Diagrammi di Bode
Salve a tutti, avrei un problema da porre:
se ho una funzione del tipo $G(s)=(s-1)/(s^2+s+1)$,
quando vado a fare il diagramma delle fasi qual è il contributo del numeratore?
inoltre:
se metto a fattor comune un meno al numeratore (ottenendo quindi guadagno negativo), cambia qualcosa ?
se ho una funzione del tipo $G(s)=(s-1)/(s^2+s+1)$,
quando vado a fare il diagramma delle fasi qual è il contributo del numeratore?
inoltre:
se metto a fattor comune un meno al numeratore (ottenendo quindi guadagno negativo), cambia qualcosa ?
Risposte
La matematica aiuta. Posto [tex]s=j\omega[/tex], si ha
[tex]\text{Ph}\{s^2+s+1\}=\text{Ph}\{1-\omega^2+j\omega\}=\arctan\left(\frac{\omega}{1-\omega^2}\right)[/tex]
Da qui, al variare di [tex]\omega[/tex], puoi determinare il comportamento della fase di quel termine.
Se metti a fattor comune il [tex]-1[/tex], dal momento che non alteri la funzione, non può cambiare nulla.
[tex]\text{Ph}\{s^2+s+1\}=\text{Ph}\{1-\omega^2+j\omega\}=\arctan\left(\frac{\omega}{1-\omega^2}\right)[/tex]
Da qui, al variare di [tex]\omega[/tex], puoi determinare il comportamento della fase di quel termine.
Se metti a fattor comune il [tex]-1[/tex], dal momento che non alteri la funzione, non può cambiare nulla.
"K.Lomax":
La matematica aiuta. Posto [tex]s=j\omega[/tex], si ha
[tex]\text{Ph}\{s^2+s+1\}=\text{Ph}\{1-\omega^2+j\omega\}=\arctan\left(\frac{\omega}{1-\omega^2}\right)[/tex]
Da qui, al variare di [tex]\omega[/tex], puoi determinare il comportamento della fase di quel termine.
Se metti a fattor comune il [tex]-1[/tex], dal momento che non alteri la funzione, non può cambiare nulla.
Se ho uno zero del tipo $s+1$, allora a partire dal suo punto di attivazione so che esso darà un contributo di $pi/4 (rad)/(decade)$
mi chiedevo cosa succedeva in quei casi in cui ho $-s-1$,$1-s$, e così via.
per il denominatore non ho problemi; mi darà un salto di $pi$ in $1/2$
Per il meno a fattor comune il dubbio nasce dal fatto che il grafico "parte" da $-pi$ in quel caso
Vediamo di chiarire. Considerando il fattore [tex]-1-s=-1-j\omega[/tex], si ha
[tex]\text{Ph}\{-1-j\omega\}=\pm\pi+\arctan\left(\omega\right)[/tex]
in quanto parte reale ed immaginaria sono entrambe negative e quindi ci troviamo nel terzo quadrante del piano di Gauss. D'altro canto
[tex]-1-s=-1-j\omega=-1(1+j\omega)[/tex]
e dal momento che la fase di un prodotto è uguale alla somma delle fasi si ha
[tex]\text{Ph}\{-1(1+j\omega)\}=\text{Ph}\{-1\}+\text{Ph}\{1+j\omega\}=\pm\pi+\arctan\left(\omega\right)[/tex]
che è lo stesso risultato precedente.
[tex]\text{Ph}\{-1-j\omega\}=\pm\pi+\arctan\left(\omega\right)[/tex]
in quanto parte reale ed immaginaria sono entrambe negative e quindi ci troviamo nel terzo quadrante del piano di Gauss. D'altro canto
[tex]-1-s=-1-j\omega=-1(1+j\omega)[/tex]
e dal momento che la fase di un prodotto è uguale alla somma delle fasi si ha
[tex]\text{Ph}\{-1(1+j\omega)\}=\text{Ph}\{-1\}+\text{Ph}\{1+j\omega\}=\pm\pi+\arctan\left(\omega\right)[/tex]
che è lo stesso risultato precedente.
Quindi se ho uno zero nella forma $s-1$, esso mi dà una pendenza di $+pi/4+pi$?
La pendenza è sempre [tex]\frac{\pi}{4}/{dec}[/tex], partendo da [tex]0[/tex] ed arrivando a [tex]-\pi/2[/tex].
"K.Lomax":
La pendenza è sempre [tex]\frac{\pi}{4}/{dec}[/tex], partendo da [tex]0[/tex] ed arrivando a [tex]-\pi/2[/tex].
ok grazie
"K.Lomax":
La pendenza è sempre [tex]\frac{\pi}{4}/{dec}[/tex], partendo da [tex]0[/tex] ed arrivando a [tex]-\pi/2[/tex].
aspetta un attimo, quindi la pendenza è negativa anche se si tratta di uno zero?
Perchè io sapevo che gli zeri salgono mentre i poli scendono!
"Andre@":
[quote="K.Lomax"]La pendenza è sempre [tex]\frac{\pi}{4}/{dec}[/tex], partendo da [tex]0[/tex] ed arrivando a [tex]-\pi/2[/tex].
aspetta un attimo, quindi la pendenza è negativa anche se si tratta di uno zero?
Perchè io sapevo che gli zeri salgono mentre i poli scendono![/quote]
Prova a sostituire $s=jw$ in $(1+s)$ ed in $(1-s)$ e dopo vai a studiarne la fase.
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