Decibel e decadi
Data la funzione di trasferimento $H(s) = \frac{4.85}{(1+s/20)(s^2/33+s/11+1)}$
si ricava che il guadagno è $\mu = 4.85$ che corrisponde a $14dB$ circa.
Vi è poi un termine binomio con pulsazione di rottura $w_1 = 20$ e un termine trinomio con pulsazione $w_n = 5$
Ho effettuato alcune approssimazioni su questi valori, ma non è importante: la domanda non riguarda la correttezza o meno del diagramma di Bode.
Faccio quindi un primo schizzo del diagramma dei moduli:
Ogni unità sull'asse delle ordinate corrisponde a 2 decibel
Il tratto costante di $14dB$ è dovuto proprio al guadagno.
Giunti alla pulsazione di rottura $w_n = 5$ iniziamo a perdere $40dB$ ogni decade.
Questo vuol dire che alla decade dopo, ovvero a $w = 50$, ci ritroveremo a $14-40 = -26dB$
Ma prima di giungere a $w = 50$, però, incontriamo l'altra pulsazione di rottura, ovvero $w_1 = 20$.
La domanda è: quanti decibel abbiamo perso fino a questo punto?
Graficamente, come si può vedere, in $w = 20$ siamo a quota $-10dB$
Ma se volessi ricavare questo valore analiticamente?
Mi sono servito del seguente calcolo:
Se dopo 1 decade ($1 = log_{10}10$) perdo $40dB$, dopo $0.85$ decadi ($0.85 = log_{10}7$) quanto perdo?
Perdo $40dB \cdot log_{10}7 = 34dB$ quindi in $w = 20$ dovrei trovarmi a $14 - 34 = -20dB$
Ma ovviamente questo va in contraddizione con il grafico (che risulta comunque corretto, dopo una veloce verifica con Matlab)
Qual è il problema?
Grazie in anticipo!
si ricava che il guadagno è $\mu = 4.85$ che corrisponde a $14dB$ circa.
Vi è poi un termine binomio con pulsazione di rottura $w_1 = 20$ e un termine trinomio con pulsazione $w_n = 5$
Ho effettuato alcune approssimazioni su questi valori, ma non è importante: la domanda non riguarda la correttezza o meno del diagramma di Bode.
Faccio quindi un primo schizzo del diagramma dei moduli:
Ogni unità sull'asse delle ordinate corrisponde a 2 decibel
Il tratto costante di $14dB$ è dovuto proprio al guadagno.
Giunti alla pulsazione di rottura $w_n = 5$ iniziamo a perdere $40dB$ ogni decade.
Questo vuol dire che alla decade dopo, ovvero a $w = 50$, ci ritroveremo a $14-40 = -26dB$
Ma prima di giungere a $w = 50$, però, incontriamo l'altra pulsazione di rottura, ovvero $w_1 = 20$.
La domanda è: quanti decibel abbiamo perso fino a questo punto?
Graficamente, come si può vedere, in $w = 20$ siamo a quota $-10dB$
Ma se volessi ricavare questo valore analiticamente?
Mi sono servito del seguente calcolo:
Se dopo 1 decade ($1 = log_{10}10$) perdo $40dB$, dopo $0.85$ decadi ($0.85 = log_{10}7$) quanto perdo?
Perdo $40dB \cdot log_{10}7 = 34dB$ quindi in $w = 20$ dovrei trovarmi a $14 - 34 = -20dB$
Ma ovviamente questo va in contraddizione con il grafico (che risulta comunque corretto, dopo una veloce verifica con Matlab)
Qual è il problema?
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao,
non capisco perché leghi i 20 rad/s allo 0,85 di una decade.
Per calcolare l’ordinata a 20 rad/s farei come una semplice retta:
14-40*(log10(20)-log10(5))/(log10(50)-log10(5))=14-40*0,6021/1=14-24,08=-10,08, come nel grafico.
non capisco perché leghi i 20 rad/s allo 0,85 di una decade.
Per calcolare l’ordinata a 20 rad/s farei come una semplice retta:
14-40*(log10(20)-log10(5))/(log10(50)-log10(5))=14-40*0,6021/1=14-24,08=-10,08, come nel grafico.
"Thememe1996":
non capisco perché leghi i 20 rad/s allo 0,85 di una decade
Considera una decade:
Se sto su $w = 1$ ho percorso $log_{10}1 = 0$ decadi
Se sto su $w = 2$ ho percorso $log_{10}2 = 0.3$ decadi
Se sto su $w = 3$ ho percorso $log_{10}3 = 0.48$ decadi
Se sto su $w = 4$ ho percorso $log_{10}4 = 0.602$ decadi
...
Se sto su $w = 7$ ho percorso $log_{10}7 = 0.85$ decadi
...
Se sto su $w = 10$ ho percorso $log_{10}10 = 1$ decade
Poi considera la banale proporzione $40dB : 1 \text{ decade} = x : 0.85 \text{ decadi}$ e ottieni banalmente $40 \cdot 0.85 = 34$ quindi $14-34 = 20$
Questo è stato il mio ragionamento...
Nella formula che hai proposto hai praticamente fatto una cosa simile, ovvero $40 \cdot 0.602$ che se guardi su corrisponde proprio a $40 \cdot log_{10}4$!!!
Questa cosa mi ha incuriosito e, non volendo abbandonare del tutto il mio ragionamento, mi ha portato a notare che...
Tra 2 e 5 ci passano proprio $0.602$ decadi!
Ma allora ho ragione se dico che il mio ragionamento iniziale non era sbagliato, ma bisognava "contare" all'interno della stessa decade (2-5) senza "oltrepassare" la successiva (5-20)?
La procedura che hai descritto a fine messaggio è corretta: sapendo l’aumento/diminuzione di dB a decade, puoi calcolare la variazione dopo una certa frazione di decade con una proporzionalità diretta tra dB e frazione di decade.
Continuo però a non capire perché leghi 0,85 ai 20 rad/s. Se non erro, lo 0,85 della decade 5-50 sono 35 rad/s.
Continuo però a non capire perché leghi 0,85 ai 20 rad/s. Se non erro, lo 0,85 della decade 5-50 sono 35 rad/s.
"Thememe1996":
La procedura che hai descritto a fine messaggio è corretta: sapendo l’aumento/diminuzione di dB a decade, puoi calcolare la variazione dopo una certa frazione di decade con una proporzionalità diretta tra dB e frazione di decade.
Ok, in questo caso è da 5 a 20 (e io tengo conto della distanza "locale" tra 5 e 2)
Ma se fosse stato da 5 a 200 avrei dovuto considerare il doppio di quanto ottenuto?
Riprendendo la formula che avevo usato, al numeratore avevo log10(20)-log10(5), che si può anche riscrivere come log10(20/5)=log10(4).
Nel caso da 5 rad/s a 200 rad/s avresti log10(200)-log10(5)=log10(200/5)=log10(40)=log10(4*10)=log10(4)+log10(10)=log10(4)+1.
Nel caso da 5 rad/s a 200 rad/s avresti log10(200)-log10(5)=log10(200/5)=log10(40)=log10(4*10)=log10(4)+log10(10)=log10(4)+1.
E il denominatore a che serviva nella formula? Per considerare una decade? Ma a quel punto non basta porlo sempre pari a 1 (quindi ometterlo)?
P.S.: Se volessi andare da 0.5 a 2 rad/s, con la tua formula verrebbe un valore negativo.
Dunque $14-40* \abs{log_{10}(0.5/2)}$ no?
P.S.: Se volessi andare da 0.5 a 2 rad/s, con la tua formula verrebbe un valore negativo.
Dunque $14-40* \abs{log_{10}(0.5/2)}$ no?
Sì, ho scritto la formula nella maniera più generica possibile, perché sono 40 dB ogni decade, che essendo scritta col logaritmo fa 1 e si può omettere.
Per il diagramma di Bode che hai, l’andamento lineare è solo da 5 rad/s in poi, prima vale sempre 14 dB. Quindi anche a 0,5 rad/s e 2 rad/s.
Per il diagramma di Bode che hai, l’andamento lineare è solo da 5 rad/s in poi, prima vale sempre 14 dB. Quindi anche a 0,5 rad/s e 2 rad/s.
"Thememe1996":
Per il diagramma di Bode che hai, l’andamento lineare è solo da 5 rad/s in poi, prima vale sempre 14 dB. Quindi anche a 0,5 rad/s e 2 rad/s.
Nono, non mi riferivo a questo generico diagramma di Bode ma in linea generale, meglio porre quel logaritmo dentro un valore assoluto no?
Per un caso generico in cui hai un coefficiente angolare m [dB/decade], ti trovi alla pulsazione ω0 [rad/s] che ha un valore delle ordinate y0 [dB], il valore delle ordinate y [dB] alla pulsazione ω [rad/s] è dato da:
y=y0+m*log10(ω/ω0)
La formula è già pronta per essere usata per ogni casistica: se la pendenza è positiva, m>0, e se la pulsazione è maggiore di ω0 allora otterrai y>y0, altrimenti otterrai yy0 per una pulsazione minore di ω0, ed un valore minore di y0 per ω>ω0.
y=y0+m*log10(ω/ω0)
La formula è già pronta per essere usata per ogni casistica: se la pendenza è positiva, m>0, e se la pulsazione è maggiore di ω0 allora otterrai y>y0, altrimenti otterrai y
Grazie 
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