Dinamici del II° ordine
Buongiorno! Studio, studio, ma i dinamici del II° ordine proprio non mi entrano in testa. Eppure quelli del I° ordine li so fare tutti in tutti i modi e mi si trovano! 
Per questo chiedo a voi come ultima soluzione se c'è un modo che mi permette di non sbagliarli mai, o qualche appunto per capirli.
La mia difficoltà è una, arrivare all'equazione differenziale del secondo ordine, e quindi scrivere anche le due equazioni di stato. Sapreste indicarmi qualche trucco/consiglio?
Ho riempito due quaderni e nemmeno gli esercizi risolti mi aiutano un granché.
Per esempio http://www.elettrotecnica.unina.it/file ... izi_TR.pdf ES 2.1 con Kirchhoff mi trovo, però con il circuito resistivo associato applicato alla sovrapposizione no. Perché in questo caso non si può applicare? Oppure come si deve applicare?
Sto impazzendo
Per questo chiedo a voi come ultima soluzione se c'è un modo che mi permette di non sbagliarli mai, o qualche appunto per capirli.
La mia difficoltà è una, arrivare all'equazione differenziale del secondo ordine, e quindi scrivere anche le due equazioni di stato. Sapreste indicarmi qualche trucco/consiglio?
Ho riempito due quaderni e nemmeno gli esercizi risolti mi aiutano un granché.
Per esempio http://www.elettrotecnica.unina.it/file ... izi_TR.pdf ES 2.1 con Kirchhoff mi trovo, però con il circuito resistivo associato applicato alla sovrapposizione no. Perché in questo caso non si può applicare? Oppure come si deve applicare?
Sto impazzendo
Risposte
Il principio di sovrapposizione degli effetti è relativo alle sorgenti di tensione e corrente, se hai un circuito con più generatori, puoi studiare il comportamento del circuito con una sorgente attiva per volta ed infine sommare gli effetti dovuti a questi. In questo circuito hai un solo generatore.
Per trovare l'equazione devi sfruttare le leggi di kirkoff per tensioni e correnti. Ad esempio, considero la maglia esterna e quella interna tra capacitore e resistore, poi considero l'equazione al nodo superiore:
$e(t) - Ri_L(t) - L v_L(t) - Ri_R(t) = 0$
$v_C(t) - R i_R(t) = 0$
$i_L(t) = i_C(t) + i_R(t)$
poi considero le relazioni tra tensioni e correnti per i componenti, in particolare $v_L(t) = L (di_L(t))/dt$ e $i_C(t) = C (dv_C(t))/dt$ quindi dalla seconda equazione si ricava che $i_R(t) = (v_C(t))/R$ e dalla terza si ottiene $i_L(t) = C (dv_C(t))/dt + (v_C(t))/R$, quindi sostituendo tutto nella prima si ottiene
$e(t) - RC (dv_C(t))/dt - v_C(t) - LC (d^2 v_C(t))/dt^2 - L/R (d v_C(t))/dt - v_C(t) = 0$
Riscrivendola in forma normale si ottiene
$(d^2 v_C(t))/dt^2 + (1/(RC) + R/L)(d v_C(t))/dt + 2/(LC) v_C(t) = 1/(LC) e(t)$
A questo punto bisogna avere le condizioni iniziali per risolvere in modo univoco, e per trovare questa bisogna sfruttare le condizioni del circuito, difatti come dice la dispensa, prima di $t=0$ si ha che il sistema è a regime, essendo il regime non sinusoidale ma costante, si ha che l'induttore equivale a un cortocircuito e il capacitore ad un circuito aperto, quindi si trova che la tensione ai capi del capacitore/circuito_aperto coincide a quella del secondo resistore, quindi si applica un semplice partitore di tensione, mentre la corrente sull'induttore è quella della maglia esterna. Poi si sfrutta la continuità dell'evoluzione e quindi si ha che a $0^+$ le condizioni sono le stesse a $0^-$.
A questo punto puoi risolvere l'equazione differenziale studiando e(t) per $t < 0$ e $t >0$ separatamente imponendo le condizioni iniziali.
Il circuito resistivo ottenuto dalle semplificazioni a causa del regime costante e non sinusoidale non può essere applicabile, poichè in t =0 ha un salto e(t), quindi si ha una variazione dell'ingresso e quindi i componenti hanno un transitorio per assestarsi al nuovo regime.
Potresti pensare $e(t)$ come somma di $e_1(t)$ e $e_2(t)$ con $e_1(t)$ pari a $-2V$ per $t < 0$ e $0V$ per $t > 0$, mentre $e_2(t)$ pari a $0V$ per $t<0$ e $+2V$ per $t > 0$, quindi studiare per sovrapposizione degli effetti il circuito a fronte dei due ingressi applicati singolarmente, quindi per $e_1(t)$ parti da regime stazionario costante e poi lasci il circuito evolvere liberamente a partire dalla condizione iniziale a fronte dell'azzeramento dell'ingresso, nel secondo caso parti da condizioni iniziali nulle e da $t = 0$ in poi hai l'evoluzione forzata a fronte dell'applicazione dell'ingresso.
Per trovare l'equazione devi sfruttare le leggi di kirkoff per tensioni e correnti. Ad esempio, considero la maglia esterna e quella interna tra capacitore e resistore, poi considero l'equazione al nodo superiore:
$e(t) - Ri_L(t) - L v_L(t) - Ri_R(t) = 0$
$v_C(t) - R i_R(t) = 0$
$i_L(t) = i_C(t) + i_R(t)$
poi considero le relazioni tra tensioni e correnti per i componenti, in particolare $v_L(t) = L (di_L(t))/dt$ e $i_C(t) = C (dv_C(t))/dt$ quindi dalla seconda equazione si ricava che $i_R(t) = (v_C(t))/R$ e dalla terza si ottiene $i_L(t) = C (dv_C(t))/dt + (v_C(t))/R$, quindi sostituendo tutto nella prima si ottiene
$e(t) - RC (dv_C(t))/dt - v_C(t) - LC (d^2 v_C(t))/dt^2 - L/R (d v_C(t))/dt - v_C(t) = 0$
Riscrivendola in forma normale si ottiene
$(d^2 v_C(t))/dt^2 + (1/(RC) + R/L)(d v_C(t))/dt + 2/(LC) v_C(t) = 1/(LC) e(t)$
A questo punto bisogna avere le condizioni iniziali per risolvere in modo univoco, e per trovare questa bisogna sfruttare le condizioni del circuito, difatti come dice la dispensa, prima di $t=0$ si ha che il sistema è a regime, essendo il regime non sinusoidale ma costante, si ha che l'induttore equivale a un cortocircuito e il capacitore ad un circuito aperto, quindi si trova che la tensione ai capi del capacitore/circuito_aperto coincide a quella del secondo resistore, quindi si applica un semplice partitore di tensione, mentre la corrente sull'induttore è quella della maglia esterna. Poi si sfrutta la continuità dell'evoluzione e quindi si ha che a $0^+$ le condizioni sono le stesse a $0^-$.
A questo punto puoi risolvere l'equazione differenziale studiando e(t) per $t < 0$ e $t >0$ separatamente imponendo le condizioni iniziali.
Il circuito resistivo ottenuto dalle semplificazioni a causa del regime costante e non sinusoidale non può essere applicabile, poichè in t =0 ha un salto e(t), quindi si ha una variazione dell'ingresso e quindi i componenti hanno un transitorio per assestarsi al nuovo regime.
Potresti pensare $e(t)$ come somma di $e_1(t)$ e $e_2(t)$ con $e_1(t)$ pari a $-2V$ per $t < 0$ e $0V$ per $t > 0$, mentre $e_2(t)$ pari a $0V$ per $t<0$ e $+2V$ per $t > 0$, quindi studiare per sovrapposizione degli effetti il circuito a fronte dei due ingressi applicati singolarmente, quindi per $e_1(t)$ parti da regime stazionario costante e poi lasci il circuito evolvere liberamente a partire dalla condizione iniziale a fronte dell'azzeramento dell'ingresso, nel secondo caso parti da condizioni iniziali nulle e da $t = 0$ in poi hai l'evoluzione forzata a fronte dell'applicazione dell'ingresso.
Allora sono riuscito a risolvere, comunque quanto hai scritto mi è servito.
Sperando possa esserti utile ti scrivo come funziona e in che consiste il metodo del circuito resistivo associato.
Quando studi il transitorio per t>0 sostituisci l'induttore con un generatore di corrente, e l'induttore con il generatore di tensione (naturalmente puoi decidere qualsiasi cosa per la convenzione).
Fatto ciò applichi la sovrapposizione tipo:
1) Lascio acceso il generatore che avevo dall'inizio dell'esercizio a sinistra e spengo gli altri.
$i_C' = 0$
$V_L' = E$
2) Lascio acceso il generatore di corrente e spengo gli altri:
$i_C'' = i_L$
$V_L'' = -R_1*i_L$
3) lascio accesso il generatore che ha sostituito il condensatore e accendo gli altri
$i_C''' = -v_C/R_2$
$V_L''' = -v_C$
Sommando o solo i tre termini di $i_L$ o solo i termini in $v_C$ avrò due equazioni di stato. Infatti avrò:
$i_C = 0 + i_L + -v_C/R_2$
$v_L=E - R_1*i_L - v_C$
e da quì l'equazione differenziale.
Ora se mi trovo ti scrivo l'altro problema che ho.
Perché nell'esercizio ES. 2.2 del file che ho linkato all'inizio l'integrale particolare è nullo? Come faccio a capire ciò?
E come posso calcolare le costanti quando K1 e K2 della soluzione poi? Se da li non posso ricavare $d/dtv_c(0+)$
spero di essermi fatto capire
Sperando possa esserti utile ti scrivo come funziona e in che consiste il metodo del circuito resistivo associato.
Quando studi il transitorio per t>0 sostituisci l'induttore con un generatore di corrente, e l'induttore con il generatore di tensione (naturalmente puoi decidere qualsiasi cosa per la convenzione).
Fatto ciò applichi la sovrapposizione tipo:
1) Lascio acceso il generatore che avevo dall'inizio dell'esercizio a sinistra e spengo gli altri.
$i_C' = 0$
$V_L' = E$
2) Lascio acceso il generatore di corrente e spengo gli altri:
$i_C'' = i_L$
$V_L'' = -R_1*i_L$
3) lascio accesso il generatore che ha sostituito il condensatore e accendo gli altri
$i_C''' = -v_C/R_2$
$V_L''' = -v_C$
Sommando o solo i tre termini di $i_L$ o solo i termini in $v_C$ avrò due equazioni di stato. Infatti avrò:
$i_C = 0 + i_L + -v_C/R_2$
$v_L=E - R_1*i_L - v_C$
e da quì l'equazione differenziale.
Ora se mi trovo ti scrivo l'altro problema che ho.
Perché nell'esercizio ES. 2.2 del file che ho linkato all'inizio l'integrale particolare è nullo? Come faccio a capire ciò?
E come posso calcolare le costanti quando K1 e K2 della soluzione poi? Se da li non posso ricavare $d/dtv_c(0+)$
spero di essermi fatto capire
Certo che ce l'hai $(d v_C(0))/dt$, $i_L = i_C = C(d v_C(t))/dt$.
La questione dell'integrale particolare non l'ho capita..... risolvendo l'equazione differenziale
$d^2 v_C + R/L dv_C + 1/(LC) v_C = E$
l'equazione caratterista da come soluzioni
$-5\cdot 10^5 \pm i\sqrt(3)/2 10^6$ cioè $-5\cdot 10^5 \pm i 8,66\cdot 10^5$
quindi la soluzione dell'omogenea è $e^{-5\cdot 10^5 t}(c_1 cos(8,66\cdot 10^5 t) + c_2 sin(8,66\cdot 10^5 t))$.
Cercando una soluzione particolare si trova che questa corrispone a $E = 1$, quindi una soluzione completa è
$v_C(t) = e^{-5\cdot 10^5 t}(c_1 cos(8,66\cdot 10^5 t) + c_2 sin(8,66\cdot 10^5 t)) +1$.
Imponendo le condizioni iniziali $v_C(0) = 0$ e $dv_C(0) = 0$ trovi $c_1 = 1$ e $c_2 = 0,577$.
La questione dell'integrale particolare non l'ho capita..... risolvendo l'equazione differenziale
$d^2 v_C + R/L dv_C + 1/(LC) v_C = E$
l'equazione caratterista da come soluzioni
$-5\cdot 10^5 \pm i\sqrt(3)/2 10^6$ cioè $-5\cdot 10^5 \pm i 8,66\cdot 10^5$
quindi la soluzione dell'omogenea è $e^{-5\cdot 10^5 t}(c_1 cos(8,66\cdot 10^5 t) + c_2 sin(8,66\cdot 10^5 t))$.
Cercando una soluzione particolare si trova che questa corrispone a $E = 1$, quindi una soluzione completa è
$v_C(t) = e^{-5\cdot 10^5 t}(c_1 cos(8,66\cdot 10^5 t) + c_2 sin(8,66\cdot 10^5 t)) +1$.
Imponendo le condizioni iniziali $v_C(0) = 0$ e $dv_C(0) = 0$ trovi $c_1 = 1$ e $c_2 = 0,577$.
"Ska":
Certo che ce l'hai $(d v_C(0))/dt$, $i_L = i_C = C(d v_C(t))/dt$.
La questione dell'integrale particolare non l'ho capita..... risolvendo l'equazione differenziale
$d^2 v_C + R/L dv_C + 1/(LC) v_C = E$
l'equazione caratterista da come soluzioni
$-5\cdot 10^5 \pm i\sqrt(3)/2 10^6$ cioè $-5\cdot 10^5 \pm i 8,66\cdot 10^5$
quindi la soluzione dell'omogenea è $e^{-5\cdot 10^5 t}(c_1 cos(8,66\cdot 10^5 t) + c_2 sin(8,66\cdot 10^5 t))$.
Cercando una soluzione particolare si trova che questa corrispone a $E = 1$, quindi una soluzione completa è
$v_C(t) = e^{-5\cdot 10^5 t}(c_1 cos(8,66\cdot 10^5 t) + c_2 sin(8,66\cdot 10^5 t)) +1$.
Imponendo le condizioni iniziali $v_C(0) = 0$ e $dv_C(0) = 0$ trovi $c_1 = 1$ e $c_2 = 0,577$.
A cavolo me la da stesso lui! Praticamente io nella soluzione che ha inserito il file del link non mette la soluzione a regime stazionario...ovvero non mette quel + 1!
A pensarci intuitivamente non poteva che essere così, finito il transitorio, in regime stazionario costante, il capacitore è un circuito aperto, l'induttore è un corto circuito, quindi non c'è corrente nella maglia, e dunque la tensione ai capi del condensatore/circuito_aperto è esattamente quella del generatore.
"Ska":
A pensarci intuitivamente non poteva che essere così, finito il transitorio, in regime stazionario costante, il capacitore è un circuito aperto, l'induttore è un corto circuito, quindi non c'è corrente nella maglia, e dunque la tensione ai capi del condensatore/circuito_aperto è esattamente quella del generatore.
Scusami ma io sto impazzendo con questo file perché gli esercizi non sono tutti svolti correttamente credo. Per esempio, ES. 2.4 sempre del file che ti ho linkato dai miei calcoli non mi trovo con lui! Arrivo alla stessa sua equazione differenziale ma per $t > 0$ quando applica la LKT non mi trovo con lui io mi trovo:
$V_c = L*d i_L/dt + 2*R*i_L$
e quindi ovviamente non mi trovo con $K_1$ e $K_2$
Sbaglio io? O lui ha sbagliato?
Per la precisione la mia soluzione è:
$i_L(t)= -0.16*e^(-27.6t)+1.91*e^(-72.4t)$
Poi vorrei farti altre due domande allora a seconda della soluzione che ottengo calcolo $K_1$ e $K_2$?
Tipo se ho il discriminante maggiore di zero uso un metodo, e quando ho il discriminante minore di zero utilizzo un altro metodo. Ma nel caso mi trovo il discriminante uguale a zero come faccio? Non è che hai qualche tabellina che mi sintetizza questi casi? Spero si capisca cosa voglio dire...
Quello che hai scritto va in parte bene, $v_C$ non è costante anche lui cambia nel tempo, devi quindi ricondurti ad una equazione differenziale con un'unica funzione incognita, ti manca un'equazione per completare il sistema, ovvero $i_L = - i_C = - C d/(dt) v_C$ da cui ricavi esattamente l'equazione differenziale della soluzione.
Nel caso in cui il discriminante nullo, quindi $\lambda_1 = \lambda_2$ avrai come soluzione dell'omogenea $y(t) = (c_1 + c_2 t)e^{\lambda_1 t}$.
Prova a dare un occhiata qua http://dm.ing.unibs.it/ptrebesc/Didatti ... nidiff.pdf la parte relativa alle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di secondo ordine e superiore.
Nel caso in cui il discriminante nullo, quindi $\lambda_1 = \lambda_2$ avrai come soluzione dell'omogenea $y(t) = (c_1 + c_2 t)e^{\lambda_1 t}$.
Prova a dare un occhiata qua http://dm.ing.unibs.it/ptrebesc/Didatti ... nidiff.pdf la parte relativa alle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di secondo ordine e superiore.
"Ska":
Quello che hai scritto va in parte bene, $v_C$ non è costante anche lui cambia nel tempo, devi quindi ricondurti ad una equazione differenziale con un'unica funzione incognita, ti manca un'equazione per completare il sistema, ovvero $i_L = - i_C = - C d/(dt) v_C$ da cui ricavi esattamente l'equazione differenziale della soluzione.
Nel caso in cui il discriminante nullo, quindi $\lambda_1 = \lambda_2$ avrai come soluzione dell'omogenea $y(t) = (c_1 + c_2 t)e^{\lambda_1 t}$.
Prova a dare un occhiata qua http://dm.ing.unibs.it/ptrebesc/Didatti ... nidiff.pdf la parte relativa alle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di secondo ordine e superiore.
Grazie ora vedo, per quanto riguarda il resto dell'equazione differenziale la ricavo senza problemi solo che lui nel file scrive, prima ancora di trovarsi la sua equazione differenziale del II° ordine
$Vc + Ldi/Ldt+2RiL = 0$
mentre io mi trovo
$Vc=Ldi/Ldt+2RiL$
e dunque le due costanti non sono più quelle per me, sempre se non commetto chissà quale errore. E tale equazione l'utilizzo quando cerco le $K$
ovvero quando poi metto a sistema e cerco:
$i_L(0+) = K_1+K_2+i_Lp$
$L⋅d(i_L(0+))/dt= - 2⋅R⋅iL(0+) - V_c(0+)$
non capisco quale sia il problema.... la corrente $i_C = - i_L$ per le convenzioni usate su tensioni e correnti.... si esprime tutto con un'unica equazione in'unica funzione incognita e le condizioni iniziali si ricavano.
"Ska":
non capisco quale sia il problema.... la corrente $i_C = - i_L$ per le convenzioni usate su tensioni e correnti.... si esprime tutto con un'unica equazione in'unica funzione incognita e le condizioni iniziali si ricavano.
non mi trovo con il segno, perché per me la $V_c$ prima di trovare l'equazione differenziale è negativa.
Usa le convenzioni e scrivi che la tensione sui due rami deve essere uguale, per il ramo di sinistra considera la corrente $i_C$ mentre per quello di destra $i_L$. A questo punto data la relazione $i_L = - i_C = - C dv_C$ ed ottieni esattamente l'equazione differenziale rispetto a $v_C$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo