[Elettrotecnica] Applicazione leggi di Kirchhoff
Salve a tutti. A quanto pare ho dei problemi nella risoluzione di semplici circuiti. Forse sbaglio qualcosa nell'applicare le leggi di Kirchhoff. Ecco qui lo schema del circuito.
Visto che è presente sulla sinistra una sorgente di corrente controllata in corrente dalla corrente $I_4$ secondo me sarebbe conveniente non ridurre i due resistori in parallelo in un unico resistore in parallelo.
Indico con $v_p$ la tensione ai capi della sorgente di corrente controllata; con $v_c$ la tensione ai capi del generatore di corrente; con $E$ la tensione impressa dal generatore di tensione.
Ho applicato la legge di Kirchhoff delle tensioni alle 4 maglie ed ottengo:
$v_p+R_1I_1+R_2I_2=0$
$-R_2I_2+v_c+R_3I_3=0$
$R_3I_3+R_4I_4=0$
$R_1I_1+v_c-E=0$
dove $I_1$, $I_2$, $I_3$ e $I_4$ sono le correnti che circolano attraverso rispettivamente le resistenze $R_1$, $R_2$, $R_3$ ed $R_4$.
A queste equazioni si aggiungono poi 3 equazioni per le correnti ai nodi. Ora, svolgendo i calcoli non arrivo al risultato. E' evidente che sbaglio qualcosa, forse è un errore di concetto.
Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Visto che è presente sulla sinistra una sorgente di corrente controllata in corrente dalla corrente $I_4$ secondo me sarebbe conveniente non ridurre i due resistori in parallelo in un unico resistore in parallelo.
Indico con $v_p$ la tensione ai capi della sorgente di corrente controllata; con $v_c$ la tensione ai capi del generatore di corrente; con $E$ la tensione impressa dal generatore di tensione.
Ho applicato la legge di Kirchhoff delle tensioni alle 4 maglie ed ottengo:
$v_p+R_1I_1+R_2I_2=0$
$-R_2I_2+v_c+R_3I_3=0$
$R_3I_3+R_4I_4=0$
$R_1I_1+v_c-E=0$
dove $I_1$, $I_2$, $I_3$ e $I_4$ sono le correnti che circolano attraverso rispettivamente le resistenze $R_1$, $R_2$, $R_3$ ed $R_4$.
A queste equazioni si aggiungono poi 3 equazioni per le correnti ai nodi. Ora, svolgendo i calcoli non arrivo al risultato. E' evidente che sbaglio qualcosa, forse è un errore di concetto.
Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Risposte
Purtroppo bisogna fare molta attenzione ai conti. Concettualmente, è sufficiente conoscere la KVL e la KCL.
Iniziamo così: le due resistenze $R_3$ e $R_4$ sono in parallelo, quindi la tensione su $R_3$ vale $v_3=R_4i_4$. La corrente nel medesimo ramo si ottiene dalla Legge di Ohm e quindi: $i_3=R_4/R_3i_4$.
Applichiamo la KVL alla maglia più esterna: la tensione sul generatore pilotato in corrente sarà $v_P=E+R_4i_4$.
L'unica informazione mancante è $i_4$, quindi cerchiamo di trovarla.
A tal fine, applichiamo la KCL al nodo superiore centrale: la corrente sul ramo di $R_2$ sarà:
e di conseguenza la relativa tensione è: $v_2=-R_2(k+R_4/R_3+1)i_4$.
Troviamo la tensione sul resistore $R_1$ applicando la KVL alla maglia in alto a sinistra. Otteniamo:
da cui la relativa corrente: $i_1=1/R_1[-R_2(k+R_4/R_3+1)i_4-E-R_4i_4]$.
Applichiamo la KCL al nodo che coinvolge il generatore di corrente $I$ e i resistori $R_1, R_2$:
Iniziamo a fare due conti: trovi subito che $(k+R_4/R_3+1)=11/2$ e continuando trovi $i_4=-88/61$.
A questo punto non rimane che applicare la formula della potenza:
Iniziamo così: le due resistenze $R_3$ e $R_4$ sono in parallelo, quindi la tensione su $R_3$ vale $v_3=R_4i_4$. La corrente nel medesimo ramo si ottiene dalla Legge di Ohm e quindi: $i_3=R_4/R_3i_4$.
Applichiamo la KVL alla maglia più esterna: la tensione sul generatore pilotato in corrente sarà $v_P=E+R_4i_4$.
L'unica informazione mancante è $i_4$, quindi cerchiamo di trovarla.
A tal fine, applichiamo la KCL al nodo superiore centrale: la corrente sul ramo di $R_2$ sarà:
$i_2=-ki_4-i_4-R_4/R_3i_4=-(k+R_4/R_3+1)i_4$,
e di conseguenza la relativa tensione è: $v_2=-R_2(k+R_4/R_3+1)i_4$.
Troviamo la tensione sul resistore $R_1$ applicando la KVL alla maglia in alto a sinistra. Otteniamo:
$v_1=v_2-E-R_4i_4->v_1=-R_2(k+R_4/R_3+1)i_4-E-R_4i_4$,
da cui la relativa corrente: $i_1=1/R_1[-R_2(k+R_4/R_3+1)i_4-E-R_4i_4]$.
Applichiamo la KCL al nodo che coinvolge il generatore di corrente $I$ e i resistori $R_1, R_2$:
$i_1+i_2=I->1/R_1[-R_2(k+R_4/R_3+1)i_4-E-R_4i_4]-(k+R_4/R_3+1)i_4=I$.
Iniziamo a fare due conti: trovi subito che $(k+R_4/R_3+1)=11/2$ e continuando trovi $i_4=-88/61$.
A questo punto non rimane che applicare la formula della potenza:
$P_3=v_3i_3=(R_4i_4)^2/R_3=(-88/61*3)^2/2=9.365\cong9.4 [W]$.
Mi rendo conto a non aver ancora capito come assegnare il segno positivo o negativo. Nell‘applicazione della KVL ad una maglia devo seguire il segno della tensione o della corrente?
Si applica la convenzione degli utilizzatori (tensione e corrente in verso opposto). Nel caso in cui non ci sia una tensione o una corrente già presente a guidarti, puoi scegliere tu un verso, purché si rispetti la condizione: se ad esempio scegli una tensione su un resistore in senso antiorario, la corrente dovrà opporsi, idem per il viceversa.
E per i generatori invece devo usare la stessa convenzione?
Sì, normalmente si.
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