[Elettrotecnica] Applicazione del metodo dei potenziali nodali
Si consideri il circuito in figura
Supponendo di chiamare
-\(\displaystyle V_{0}, V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4} \) i potenziali ai nodi della rete;
-\(\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},I_{4},I_{5} \) le correnti sui rispettivi resistori;
-\(\displaystyle I_{a} \) la corrente che attraversa il ramo del generatore \(\displaystyle E_{2} \);
-\(\displaystyle I_{s} \) la corrente che attraversa il ramo del generatore \(\displaystyle V_{s} \);
Supponendo inoltre di considerare sulle resistenze la convenzione dell'utilizzatore, e sui generatori la convenzione del generatore, il metodo dei potenziali nodali prevede di considerare come incognite i potenziali dapprima definiti, scrivendo le sole LKC ai 5 nodi della rete (somma correnti entranti = somma correnti uscenti):
Nodo 0: \(\displaystyle J + I_{a} = I_{s} + I_{2}\)
Nodo 1: \(\displaystyle I_{s} = I_{1} + I_{3} \)
Nodo 2: \(\displaystyle I_{1} + I_{2} = I_{4} \)
Nodo 3: \(\displaystyle I_{3} = I_{5} + I_{a} \)
Nodo 4: \(\displaystyle I_{4} + I_{5} = J \)
Le correnti sui resistori possono essere esplicitate, a loro volta, mediante la legge di Ohm e scegliendo
di porre a 0 il potenziale del nodo 0:
\(\displaystyle I_{1} = \frac{E_{1} + V_{1} - V_{2}}{R}\)
\(\displaystyle I_{2} = \frac{- V_{2}}{R_{2}} \)
\(\displaystyle I_{3} = \frac{V_{1} + E_{2}}{R_{3}}\)
\(\displaystyle I_{4} = \frac{V_{2} - V_{4}}{R_{4}}\)
\(\displaystyle I_{5} = \frac{-E_{2} - V_{4}}{R_{5}}\)
Sostituendo queste relazioni nelle LKC ottengo un sistema di 5 equazioni in 5 incognite, vale a dire \(\displaystyle V_{1},V_{2},V_{4},I_{a},I_{s}\) (i valori delle resistenze e di \(\displaystyle E_{1} \) ed \(\displaystyle E_{2} \) sono noti).
Mi chiedevo:
1)anziché risolvere questo laborioso sistema impostato in questo modo, siccome ho bisogno di sapere soltanto \(\displaystyle V_{2} \) e \(\displaystyle V_{4} \) per calcolare \(\displaystyle I_{4} \), quali sono i passaggi da fare per eliminare le equazioni superflue, e quindi ridurre il sistema in 2 equazioni nelle 2 incognite che necessitano?
2)in generale, anziché applicare le LKC agli N nodi di una rete, posso scriverne anche N-1, escludendo cioè un nodo dalla rete. Il nodo escluso può essere scelto a piacimento, o c'è un criterio per individuarlo? Vi ringrazio.
Supponendo di chiamare
-\(\displaystyle V_{0}, V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4} \) i potenziali ai nodi della rete;
-\(\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},I_{4},I_{5} \) le correnti sui rispettivi resistori;
-\(\displaystyle I_{a} \) la corrente che attraversa il ramo del generatore \(\displaystyle E_{2} \);
-\(\displaystyle I_{s} \) la corrente che attraversa il ramo del generatore \(\displaystyle V_{s} \);
Supponendo inoltre di considerare sulle resistenze la convenzione dell'utilizzatore, e sui generatori la convenzione del generatore, il metodo dei potenziali nodali prevede di considerare come incognite i potenziali dapprima definiti, scrivendo le sole LKC ai 5 nodi della rete (somma correnti entranti = somma correnti uscenti):
Nodo 0: \(\displaystyle J + I_{a} = I_{s} + I_{2}\)
Nodo 1: \(\displaystyle I_{s} = I_{1} + I_{3} \)
Nodo 2: \(\displaystyle I_{1} + I_{2} = I_{4} \)
Nodo 3: \(\displaystyle I_{3} = I_{5} + I_{a} \)
Nodo 4: \(\displaystyle I_{4} + I_{5} = J \)
Le correnti sui resistori possono essere esplicitate, a loro volta, mediante la legge di Ohm e scegliendo
di porre a 0 il potenziale del nodo 0:
\(\displaystyle I_{1} = \frac{E_{1} + V_{1} - V_{2}}{R}\)
\(\displaystyle I_{2} = \frac{- V_{2}}{R_{2}} \)
\(\displaystyle I_{3} = \frac{V_{1} + E_{2}}{R_{3}}\)
\(\displaystyle I_{4} = \frac{V_{2} - V_{4}}{R_{4}}\)
\(\displaystyle I_{5} = \frac{-E_{2} - V_{4}}{R_{5}}\)
Sostituendo queste relazioni nelle LKC ottengo un sistema di 5 equazioni in 5 incognite, vale a dire \(\displaystyle V_{1},V_{2},V_{4},I_{a},I_{s}\) (i valori delle resistenze e di \(\displaystyle E_{1} \) ed \(\displaystyle E_{2} \) sono noti).
Mi chiedevo:
1)anziché risolvere questo laborioso sistema impostato in questo modo, siccome ho bisogno di sapere soltanto \(\displaystyle V_{2} \) e \(\displaystyle V_{4} \) per calcolare \(\displaystyle I_{4} \), quali sono i passaggi da fare per eliminare le equazioni superflue, e quindi ridurre il sistema in 2 equazioni nelle 2 incognite che necessitano?
2)in generale, anziché applicare le LKC agli N nodi di una rete, posso scriverne anche N-1, escludendo cioè un nodo dalla rete. Il nodo escluso può essere scelto a piacimento, o c'è un criterio per individuarlo? Vi ringrazio.
Risposte
Nell'ipotesi che il metodo dei potenziali nodali sia imposto,
1) Di potenziali incogniti ne hai tre, non vedo perché andare a cercare anche la $I_s$ e la $I_a$, visto che non sono richieste.
2) La scelta del nodo da non considerare per le KCL è del tutto arbitraria ma, per ragioni di "convenienza", in genere, viene scelto il nodo sul quale convergono più rami.
Qual è la grandezza di comando di quel generatore dipendente, e cosa stanno ad indicare quelle strane H accentate?
1) Di potenziali incogniti ne hai tre, non vedo perché andare a cercare anche la $I_s$ e la $I_a$, visto che non sono richieste.
2) La scelta del nodo da non considerare per le KCL è del tutto arbitraria ma, per ragioni di "convenienza", in genere, viene scelto il nodo sul quale convergono più rami.
Qual è la grandezza di comando di quel generatore dipendente, e cosa stanno ad indicare quelle strane H accentate?
Le H accentate sono dovute ad un problema nel salvataggio del pdf, a seguito del quale alcuni caratteri vengono interpretati male. Credo che al posto di quell'H ci fosse il morsetto negativo dei generatori, se ci fai caso si trovano sempre in corrispondenza del morsetto "-".
In risposta alle domande dell'OP, Renzo è stato preciso come sempre
In risposta alle domande dell'OP, Renzo è stato preciso come sempre
Non capisco a cosa serva specificare il morsetto negativo di un GIT, cos’altro potrebbe essere 
Tra l'altro, io non ho mai apprezzato la notazione con "+" e "-" se non per motivi di natura grafica. Preferisco la freccina 
La "freccina" è rischiosa, non tutti la usano allo stesso modo. 
... sui GIT poi, non si può vedere. 
... sui GIT poi, non si può vedere.
Il valore del generatore dipendente è \(\displaystyle V_{s} = 4I_{4} \).
Per quanto riguarda quelle H presenti nella figura, confermo che è un errore, avrebbero dovuto esserci dei segni meno.
Per quanto riguarda quelle H presenti nella figura, confermo che è un errore, avrebbero dovuto esserci dei segni meno.
Ok, diciamo $V_s=r I_4$.
Come dicevo, visto che $V_3=-E_2$ e che $V_1=V_s$, potremo limitare a tre le effettive equazioni, nelle incognite V1,V2 e V3, andando a esplicitare V1 e a scrivere le due KCL ai nodi 2 e 4
$V_1=r(V_2-V_4)/R_4$
$(V_1-E_1-V_2)/R_1-V_2/R_2-(V_2-V_4)/R_4=0$
$(V_2-V_4)/R_4-J+(-E_2-V_4)/R_5=0$
che si riduce istantaneamente alle due sole equazioni ai nodi, nelle due incognite V2 e V4.
Come dicevo, visto che $V_3=-E_2$ e che $V_1=V_s$, potremo limitare a tre le effettive equazioni, nelle incognite V1,V2 e V3, andando a esplicitare V1 e a scrivere le due KCL ai nodi 2 e 4
$V_1=r(V_2-V_4)/R_4$
$(V_1-E_1-V_2)/R_1-V_2/R_2-(V_2-V_4)/R_4=0$
$(V_2-V_4)/R_4-J+(-E_2-V_4)/R_5=0$
che si riduce istantaneamente alle due sole equazioni ai nodi, nelle due incognite V2 e V4.
Chiarissimo, grazie mille per l'aiuto.
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