Distanza pulsazioni
sciao,
sto studiando controlli e precisamente le specifiche di progetto nel dominio della frequenza relativamente all'attenuazione di un disturbo in bassa frequenza e volevo sapere se il seguente ragionamento è corretto o meno:
dato un sistema in retroazione unitaria con un impianto $G(s)$ e un regolatore $R(s)$, la funzione d'anello è $L(s) = R(s)*G(s)$ e la funzione dis trasferimento tra un disturbo $d(s)$ sull'uscita e l'uscita stessa è la funzione di sensitività $S(s)= 1/(1+ L(s))$
se il disturbo ha uno spettro variabile in $omega in [0, omega_d]$ chiaramente per aver un buon comportamento del sistema devo fare in modo che la frequenza di taglio $omega_c$ del sistema (quindi $omega_c$ è tale che $|L(j omega_c)|_(db) = 0 dB$) sia sufficientemente superiore ad $omega_d$.
però in generale per garantire una buona robustezza quindi un buon margine di fase devo garantire che vicino a $omega_c$ la pendenza sia circa $<= -20 (dB)/(deca)$
quindi quanto dev'essere approssimativamente la distanza tra $omega_d$ e $omega_c$ se volessi attenuare il disturbo $d(s)$ di $K$ volte?
il ragionamento che ho fatto è il seguente:
se il disturbo dev'essere attenuato di K volte vale la relazione $ |S(j omega)|*D <= D/K$ cioè $1/(|1+L(j omega)|) <= 1/K$ cioè $|L(j omega) +1| >= K AA omega in [0, omega_d]$
se $|L(j omega)| >> 1 AA omega in [0, omega_d]$ allora posso approssimare la relazione con $|L(j omega)| >= K$
cosi so che in bassa frequenza fino ad $omega_d$ dev'essere $|L(j omega)|_(dB) >= K_(db)$ con $K_(db) = 20*log K$
dunque considerando il diagramma di bode dell'ampiezza di $L$ so che $|L(j omega_d)| >= K_(db)$ e $|L(j omega_c)| = 0$ e la pendenza dell'asintoto "ideale" è di $-20 (db)/(deca)$
quindi concludo che se $Delta omega = omega_c - omega_d [ decadi ]$ allora $(K_(db) (db))/(Delta omega (deca))<= 20 (db)/(deca)$ cioè $Delta omega (deca) >= (K_(db))/(20) (deca)$ cioè $omega_c >= omega_d + (K_(db))/(20) (deca)$
fin qui è giusto secondo voi il ragionamento?
poi come posso convertire (formalmente) una relazione del genere che dice $omega_c$ dev'essere maggiore di $omega_d$ almeno di una decade in una relazione che mi dica il rapporto tra le due pulsazioni?
grazie a tutti
sto studiando controlli e precisamente le specifiche di progetto nel dominio della frequenza relativamente all'attenuazione di un disturbo in bassa frequenza e volevo sapere se il seguente ragionamento è corretto o meno:
dato un sistema in retroazione unitaria con un impianto $G(s)$ e un regolatore $R(s)$, la funzione d'anello è $L(s) = R(s)*G(s)$ e la funzione dis trasferimento tra un disturbo $d(s)$ sull'uscita e l'uscita stessa è la funzione di sensitività $S(s)= 1/(1+ L(s))$
se il disturbo ha uno spettro variabile in $omega in [0, omega_d]$ chiaramente per aver un buon comportamento del sistema devo fare in modo che la frequenza di taglio $omega_c$ del sistema (quindi $omega_c$ è tale che $|L(j omega_c)|_(db) = 0 dB$) sia sufficientemente superiore ad $omega_d$.
però in generale per garantire una buona robustezza quindi un buon margine di fase devo garantire che vicino a $omega_c$ la pendenza sia circa $<= -20 (dB)/(deca)$
quindi quanto dev'essere approssimativamente la distanza tra $omega_d$ e $omega_c$ se volessi attenuare il disturbo $d(s)$ di $K$ volte?
il ragionamento che ho fatto è il seguente:
se il disturbo dev'essere attenuato di K volte vale la relazione $ |S(j omega)|*D <= D/K$ cioè $1/(|1+L(j omega)|) <= 1/K$ cioè $|L(j omega) +1| >= K AA omega in [0, omega_d]$
se $|L(j omega)| >> 1 AA omega in [0, omega_d]$ allora posso approssimare la relazione con $|L(j omega)| >= K$
cosi so che in bassa frequenza fino ad $omega_d$ dev'essere $|L(j omega)|_(dB) >= K_(db)$ con $K_(db) = 20*log K$
dunque considerando il diagramma di bode dell'ampiezza di $L$ so che $|L(j omega_d)| >= K_(db)$ e $|L(j omega_c)| = 0$ e la pendenza dell'asintoto "ideale" è di $-20 (db)/(deca)$
quindi concludo che se $Delta omega = omega_c - omega_d [ decadi ]$ allora $(K_(db) (db))/(Delta omega (deca))<= 20 (db)/(deca)$ cioè $Delta omega (deca) >= (K_(db))/(20) (deca)$ cioè $omega_c >= omega_d + (K_(db))/(20) (deca)$
fin qui è giusto secondo voi il ragionamento?
poi come posso convertire (formalmente) una relazione del genere che dice $omega_c$ dev'essere maggiore di $omega_d$ almeno di una decade in una relazione che mi dica il rapporto tra le due pulsazioni?
grazie a tutti
Risposte
ok, ammesso che l ragionamento fosse giusto mi sono accordo che il resto è una banalità.
per definizione $omega (rad) = 10^( omega (deca))$ quindi $omega_c >= omega_d + K_(db)/(20)$ => $10^(omega_c) >= 10^(K_(db)/(20)) * 10^(omega_d)$ cioè $omega_c (rad) >= K omega_d$ cioè $omega_d <= omega_c/K$
per definizione $omega (rad) = 10^( omega (deca))$ quindi $omega_c >= omega_d + K_(db)/(20)$ => $10^(omega_c) >= 10^(K_(db)/(20)) * 10^(omega_d)$ cioè $omega_c (rad) >= K omega_d$ cioè $omega_d <= omega_c/K$
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