Dubbio su derivata sostanziale

[Ale1521]

Salve a tutti.
Ho un piccolo dubbio sul teorema del trasporto di Reynolds, che consente di passare da derivata sostanziale a derivata euleriana.
Considero un volume di controllo $v(t)$ contenente delle particelle, e una grandezza generica $G$.
Da quello che so, la differenza tra le due derivate è che quella sostanziale considera il volume di controllo funzione del tempo, quella euleriana considera il volume costante. Se quindi le particelle che si trovano nel volume di controllo si muovono, in versione euleriana «escono» dal volume di controllo, generando un flusso convettivo uscente da esso. In ottica lagrangiana questo non accade, perché il volume di controllo cambia forma assieme alle particelle.
In base a queste conoscenze, immaginavo che la differenza nell'espressione tra le due derivate fosse il flusso convettivo, e infatti il teorema del trasporto di Reynolds afferma:
$(DG)/(Dt)=(dG)/(dt)+\int_S(\rho gV)\cdot ndS$, con V: Velocità
Il mio dubbio sta nel segno: se la derivata euleriana contiene un flusso convettivo, mentre quella lagrangiana no, non dovrebbe essere che la derivata sostanziale è uguale a quella euleriana meno il flusso convettivo?
$\text{lagrangiana} = \text{variazione}$
$\text{euleriana} = \text{variazione} + \text{flusso convettivo}$
$\text{lagrangiana} = \text{euleriana} - \text{flusso convettivo}$
Dev'essere sicuramente qualcosa di stupido che mi sfugge, ma al momento non mi viene in mente nulla .

[ELWOOD1]

Io credo che il dubbio sul segno derivi dal fatto che consideri positivo il flusso uscente dal volume di controllo, mentre le azioni sulla superficie del volume hanno verso discorde con la normale alla superficie stessa.

[Ale1521]

Ho risolto, non era quello il problema!
Il punto è che la derivata euleriana, considerando il volume fisso, ha delle particelle in meno (quelle che escono), e quindi devo sommargli il flusso per avere quella lagrangiana, che considera tutte le particelle.