pi) $
Riguardo invece il polo con molteplicità doppia ho ottenuto:
$ B = (P+5)^2*i_(L)(P)|_(p=-5)= -150 $
$ B^{\prime} = [(d )/(d P) (P+5)^2*i_(L)(P)]|_(p=-5)= 30 $

E non coincidono con il risultato... Ho sbagliato qualcosa da qualche parte?

[RenzoDF]

Direi che non hai tenuto in considerazione le condizioni iniziali per le due variabili di stato, ricavabili dal regime della rete per t<0, con interruttore chiuso.

[ChryChry96]

Ciao Renzo, grazie della risposta .
Purtroppo non ho neanche un esempio di questo genere. Puoi spiegarmi un po' più dettagliatamente, il ragionamento che dovrei seguire per trovare queste condizioni iniziali delle 2 variabili di stato?

[RenzoDF]

Devi risolvere la rete per t<0 [nota]Via metodo fasoriale o Laplace.[/nota], per ottenere $v_C(t)$ e $i_L(t)$, che valutate per t=0 ti forniranno le due condizioni iniziali utili per completare la rete nel dominio di Laplace (per t>0) con i corrispondenti GIT / GIC virtuali, che modellano le due condizioni iniziali per L e C.

[ChryChry96]

Potrei sostituire il condensatore con un circuito aperto e l'induttore con un circuito chiuso e dunque calcolare le condizioni iniziali? O non posso per via del regime sinusoidale per t<0?

[RenzoDF]

Non puoi, visto il regime sinusoidale.

[ChryChry96]

Ciao renzo, ho fatto in questo modo per il calcolo delle condizioni iniziali:

1) Ho portato tutto in forma fasoriale: $ I_(0) = 120 e^(i5*0) = 120 $
$ Z_(c) = 2/i $
$ Z_(L) = 1.665i $

Dunque voglio calcolare la condizioni iniziale del condensatore $ V_(c) = V_(0) - V_(R) $ e quella dell'induttore $ I_(L) = -V_(R)/Z_(L) $, che andrò a calcolare in 0, una volta riportate nel dominio del tempo.

2) Ho applicato l'analisi nodale ai due soliti nodi Vr e V0:
$ ( ( 1/(Z_(L)) + 1/(Z_(1)) +1/(Z_(2)) +1/(Z_(c)), -1/(Z_(2)) -1/(Z_(c)) ),( -1/(Z_(2)) -1/(Z_(c)) , 1/(Z_(2)) +1/(Z_(c)) + 1/(Z_(0))) ) ( ( V_(R) ),( V_(0) ) ) =( ( -0.7V_(R) ),( 0.7V_(R)+120 ) ) $

Da cui si ha:
$ ( ( (29-i)/5 , -4-i ),( (-27-5i)/5 , 6+i) ) ( ( V_(R) ),( V_(0) ) ) =( ( 0 ),( 240 ) ) $
$ Delta = 24/5(3-i) $

$ V_(R) = 5(11+7i) $
$ V_(0) = 2(44-13i) $

3) Quindi ricavo le mia variabili di stato:

$ V_(c) = V_(0) - V_(R) = 3(11-3i) $
$ I_(L) = -V_(R)/Z_(L) = -21+33i $

Ho riportato il tutto nel dominio del tempo:

$ V_(c)(t) = 34.20cos(5t-15,25°) V $
$ i_(L)(t) = 39.11cos(5t+122,47°) A $

Da qui ho ottenuto $ i_(L)(0^-) = -21 A $ ed $ V_(c)(0^-) = 33V $

Ho commesso qualche errore nel mio ragionamento?

[RenzoDF]

"ChryChry96":... Ho commesso qualche errore nel mio ragionamento?

Direi di no,



hai solo dimenticato che usando come funzione base il coseno e fasori a valore massimo, i valori istantanei per t=0 corrispondono alla parte reale della rappresentazione complessa e quindi era inutile la trasformazione nel dominio del tempo.

[ChryChry96]

Ahhh ok Ho risolto nuovamente nel dominio di Laplace il circuito, aggiungendo un generatore di corrente indipendente $ (i_(L)(0))/p $ in parallelo all'induttore, ed un altro sempre in parallelo al condensatore $ C*V_(c)(0) $

Ma non va ugualmente, anzi stavolta spunta a denominatore una P, che mi fa pensare ad un regime (non presente nel risultato).. Nel dubbio ho calcolato il suo residuo, sperando si azzerasse... ma niente..
Ora rincontrollo i calcoli perché non credo che abbia sbagliato ad impostare i generatori

[RenzoDF]

A mio parere i conti sembrano tornare, usando i valori iniziali ottenuti con la precedente soluzione fasoriale, usando come hai fatto tu i due GIC virtuali, ottengo



che coincide con la soluzione ufficiale.

NB Ho usato L=1/3 H, e non 0.333 per ottenere una soluzione più "compatta", anche se approssimata (e così dovrebbe aver fatto lo stesore del problema per rendere più semplici i calcoli numerici).

[ChryChry96]

Praticamente, matrice e passaggi sono giusti.. sbagliavo la relazione della corrente

Cioè mi spiego meglio, so che quella è la relazione derivante dalla trasformata di laplace della "originale"... Ma pensavo che applicando i due generatori virtuali, le condizioni iniziali fossero già incluse li.. e quindi alla fine mi aspettavo di dover fare solamente iL= -Vr/(L*S)... in quanto Vr teneva conto delle condizioni iniziali, ma a quanto pare ho confuso il concetto...

Se avessi applicato il metodo delle correnti di maglia al posto di quello nodale, avrei ottenuto la relazione in S della corrente, e quella relazione avrebbe già tenuto conto delle condizioni iniziali, giusto?

[RenzoDF]

No, anche con le correnti di maglia avresti calcolato solo una quotaparte della $i_L$, in quanto non esiste un ramo attravarsato dall' intera corrente; solo se tu avessi usato un GIT virtuale, invece di un GIC, avresti potuto determinarla direttamente con il suddetto metodo.

[ChryChry96]

Ah ok grazie ancora della spiegazione e delle tue delucidazioni