Dove ho sbagliato il segno? Caccia all'errore

[hastings1]

Sto studiando i Radar e a un certo punto le dispensine dicono:
«Supponendo di avere più superfici riflettenti ("scatterers"), il fattore RCS (Radar Cross Section) è meglio descritto dalla seguente pdf (funzione densità di probabilità):
$p(\sigma)= 1/\sigma _M e^{- \sigma/\sigma _M}u_{-1}(\sigma)$ (la variabile d'integraz è $\sigma$ non $\sigma_M$)

Esso (l'RCS) ha valore atteso $\sigma_M$ (una costante)»

Ho provato a fare i calcoli ma mi viene col segno opposto. Potreste darci un'occhiata, per favore?

[tex](1) \quad \mbox{formula Integrazione per parti: } \displaystyle \int_a^b f'(x)g(x)\, dx=\bigg [ f(x)\, g(x)\bigg ]_a^b -\displaystyle \int_a^b f(x) g'(x)\, dx[/tex]

[tex](2) \quad \mbox{valore atteso: } \eta_{\sigma}=E\{ \sigma \}= \displaystyle \int_0^{+\infty} \overbrace{\sigma}^{g(x)} \; \underbrace{\dfrac{1}{\sigma_M} e^{-\dfrac{\sigma}{\sigma_M}}}_{f'(x)}\,d\sigma[/tex]

[tex](3) \quad \mbox{le funzioni: }f(x)=-e^{-\dfrac{\sigma}{\sigma_M}}\quad;\qquad g'(x)=1[/tex]

[tex](4) \quad \mbox{applicazione: } \displaystyle \int_0^{+\infty} \sigma \dfrac{1}{\sigma_M} e^{-\dfrac{\sigma}{\sigma_M}} \,d\sigma=\bigg ( -\sigma e^{-\dfrac{\sigma}{\sigma_M}} \biggl )_0^{+\infty} - \displaystyle \int_0^{+\infty} -e^{-\dfrac{\sigma}{\sigma_M}}\,d\sigma =[/tex]

[tex](4b)\quad \mbox{ resta solo l'integrale (?) }= \bigg[ -\sigma_M e^{-\dfrac{\sigma}{\sigma_M}} \bigg]_0^{+\infty}=-\sigma_M[/tex]

Dove ho sbagliato?

[Quinzio]

4)

[tex]- \displaystyle \int_0^{+\infty} -e^{-\dfrac{\sigma}{\sigma_M}}\,d\sigma = -\left [ {\sigma_M}\ e^{-\dfrac {\sigma}{\sigma_M}} \right ]^{+\infty}_0 = -\left [ 0 - {\sigma_M} \right ] = {\sigma_M}[/tex]

[hastings1]

Grazie