[Costruzione di macchine] Cilindro saldato ad un rotore
Ciao a tutti, vi riporto il testo dell'esercizio in questione:
Una delle due estremità di un tubo viene saldata sulla superficie cilindrica di un rotore infinitamente rigido di raggio $ R $ , fissando il tubo in modo che il suo asse sia disposto nella direzione radiale del rotore .
Si calcoli il massimo valore che può assumere lo spostamento assiale $ u $ di una generica sezione retta del tubo e la massima tensione di trazione $ sigma_N $ presente nel tubo quando il rotore viene animato dalla velocità di rotazione di $ n $ giri/minuto.
Il tubo ha diametro esterno $ d $ , spessore $ s $, lunghezza $ L $, densità $ rho $ e modulo di Young $ E $ noti.
Non riesco a capire come impostare la risoluzione. Il tubo è soggetto alla sola forza centrifuga $ rhoomega^2r $ , ma guardando il risultato dell'esercizio non riesco a capire come arrivarci.
Pensando ad un tubo che ruota attorno al proprio asse uso solitamente questa $ (dsigma_r)/(dr)+(sigma_r-sigma_vartheta)/r+rhoomega^2r=0 $ , dove riesco a semplificare $sigma_r$ in quanto il tubo è soggetto solo a forza centrifuga.
Non capisco come poter adattare la formula, ammesso che si debba usare questa, al problema in questione.
Potete aiutarmi?
Grazie in anticipo
Una delle due estremità di un tubo viene saldata sulla superficie cilindrica di un rotore infinitamente rigido di raggio $ R $ , fissando il tubo in modo che il suo asse sia disposto nella direzione radiale del rotore .
Si calcoli il massimo valore che può assumere lo spostamento assiale $ u $ di una generica sezione retta del tubo e la massima tensione di trazione $ sigma_N $ presente nel tubo quando il rotore viene animato dalla velocità di rotazione di $ n $ giri/minuto.
Il tubo ha diametro esterno $ d $ , spessore $ s $, lunghezza $ L $, densità $ rho $ e modulo di Young $ E $ noti.
Non riesco a capire come impostare la risoluzione. Il tubo è soggetto alla sola forza centrifuga $ rhoomega^2r $ , ma guardando il risultato dell'esercizio non riesco a capire come arrivarci.
Pensando ad un tubo che ruota attorno al proprio asse uso solitamente questa $ (dsigma_r)/(dr)+(sigma_r-sigma_vartheta)/r+rhoomega^2r=0 $ , dove riesco a semplificare $sigma_r$ in quanto il tubo è soggetto solo a forza centrifuga.
Non capisco come poter adattare la formula, ammesso che si debba usare questa, al problema in questione.
Potete aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
Ma questo non e' un tubo che ruota attorno al proprio asse.
E' un tubo che ruota attorno a un cilindro, e la forza centrifuga agisce assialmente.
Lo stato di tensione assiale e' $sigma=sigma_0-1/2rhoomega^2x^2$ con $sigma_0=rhoomega^2L^2/2$
e ovviamente $epsilon(x)=[sigma(x)]/E$ con le condizioni al contorno da determinarsi
E' un tubo che ruota attorno a un cilindro, e la forza centrifuga agisce assialmente.
Lo stato di tensione assiale e' $sigma=sigma_0-1/2rhoomega^2x^2$ con $sigma_0=rhoomega^2L^2/2$
e ovviamente $epsilon(x)=[sigma(x)]/E$ con le condizioni al contorno da determinarsi
"professorkappa":
Ma questo non e' un tubo che ruota attorno al proprio asse.
E' un tubo che ruota attorno a un cilindro, e la forza centrifuga agisce assialmente.
Lo stato di tensione assiale e' $sigma=sigma_0-1/2rhoomega^2x^2$ con $sigma_0=rhoomega^2L^2/2$
e ovviamente $epsilon(x)=[sigma(x)]/E$ con le condizioni al contorno da determinarsi
Sì lo so che non è tubo rotante attorno al proprio asse, era solo un memo per cercare di capire se la formula da adattare al problema in questione potesse essere quella o meno.
Il fenomeno l'ho capito, ma come giungo all'espressione della tensione assiale che hai scritto tu?
Messo così sembra il risultato di un integrale o sbaglio?
Grazie ancora
Semplicemente affettando il tubo come un salame con fettine di spessore dx.
Se l'asse x e' verso dx, con origine nel centro del tamburo, una generica fettina risente della forza F sulla sezione di sx (rivolta verso sx) e di F+dF nella sezione di dx (rivolta verso dx), a cui va aggiunta $dmomega^2(x+R)$ che e' la forza centrifuga agente sull elementino di massa dm.
Per l'equilibrio:
$F+dF-F+dmomega^2(x+R)$
Siccome $dm=rhodV=rhoAdx$, e $sigma=F/A$, per sostituzione
$dsigma+rhoomega^2(x+R)dx=0$
$sigma(x)=-intrhoAomega^2(x+R)dx+C$
La costante la trovi in 2 modi: (1) imponendo che $sigma(R+L) =0$ (l'estremita' e' ovviamente scarica) oppure (2) integri la forza centrifuga su L per ottenere la forza centrifuga totale $F_c$ agente su tutto il tubo e sara' ovviamente $sigma(R)=F_c/A$, perche la sezione di saldatura deve resistere a tutta la forza centrifuga.
Lo spostamento $u(x)$ lo trovi integrando: $u(x)=intepsilon(x)=1/Eintsigma(x)dx+C1$, reimponendo, per trovare C1, che u(R)=0$, poiche la sezione a x=R non si muove (il disco e' rigido)
Se l'asse x e' verso dx, con origine nel centro del tamburo, una generica fettina risente della forza F sulla sezione di sx (rivolta verso sx) e di F+dF nella sezione di dx (rivolta verso dx), a cui va aggiunta $dmomega^2(x+R)$ che e' la forza centrifuga agente sull elementino di massa dm.
Per l'equilibrio:
$F+dF-F+dmomega^2(x+R)$
Siccome $dm=rhodV=rhoAdx$, e $sigma=F/A$, per sostituzione
$dsigma+rhoomega^2(x+R)dx=0$
$sigma(x)=-intrhoAomega^2(x+R)dx+C$
La costante la trovi in 2 modi: (1) imponendo che $sigma(R+L) =0$ (l'estremita' e' ovviamente scarica) oppure (2) integri la forza centrifuga su L per ottenere la forza centrifuga totale $F_c$ agente su tutto il tubo e sara' ovviamente $sigma(R)=F_c/A$, perche la sezione di saldatura deve resistere a tutta la forza centrifuga.
Lo spostamento $u(x)$ lo trovi integrando: $u(x)=intepsilon(x)=1/Eintsigma(x)dx+C1$, reimponendo, per trovare C1, che u(R)=0$, poiche la sezione a x=R non si muove (il disco e' rigido)
"professorkappa":
Semplicemente affettando il tubo come un salame con fettine di spessore dx.
Se l'asse x e' verso dx, con origine nel centro del tamburo, una generica fettina risente della forza F sulla sezione di sx (rivolta verso sx) e di F+dF nella sezione di dx (rivolta verso dx), a cui va aggiunta $dmomega^2(x+R)$ che e' la forza centrifuga agente sull elementino di massa dm.
Per l'equilibrio:
$F+dF-F+dmomega^2(x+R)$
Siccome $dm=rhodV=rhoAdx$, e $sigma=F/A$, per sostituzione
$dsigma+rhoomega^2(x+R)dx=0$
$sigma(x)=-intrhoAomega^2(x+R)dx+C$
La costante la trovi in 2 modi: (1) imponendo che $sigma(R+L) =0$ (l'estremita' e' ovviamente scarica) oppure (2) integri la forza centrifuga su L per ottenere la forza centrifuga totale $F_c$ agente su tutto il tubo e sara' ovviamente $sigma(R)=F_c/A$, perche la sezione di saldatura deve resistere a tutta la forza centrifuga.
Lo spostamento $u(x)$ lo trovi integrando: $u(x)=intepsilon(x)=1/Eintsigma(x)dx+C1$, reimponendo, per trovare C1, che u(R)=0$, poiche la sezione a x=R non si muove (il disco e' rigido)
Ok ho provato a svolgere i calcoli.
Parto dall'espressione della tensione assiale:
$ sigma(x)=-intrhoomega^2(x+R)dx+c=-rhoomega^2x^2/2 -rhoomega^2xR+c $
A questo punto calcolo la costante con la condizione $ sigma(R+L)=0 $
$ sigma(R+L)=0 rArr -(rhoomega^2)/2(R+L)^2-rhoomega^2(R+L)R+c=0 rArr ...rArr c=(rhoomega^2)/2(L^2+4RL+3R^2) $
Perciò l'espressione della tensione assiale risulta: $sigma(x)=-rhoomega^2x^2/2 -rhoomega^2xR+(rhoomega^2)/2(L^2+4RL+3R^2)$
La seconda richiesta dell'esercizio è trovare la massima tensione assiale, che si trova alla base del cilindro, perciò:
$ sigma(R)=-rhoomega^2R^2/2 -rhoomega^2R^2+(rhoomega^2)/2(L^2+4RL+3R^2)=> sigma(R)=(rhoomega^2)/2(L^2+4RL) $
Il risultato che ho, però, sul testo è il seguente: $ sigma(R)=(rhoomega^2)/2(L^2+2RL) $
Prima di proseguire con lo spostamento vorrei capire: ho fatto qualche errore di calcolo o di impostazione?
Grazie mille
Errore di impostazione (lo hai fatto perche' hai seguito la mia impostazione, che ho fatto a mente, sbagliando gli estremi di integrazione).
Con l'origine di x nel centro del disco:
$sigma (x) = -rhoomega^2/x^2+C$
La condizione per trovare C e' $sigma(R+L)=0$
La tensione massima e' in $x=R$
Con l'origine di x nel centro del disco:
$sigma (x) = -rhoomega^2/x^2+C$
La condizione per trovare C e' $sigma(R+L)=0$
La tensione massima e' in $x=R$
"professorkappa":
Errore di impostazione (lo hai fatto perche' hai seguito la mia impostazione, che ho fatto a mente, sbagliando gli estremi di integrazione).
Con l'origine di x nel centro del disco:
$sigma (x) = -rhoomega^2/x^2+C$
La condizione per trovare C e' $sigma(R+L)=0$
La tensione massima e' in $x=R$
Ok, allora così:
$ sigma(x)=intrhoomega^2xdx=rhoomega^2x^2/2+c $
Segue: $ sigma(R+L)=0=>-(rhoomega^2)/2(R+L)^2+c=0=>c=(rhoomega^2)/2(L^2+2RL+R^2) $
Perciò: $ sigma(x)=rhoomega^2x^2/2+ (rhoomega^2)/2(L^2+2RL+R^2)$
La massima tensione assiale sarà: $ sigma(R)=-(rhoomega^2)/2R^2+(rhoomega^2)/2(L^2+2RL+R^2)=>sigma(R)=(rhoomega^2)/2(L^2+2RL) $
Procedo con lo spostamento:
$ u(x)=intepsilon(x)dx=1/Eintsigma(x)dx=1/E(-(rhoomega^2)/6x^3+(rhoomega^2)/2(L^2+2RL+L^3)x) +c_1$
Visto che: $u(R)=0=>c_1= u(x)=1/E(-(rhoomega^2)/6x^3+(rhoomega^2)/2(L^2+2RL+L^3)x -(rhoomega^2)/(6E)(2R^3+6R^2L+3RL^2)
) $
Infine, il massimo spostamento assiale sara: $ u(R+L)=(rhoomega^2L^2)/(6E)(2L^2+3RL) $
Ho omesso volutamente tutti i passaggi algebrici, altrimenti ci avrei messo una vita a ricopiarli dal foglio xD
Comunque ora i risultati tornano, sei stato gentilissimo, era banale, ma non riuscivo a venirne a capo...
Grazie molte davvero
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