[Elettronica] Formula della corrente di collettore con effetto Early
Mi sono ritrovato costretto a ritornare sui miei passi circa il calcolo delle correnti di un BJT in presenza di effetto Early, visto che ci sono delle cose che vorrei chiarire.
NOTA BENE: utilizzo come convenzione la seguente, ossia nomi minuscoli di segnali indicano che esso è sinusoidale, viceversa quelli maiuscoli indicano una grandezza costante. Inoltre, i pedici maiuscoli indicano un segnale a media non nulla, viceversa pedici minuscoli indicano un segnale a media zero.
Banalmente, i segnali costanti avranno sempre pedici maiuscoli.
Consideriamo prima la costruzione del modello a piccolo segnale ideale, ossia senza questo effetto. Mi concentrerò sul calcolo della corrente di collettore, visto che quella di base e di emettitore si possono ottenere tramite apposite formule, una volta nota quella di collettore.
Scrivo la corrente di collettore come segue
\(\displaystyle i_{C} = I_{S}e^{{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}}\)
sapendo che un segnale è la somma della sua media con la sua parte armonica, scrivo che
\(\displaystyle v_{BE} = V_{BE} + v_{be}\)
dunque, utilizzando la condizione di piccolo segnale, si ha che
\(\displaystyle i_{C} = I_{S}e^{{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}} = I_{S}e^{{\frac{(V_{BE} + v_{be})}{V_{T}}}} =I_{S}e^{{\frac{V_{BE}}{V_{T}}}}e^{{\frac{v_{be}}{V_{T}}}} = I_{S}e^{{\frac{V_{BE}}{V_{T}}}}(1 + \frac{v_{be}}{V_{T}}) = I_{C} + g_mv_{be} \)
dove $I_{C}$ è la corrente che si ottiene nel processo di polarizzazione del BJT, mentre $g_{m}v_{be}$ è la parte dinamica. Dal punto di vista circuitale si ottiene questo
Nulla di strano fin qui.
Ora, considero il caso in cui è presente l'effetto Early.
La formula del calcolo della corrente di collettore si modifica come segue
\(\displaystyle i_{C} = I_{S}e^{{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}}(1 + \frac{v_{CE}}{V_A})\)
e ripeto la dimostrazione fatta nel primo caso in maniera identica
\(\displaystyle i_{C} = I_{S}e^{{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}}(1 + \frac{v_{CE}}{V_A}) = I_{C} + g_mv_{be} + (I_{C} + g_mv_{be})\frac{v_{CE}}{V_A} = I_{C} + g_mv_{be} + (I_{C} + g_mv_{be})\frac{(V_{CE} + v_{ce})}{V_A}\)
facendo i prodotti e ordinando i termini in modo da avere (parte costante) + [parte sinusoidale], si ha che
\(\displaystyle i_{C} = (I_{C} + \frac{I_{C}}{V_A}V_{CE}) + [g_mv_{be} + \frac{I_{C}}{V_A}v_{ce} + \frac{g_m}{V_A}v_{be}v_{ce} + \frac{g_m}{V_A}V_{CE}v_{be}]\)
\(\displaystyle i_{C} = (I_{C} + \frac{V_{CE}}{r_0}) + [g_mv_{be} + \frac{v_{ce}}{r_0} + \frac{g_m}{V_A}v_{be}v_{ce} + \frac{g_m}{V_A}V_{CE}v_{be}] \)
Ecco alcune incongruenze:
1) Negli esercizi in cui non veniva trascurato l'effetto Early, la corrente statica l'ho sempre ottenuta tramite processo di polarizzazione, ricavando quindi il termine che io chiamo $I_{C}$. Secondo quanto dimostrato, invece, avrei dovuto aggiungere anche il valore \(\displaystyle \frac{V_{CE}}{r_0} \)?
2) Confrontando lo schema a piccolo segnale equivalente, che è il seguente
con la parte dinamica della formula, riscontriamo i seguenti termini
- \(\displaystyle g_mv_{be} \), dato dal generatore controllato;
- \(\displaystyle \frac{v_{ce}}{r_0} \), che è proprio la legge di Ohm applicata sul resistore di uscita $r_0$
sembrano mancare, invece, all'appello quei due termini \(\displaystyle \frac{g_m}{V_A}v_{be}v_{ce} \) e \(\displaystyle \frac{g_m}{V_A}V_{CE}v_{be} \).
Che cosa sto sbagliando nel mio ragionamento?
NOTA BENE: utilizzo come convenzione la seguente, ossia nomi minuscoli di segnali indicano che esso è sinusoidale, viceversa quelli maiuscoli indicano una grandezza costante. Inoltre, i pedici maiuscoli indicano un segnale a media non nulla, viceversa pedici minuscoli indicano un segnale a media zero.
Banalmente, i segnali costanti avranno sempre pedici maiuscoli.
Consideriamo prima la costruzione del modello a piccolo segnale ideale, ossia senza questo effetto. Mi concentrerò sul calcolo della corrente di collettore, visto che quella di base e di emettitore si possono ottenere tramite apposite formule, una volta nota quella di collettore.
Scrivo la corrente di collettore come segue
\(\displaystyle i_{C} = I_{S}e^{{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}}\)
sapendo che un segnale è la somma della sua media con la sua parte armonica, scrivo che
\(\displaystyle v_{BE} = V_{BE} + v_{be}\)
dunque, utilizzando la condizione di piccolo segnale, si ha che
\(\displaystyle i_{C} = I_{S}e^{{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}} = I_{S}e^{{\frac{(V_{BE} + v_{be})}{V_{T}}}} =I_{S}e^{{\frac{V_{BE}}{V_{T}}}}e^{{\frac{v_{be}}{V_{T}}}} = I_{S}e^{{\frac{V_{BE}}{V_{T}}}}(1 + \frac{v_{be}}{V_{T}}) = I_{C} + g_mv_{be} \)
dove $I_{C}$ è la corrente che si ottiene nel processo di polarizzazione del BJT, mentre $g_{m}v_{be}$ è la parte dinamica. Dal punto di vista circuitale si ottiene questo
Nulla di strano fin qui.
Ora, considero il caso in cui è presente l'effetto Early.
La formula del calcolo della corrente di collettore si modifica come segue
\(\displaystyle i_{C} = I_{S}e^{{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}}(1 + \frac{v_{CE}}{V_A})\)
e ripeto la dimostrazione fatta nel primo caso in maniera identica
\(\displaystyle i_{C} = I_{S}e^{{\frac{v_{BE}}{V_{T}}}}(1 + \frac{v_{CE}}{V_A}) = I_{C} + g_mv_{be} + (I_{C} + g_mv_{be})\frac{v_{CE}}{V_A} = I_{C} + g_mv_{be} + (I_{C} + g_mv_{be})\frac{(V_{CE} + v_{ce})}{V_A}\)
facendo i prodotti e ordinando i termini in modo da avere (parte costante) + [parte sinusoidale], si ha che
\(\displaystyle i_{C} = (I_{C} + \frac{I_{C}}{V_A}V_{CE}) + [g_mv_{be} + \frac{I_{C}}{V_A}v_{ce} + \frac{g_m}{V_A}v_{be}v_{ce} + \frac{g_m}{V_A}V_{CE}v_{be}]\)
\(\displaystyle i_{C} = (I_{C} + \frac{V_{CE}}{r_0}) + [g_mv_{be} + \frac{v_{ce}}{r_0} + \frac{g_m}{V_A}v_{be}v_{ce} + \frac{g_m}{V_A}V_{CE}v_{be}] \)
Ecco alcune incongruenze:
1) Negli esercizi in cui non veniva trascurato l'effetto Early, la corrente statica l'ho sempre ottenuta tramite processo di polarizzazione, ricavando quindi il termine che io chiamo $I_{C}$. Secondo quanto dimostrato, invece, avrei dovuto aggiungere anche il valore \(\displaystyle \frac{V_{CE}}{r_0} \)?
2) Confrontando lo schema a piccolo segnale equivalente, che è il seguente
con la parte dinamica della formula, riscontriamo i seguenti termini
- \(\displaystyle g_mv_{be} \), dato dal generatore controllato;
- \(\displaystyle \frac{v_{ce}}{r_0} \), che è proprio la legge di Ohm applicata sul resistore di uscita $r_0$
sembrano mancare, invece, all'appello quei due termini \(\displaystyle \frac{g_m}{V_A}v_{be}v_{ce} \) e \(\displaystyle \frac{g_m}{V_A}V_{CE}v_{be} \).
Che cosa sto sbagliando nel mio ragionamento?
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