Dimostrazione in teoria dei sistemi
Salve,
sto leggendo un vecchio libro di teoria dei sistemi ("Fondamenti di teoria dei sistemi" di Giovanni Marro, 1979). Il paragrafo 1.4 (pagina 29) presenta il sistema come ente matematico.
Riporto brevemente le definizioni.
Definizione 1. Lo stato di un sistema dinamico $S$ è un elemento (di un insieme $X$, detto insieme degli stati) soggetto a variare nel tempo e con la proprietà che lo stato $x(t_{0})$ in un istante $t_0$, unitamente al segmento della funzinone d'ingresso $u[t_{0},t]$, determina univocamente l'uscita $y(t)$, $t>=t_{0}$.
Definizione 2. Un sistema si dice causale se l'uscita all'istante generico $t$ non dipende dai valori che assume l'ingresso in istanti successivi.
Definizione 3. Un sistema dinamico $S$ è un ente matematico consistente in:
1) un insieme dei tempi $T$ (la cui natura è limitata ai due casi $T = RR$ (sistemi continui) o $T = ZZ$ (sistemi discreti));
2) un insieme degli ingressi $U$;
3) un insieme delle funzioni d'ingresso $U_f$;
4) un insieme degli stati $X$;
5) un insieme delle uscite $Y$;
6) una funzione $\gamma : T xx T xx X xx U_{f} rarr Y$ che, assegnato un istante $t$, un istante iniziale $t_{0} <= t$, uno stato iniziale $x(t_{0})$ e una funzione d'ingresso $u(t_{0})$ definisce l'uscita all'istante $t$:
$y(t) = \gamma(t,t_{0},x(t_{0}),u(*))$ (1);
la funzione $\gamma$ presenta le seguenti proprietà:
a) $\gamma(t,t_{0},x(t_{0}),u(*))$ è definita per $t>=t_0$, ma non necessariamente per $t
b) la dipendenza di $\gamma$ dalla funzione di ingresso è limitata all'intervallo $[t_{0},t]$.
Definizione 4. Due stati $x_1$, $x_2$ $in X$ si dicono indistinguibili in $[t_{0},t_{1}]$ se è
Definizione 5. Due stati indistinguibili in $[t_{0},t_{1}] AA t_{0}, t_{1} in T$ si dicono equivalenti.
Definizione 6. Un sistema che non presenta stati equivalenti si dice in forma minima.
Teorema. L'evoluzione dello stato di un sistema dinamico $S$ in forma minima è rappresentata dalla relazione
Dimostrazione.Se nella (1) si pone $t_{0} = t$, in virtù della proprietà b) della funzione $\gamma$, si può scrivere
sto leggendo un vecchio libro di teoria dei sistemi ("Fondamenti di teoria dei sistemi" di Giovanni Marro, 1979). Il paragrafo 1.4 (pagina 29) presenta il sistema come ente matematico.
Riporto brevemente le definizioni.
Definizione 1. Lo stato di un sistema dinamico $S$ è un elemento (di un insieme $X$, detto insieme degli stati) soggetto a variare nel tempo e con la proprietà che lo stato $x(t_{0})$ in un istante $t_0$, unitamente al segmento della funzinone d'ingresso $u[t_{0},t]$, determina univocamente l'uscita $y(t)$, $t>=t_{0}$.
Definizione 2. Un sistema si dice causale se l'uscita all'istante generico $t$ non dipende dai valori che assume l'ingresso in istanti successivi.
Definizione 3. Un sistema dinamico $S$ è un ente matematico consistente in:
1) un insieme dei tempi $T$ (la cui natura è limitata ai due casi $T = RR$ (sistemi continui) o $T = ZZ$ (sistemi discreti));
2) un insieme degli ingressi $U$;
3) un insieme delle funzioni d'ingresso $U_f$;
4) un insieme degli stati $X$;
5) un insieme delle uscite $Y$;
6) una funzione $\gamma : T xx T xx X xx U_{f} rarr Y$ che, assegnato un istante $t$, un istante iniziale $t_{0} <= t$, uno stato iniziale $x(t_{0})$ e una funzione d'ingresso $u(t_{0})$ definisce l'uscita all'istante $t$:
$y(t) = \gamma(t,t_{0},x(t_{0}),u(*))$ (1);
la funzione $\gamma$ presenta le seguenti proprietà:
a) $\gamma(t,t_{0},x(t_{0}),u(*))$ è definita per $t>=t_0$, ma non necessariamente per $t
b) la dipendenza di $\gamma$ dalla funzione di ingresso è limitata all'intervallo $[t_{0},t]$.
Definizione 4. Due stati $x_1$, $x_2$ $in X$ si dicono indistinguibili in $[t_{0},t_{1}]$ se è
- $\gamma(t,t_{0},x_{1},u(*)) = \gamma(t,t_{0},x_{2},u(*))$ $AA t in [t_{0},t_{1}]$, $AA u(*) in U_f$.[/list:u:3iuvcyxl]
Definizione 5. Due stati indistinguibili in $[t_{0},t_{1}] AA t_{0}, t_{1} in T$ si dicono equivalenti.
Definizione 6. Un sistema che non presenta stati equivalenti si dice in forma minima.
Teorema. L'evoluzione dello stato di un sistema dinamico $S$ in forma minima è rappresentata dalla relazione
- $x(t) = \phi(t,t_{0},x(t_{0}),u(*))$ (2)[/list:u:3iuvcyxl]
in cui la funzione $\phi$ a valori in $X$ ha lo stesso dominio della funzione $\gamma$ in (1).
Dimostrazione.Se nella (1) si pone $t_{0} = t$, in virtù della proprietà b) della funzione $\gamma$, si può scrivere
- $y(t) = g(t,x(t),u(t))$ (3),[/list:u:3iuvcyxl]
cioè l'uscita in un certo istante non può dipendere che dall'istante considerato e dai valori dello stato e dell'ingresso nello stesso istante. Si suppone che la (2) non valga, cioè che sia
- $x(t) = \phi'(t,t_{0},x(t_{0}),u(*),\theta)$ (4), [/list:u:3iuvcyxl]
in cui con $\theta$ si indica una generica variabile diversa da $t$, $t_0$, $x(t_{0})$, $u[t_{0},t]$.
Sostituendo nella (3) tutti gli stati $x(t)$ che la (4) fornisce al variare di $\theta$ si ottiene la stessa funzione di uscita, per l'unicità dell'uscita in un dato istante, implicata dalla definizione 3 di sistema dinamico. Essendo il sistema in forma minima, tali stati si riducono a uno solo, per cui in realtà la dipendenza da $\theta$ indicata a secondo membro della (4) non sussiste.
Secondo voi questa dimostrazione è corretta?
Risposte
In pratica il problema che riscontro risiede nella definizione di sistema dinamico e come da questa, nella dimostrazione, si riesca a dedurre la funzione di transizione $x(t)$ con quelle caratteristiche.
A parte, a mio avviso, un'impostazione non proprio ortodossa già nella definizione 1 in cui ci si riferisce al sistema dinamico quando ancora non lo si è definito; resta comunque il problema di come si riesca a pervenire alla funzione $x$ sostanzialmente dalla definizione 3.
Sembra in realtà che tale funzione venga estratta dal cilindro di un prestigiatore anziché dalla deduzione di un enunciato. A me sembra che sia opportuno procedere assiomatizzando la funzione di transizione (quantomeno la sua esistenza) all'interno della definizione 3.
Ma si guardi un momento l'argomento che viene utilizzato per l'indipendenza da ulteriori variabili $\theta$. Pare chiaro che si proceda per assurdo. Si afferma che sostituendo nella (3) tutti i valori di $x(t)$ al variare di $\theta$ si perviene alla stessa $y(t)$. Ora questo non è molto chiaro dato che non vedo come dalla definizione 3 ciò resti implicato: la (1) indica una dipendenza funzionale dell'uscita da quattro elementi, la (3) è un caso particolare della (1) e non vedo per quale ragione inserendo stati $x(t)$ variabili in ragione unicamente di $\theta$ si debba pervenire alla stessa uscita; è vero che a partire dalla (1) (cioè da un tempo iniziale minore di $t$), una volta fissato lo stato iniziale, in $t$ si deve pervenire ad un valore di uscita univocamente determinato (per la funzionalità di $\gamma$), ma non riesco a spiegarmi come questo sia possibile partendo dalla (3). Questo è il primo problema, ma ce n'è anche un secondo.
Per completare la dimostrazione si tira in ballo la minimalità del sistema. Tuttavia la definizione 6 dice chiaramente che questa forma minima corrisponde a non avere stati che posti in un qualsiasi medesimo istante conducano sempre alla stessa uscita (a parità di funzione di entrata). Ora, ammesso anche che la parte che ho indicato prima sia corretta, mi domando come si possa utilizzare l'ipotesi della minimalità visto che gli stati "equivalenti" $x(\theta_{1})$, $x(\theta_{2})$ ecc. in realtà non mi sembrano affatto tali (i.e. equivalenti) dato che soddisfano di certo la condizione di equivalenza, ma solo relativamente all'istante $t$, istante in cui tali stati si manifestano per via dell'evoluzione indicata dalla (2) a partire dal medesimo stato iniziale $x(t_{0})$.
A parte, a mio avviso, un'impostazione non proprio ortodossa già nella definizione 1 in cui ci si riferisce al sistema dinamico quando ancora non lo si è definito; resta comunque il problema di come si riesca a pervenire alla funzione $x$ sostanzialmente dalla definizione 3.
Sembra in realtà che tale funzione venga estratta dal cilindro di un prestigiatore anziché dalla deduzione di un enunciato. A me sembra che sia opportuno procedere assiomatizzando la funzione di transizione (quantomeno la sua esistenza) all'interno della definizione 3.
Ma si guardi un momento l'argomento che viene utilizzato per l'indipendenza da ulteriori variabili $\theta$. Pare chiaro che si proceda per assurdo. Si afferma che sostituendo nella (3) tutti i valori di $x(t)$ al variare di $\theta$ si perviene alla stessa $y(t)$. Ora questo non è molto chiaro dato che non vedo come dalla definizione 3 ciò resti implicato: la (1) indica una dipendenza funzionale dell'uscita da quattro elementi, la (3) è un caso particolare della (1) e non vedo per quale ragione inserendo stati $x(t)$ variabili in ragione unicamente di $\theta$ si debba pervenire alla stessa uscita; è vero che a partire dalla (1) (cioè da un tempo iniziale minore di $t$), una volta fissato lo stato iniziale, in $t$ si deve pervenire ad un valore di uscita univocamente determinato (per la funzionalità di $\gamma$), ma non riesco a spiegarmi come questo sia possibile partendo dalla (3). Questo è il primo problema, ma ce n'è anche un secondo.
Per completare la dimostrazione si tira in ballo la minimalità del sistema. Tuttavia la definizione 6 dice chiaramente che questa forma minima corrisponde a non avere stati che posti in un qualsiasi medesimo istante conducano sempre alla stessa uscita (a parità di funzione di entrata). Ora, ammesso anche che la parte che ho indicato prima sia corretta, mi domando come si possa utilizzare l'ipotesi della minimalità visto che gli stati "equivalenti" $x(\theta_{1})$, $x(\theta_{2})$ ecc. in realtà non mi sembrano affatto tali (i.e. equivalenti) dato che soddisfano di certo la condizione di equivalenza, ma solo relativamente all'istante $t$, istante in cui tali stati si manifestano per via dell'evoluzione indicata dalla (2) a partire dal medesimo stato iniziale $x(t_{0})$.
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