Diagrammi di bode con funzione di trasferimento costante
Ho un dubbio sui diagrammi di bode. Quando ho un a funzione di trasferimento $g(j omega)=k$ se ne faccio il modulo questo è ancora k e la fase si calcola come $arctg(0/k)=0$ e fin qui tutto bene.Quando invece ho $g(j omega)=-k$ il modulo sarà sempre k ma la fase stavolta è $-pi$ e mi torna da un punto di vista grafico perchè il vettore -k nel paino complesso è sfasato propio di un angolo $-pi$ ma non mi torna matematicamente perchè dovrebbe venire ancora 0.
Risposte
beh l'arctg non è univoca, infatti questa ritorna valori solo nell'intervallo $]-(pi)/2,(pi)/2[
dunque la perdita d'informazione dovuta ad angoli con stessa tangente (che sono quelli sfasati di +-pi) infatti $tg(x)= sin(x)/cos(x)$, si ha $sin(x+-pi))-sin(x)$ e $cos(x+-pi) = -cos(x)$ e quindi $tg(x+-pi)=tg(x)$
quindi come fare a risalire ad angoli diversi che hanno la stessa tangente dalla valutazione dell'arcotangente?
beh se sono numeri complessi si può sapere tramite il segno della parte reale e immaginaria.
ad esempio prendi i vettori (a,b) e (-a,-b) con $a>0,b>0$
arctg(b/a) = arctg(-b/-a) ma mentre il primo ha fase compresa nel primo quadrante ($[0,(pi)/2]$) il secondo ha fase nel terzo quadrante, quindi per risalire alla fase del secondo semplicemente si aggiunge(o si toglie, è uguale) $pi$ all'angolo ritornato dall'arcotangente (che è quello del primo)
e in generale questo si fa quando sai che l'arcotangente che individua un angolo perforza tra -pi/2 e pi/2 in realta si riferisce ad un angolo nell'altro sempipiano, ossia quando la parte reale è NEGATIVA!
nel caso del diagramma di bode hai $arctg(0/(-k)) = arctg(0/k) con k>0$ e quindi per le considerazioni sopra fatte ottieni in entrambi i casi la fase di (0,k) e per ottenere quella di (0,-k) devi aggiungee o togliere $pi$
il fatto che togli $pi$ invece di aggiungerlo PENSO sia perchè nessun sistema fisico risponde in anticipo
dunque la perdita d'informazione dovuta ad angoli con stessa tangente (che sono quelli sfasati di +-pi) infatti $tg(x)= sin(x)/cos(x)$, si ha $sin(x+-pi))-sin(x)$ e $cos(x+-pi) = -cos(x)$ e quindi $tg(x+-pi)=tg(x)$
quindi come fare a risalire ad angoli diversi che hanno la stessa tangente dalla valutazione dell'arcotangente?
beh se sono numeri complessi si può sapere tramite il segno della parte reale e immaginaria.
ad esempio prendi i vettori (a,b) e (-a,-b) con $a>0,b>0$
arctg(b/a) = arctg(-b/-a) ma mentre il primo ha fase compresa nel primo quadrante ($[0,(pi)/2]$) il secondo ha fase nel terzo quadrante, quindi per risalire alla fase del secondo semplicemente si aggiunge(o si toglie, è uguale) $pi$ all'angolo ritornato dall'arcotangente (che è quello del primo)
e in generale questo si fa quando sai che l'arcotangente che individua un angolo perforza tra -pi/2 e pi/2 in realta si riferisce ad un angolo nell'altro sempipiano, ossia quando la parte reale è NEGATIVA!
nel caso del diagramma di bode hai $arctg(0/(-k)) = arctg(0/k) con k>0$ e quindi per le considerazioni sopra fatte ottieni in entrambi i casi la fase di (0,k) e per ottenere quella di (0,-k) devi aggiungee o togliere $pi$
il fatto che togli $pi$ invece di aggiungerlo PENSO sia perchè nessun sistema fisico risponde in anticipo
Perché non ti torna matematicamente? Il punto di vista grafico e quello matematico coincidono per i numeri complessi: la fase di un numero negativo è [tex](2n+1) \pi[/tex], con [tex]n[/tex] a piacere anche negativo.
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