[Elettronica] Aituo con il metodo dei potenziali di nodo
Ciao ragazzi, studiando per l'esame di Introduzione ai Circuiti ho trovato questo esercizio. Siccome sto trovando qualche difficoltà, speravo nell'aiuto di qualcuno di voi per uscirne!
Non avendo idea di come disegnare il circuito elettrico per farvelo vedere, ho preferito prendere l'immagine dal pdf dove l'ho trovato (da come ho letto non credo sia contro il regolamento, nel caso lo fosse mi scuso in anticipo).
Ho rozzamente cercato di indicare i versi delle correnti da me adottati con delle "frecce" XD .
L'obiettivo dell'esercizio è calcolare le potenze complesse di induttore $ hat(P_L) $ e generatore controllato di corrente $ hat(P_g) $. Per far ciò ho pensato di utilizzare il metodo dei potenziali di nodo.
Il mio problema è che non sono sicuro di star procedendo effettivamente bene nella soluzione. Inoltre, non avendo a disposizione i risultati, non ho nessun tipo di riscontro.
Per la risoluzione ho pensato di procedere così. Ho considerato 4 nodi:
- il nodo 1 al centro, dove si incontrano R1, C ed il generatore controllato di corrente;
- il nodo 2 a sinistra, dove si incontrano R2, L ed il generatore controllato di corrente;
- il nodo 3 a destra, dove si incontrano L, C ed il generatore di tensione;
- infine il nodo 4 in basso, che è quello di riferimento preso con potenziale nullo.
Sono poi passato al dominio dei fasori, ottenendo tali valori:
$ bar(E) = 10 $
$ dot(Z_L) = jomega L = j25 $
$ dot(Z_C) = -j 1/(omegaC) = -j100 $
A questo punto ho calcolato le tensioni dei vari elementi tramite i potenziali di nodo. Si nota già che $ bar(U_3) = - bar(E) = -10 $ e quindi $ bar(U_3) $ non è una vera e propria incognita. Andando avanti abbiamo:
$ bar(V_1) = bar(U_1) $
$ bar(V_2) = bar(U_2) $
$ bar(V_L) = bar(U_2) - bar(U_3) = bar(U_2) + 10 $
$ bar(V_C) = bar(U_3) - bar(U_1) = -10 - bar(U_1) $
Ora troviamo invece le correnti:
$ bar(I_1) = bar(U_1)/100 $
$ bar(I_2) = bar(U_2)/100 $
$ bar(I_L) = -j(bar(U_2) + 10)/25$
$ bar(I_C) = j(-bar(U_1) - 10)/100 $
Ora possiamo impostare un sistema di 2 equazioni in 2 varaibili (consideriamo le LKC ai nodi 1 e 2 in quanto ci sono solo le 2 incognite $ bar(U_1) $ e $ bar(U_2) $ )
$ { ( -gbar(V_2) + bar(I_2) + bar(I_L) = 0 ),( -bar(I_C) + bar(I_1) + gbar(V_2) = 0 ):} $
$ { ( -2bar(U_2) + bar(U_2)/100 - jbar(U_2)/25 - j0.4 = 0 ),( jbar(U_1)/100 + j0.1 + bar(U_1)/100 + 2bar(U_2) = 0 ):} $
Risolvendo la prima equazione ottengo $ bar(U_2) = -0.004 - j0.2 $ .
Dalla seconda ricavo $ bar(U_1) = 15.4 + j.14.6 $
A meno di errori di calcolo o nel procedimento, la soluzione si trova ora facilmente in quanto possiamo calcolare le potenze complesse degli elementi partendo dalle loro tensioni.
Calcoliamo prima alcuni dati.
$ bar(V_L) = bar(U_2) + 10 = 10.004 - j0.2 $
$ |bar(V_L)|^2 = 100 $
$ hat(P_L) = j(|bar(V_L)|^2)/(2X_L) = j2 $
Per quanto riguarda la potenza complessa erogata dal generatore controllato di corrente, non sono sicuro ma credo che la formula sia questa $ hat(P_g) = 1/2bar(V_g)*(gbar(V_2))^\ast $ dove con $ (gbar(V_2))^\ast $ intendo il complesso coniugato della corrente erogata.
Spero di essere stato abbastanza chiaro nell'esporre il mio problema e ringrazio in anticipo chiunque dedicherà qualche minuto del suo tempo ad aiutarmi.
Non avendo idea di come disegnare il circuito elettrico per farvelo vedere, ho preferito prendere l'immagine dal pdf dove l'ho trovato (da come ho letto non credo sia contro il regolamento, nel caso lo fosse mi scuso in anticipo).
Ho rozzamente cercato di indicare i versi delle correnti da me adottati con delle "frecce" XD .
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
L'obiettivo dell'esercizio è calcolare le potenze complesse di induttore $ hat(P_L) $ e generatore controllato di corrente $ hat(P_g) $. Per far ciò ho pensato di utilizzare il metodo dei potenziali di nodo.
Il mio problema è che non sono sicuro di star procedendo effettivamente bene nella soluzione. Inoltre, non avendo a disposizione i risultati, non ho nessun tipo di riscontro.
Per la risoluzione ho pensato di procedere così. Ho considerato 4 nodi:
- il nodo 1 al centro, dove si incontrano R1, C ed il generatore controllato di corrente;
- il nodo 2 a sinistra, dove si incontrano R2, L ed il generatore controllato di corrente;
- il nodo 3 a destra, dove si incontrano L, C ed il generatore di tensione;
- infine il nodo 4 in basso, che è quello di riferimento preso con potenziale nullo.
Sono poi passato al dominio dei fasori, ottenendo tali valori:
$ bar(E) = 10 $
$ dot(Z_L) = jomega L = j25 $
$ dot(Z_C) = -j 1/(omegaC) = -j100 $
A questo punto ho calcolato le tensioni dei vari elementi tramite i potenziali di nodo. Si nota già che $ bar(U_3) = - bar(E) = -10 $ e quindi $ bar(U_3) $ non è una vera e propria incognita. Andando avanti abbiamo:
$ bar(V_1) = bar(U_1) $
$ bar(V_2) = bar(U_2) $
$ bar(V_L) = bar(U_2) - bar(U_3) = bar(U_2) + 10 $
$ bar(V_C) = bar(U_3) - bar(U_1) = -10 - bar(U_1) $
Ora troviamo invece le correnti:
$ bar(I_1) = bar(U_1)/100 $
$ bar(I_2) = bar(U_2)/100 $
$ bar(I_L) = -j(bar(U_2) + 10)/25$
$ bar(I_C) = j(-bar(U_1) - 10)/100 $
Ora possiamo impostare un sistema di 2 equazioni in 2 varaibili (consideriamo le LKC ai nodi 1 e 2 in quanto ci sono solo le 2 incognite $ bar(U_1) $ e $ bar(U_2) $ )
$ { ( -gbar(V_2) + bar(I_2) + bar(I_L) = 0 ),( -bar(I_C) + bar(I_1) + gbar(V_2) = 0 ):} $
$ { ( -2bar(U_2) + bar(U_2)/100 - jbar(U_2)/25 - j0.4 = 0 ),( jbar(U_1)/100 + j0.1 + bar(U_1)/100 + 2bar(U_2) = 0 ):} $
Risolvendo la prima equazione ottengo $ bar(U_2) = -0.004 - j0.2 $ .
Dalla seconda ricavo $ bar(U_1) = 15.4 + j.14.6 $
A meno di errori di calcolo o nel procedimento, la soluzione si trova ora facilmente in quanto possiamo calcolare le potenze complesse degli elementi partendo dalle loro tensioni.
Calcoliamo prima alcuni dati.
$ bar(V_L) = bar(U_2) + 10 = 10.004 - j0.2 $
$ |bar(V_L)|^2 = 100 $
$ hat(P_L) = j(|bar(V_L)|^2)/(2X_L) = j2 $
Per quanto riguarda la potenza complessa erogata dal generatore controllato di corrente, non sono sicuro ma credo che la formula sia questa $ hat(P_g) = 1/2bar(V_g)*(gbar(V_2))^\ast $ dove con $ (gbar(V_2))^\ast $ intendo il complesso coniugato della corrente erogata.
Spero di essere stato abbastanza chiaro nell'esporre il mio problema e ringrazio in anticipo chiunque dedicherà qualche minuto del suo tempo ad aiutarmi.
Risposte
"xemnas":
... Il mio problema è che non sono sicuro di star procedendo effettivamente bene nella soluzione. Inoltre, non avendo a disposizione i risultati, non ho nessun tipo di riscontro.
Per il riscontro ci sono diversi simulatori che ti permetterebbero di verificare, ad ogni modo se posso darti un consiglio, metti sempre ben in evidenza tutte le convenzioni di verso assunte; nel tuo caso mancano quelle relative alle correnti.
"xemnas":
... Ora possiamo impostare un sistema ...
Risolvendo la prima equazione ottengo $ bar(U_2) = -0.004 - j0.2 $ .
Dalla seconda ricavo $ bar(U_1) = 19 + j11 $
A meno di errori di calcolo o nel procedimento, ...
Direi proprio che ci sia un errore nella soluzione numerica: ok per il sistema e per la $ bar(U_2)$, ma la $ bar(U_1)$ direi sia errata, in quanto dovrebbe risultare $bar(U_1)\approx (15.5+j14.7) \ \text{A}$.
"xemnas":
... Per quanto riguarda la potenza complessa erogata dal generatore controllato di corrente, non sono sicuro ma credo che la formula sia questa $ hat(P_g) = 1/2bar(V_g)*(gbar(V_2))\ast $ dove con $ (gbar(V_2))\ast $ intendo il complesso coniugato della corrente erogata.
Certo, se usi fasori a valore massimo, come vedo sei abituato a fare (e se $V_g$ è assunta con il positivo a sinistra), la relazione è quella indicata (Studi sul De Magistris - Miano?), ma l 'asterisco va messo come esponente.
Ciao RenzoDF, innanzitutto ti ringrazio per la tua risposta. 
Potresti indicarmi qualcuno di questi simulatori per windows o magari online?
Per quel che riguarda le convenzioni assunte hai ragione e ti ringrazio del consiglio, vedo se riesco a correggere l'immagine e ci farò più attenzione in futuro.
Non lo so, io ho calcolato $ bar(U_1) $ nel seguente modo:
parto dalla seconda equzione del sistema $ -bar(I_C) + bar(I_1) + gbar(V_2) = 0 $
$ jbar(U_1)/100 + j0.1 + bar(U_1)/100 + 2bar(U_2) = 0 $
$ bar(U_1)/100(1 + j) + j0.1 +2(-0.004 -j0.2) = 0 $
$ bar(U_1)/100(1 + j) = 0.008 + j0.3 $
$ bar(U_1) = 100 (0.008 + j0.3)/(1+j) = (8 + j30)/(1 + j) = (38 + j22)/2 = 19 + j11 V$
Secondo te dove sbaglio?
Yep, De Magistris è il mio professore di Introduzione ai Circuiti.
"RenzoDF":
Per il riscontro ci sono diversi simulatori che ti permetterebbero di verificare, ad ogni modo se posso darti un consiglio, metti sempre ben in evidenza tutte le convenzioni di verso assunte; nel tuo caso mancano quelle relative alle correnti.
Potresti indicarmi qualcuno di questi simulatori per windows o magari online?
Per quel che riguarda le convenzioni assunte hai ragione e ti ringrazio del consiglio, vedo se riesco a correggere l'immagine e ci farò più attenzione in futuro.
"RenzoDF":
Direi proprio che ci sia un errore nella soluzione numerica: ok per il sistema e per la $ bar(U_2)$, ma la $ bar(U_1)$ direi sia errata, in quanto dovrebbe risultare $bar(U_1)\approx (15.5+j14.7) \ \text{A}$.
Non lo so, io ho calcolato $ bar(U_1) $ nel seguente modo:
parto dalla seconda equzione del sistema $ -bar(I_C) + bar(I_1) + gbar(V_2) = 0 $
$ jbar(U_1)/100 + j0.1 + bar(U_1)/100 + 2bar(U_2) = 0 $
$ bar(U_1)/100(1 + j) + j0.1 +2(-0.004 -j0.2) = 0 $
$ bar(U_1)/100(1 + j) = 0.008 + j0.3 $
$ bar(U_1) = 100 (0.008 + j0.3)/(1+j) = (8 + j30)/(1 + j) = (38 + j22)/2 = 19 + j11 V$
Secondo te dove sbaglio?
"RenzoDF":
Studi sul De Magistris - Miano?
Yep, De Magistris è il mio professore di Introduzione ai Circuiti.
"xemnas":
... Potresti indicarmi qualcuno di questi simulatori per windows o magari online?
Per esempio LTspice o Tina, ma ce ne sono una infinità che anche nella versione demo sono più che sufficienti per risolvere reti di dimensioni così ridotte.
"xemnas":
... Non lo so, io ho calcolato $ bar(U_1) $ nel seguente modo:
Secondo te dove sbaglio?
Nelle moltiplicazioni: per esempio, 0.008 X 100, quanto fa?
Ti ringrazio per il consiglio. Comunque hai di nuovo ragione, sono un idiota. 
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