Convoluzione

[C1CC1LL0]

Salve a tutti. Mi sto esercitando per l'esame di teoria dei segnali e ho il seguente dubbio riguardo la convoluzione. Ho fatto molti esercizi sulla convoluzione e nonostante abbia capito il meccanismo, ora mi è capitato questo esercizio che mi ha disorientato un po'. Dunque, nell'esercizio vengono dati due segnali in forma grafica da convolvere (uno è una rect un'altro è una tri con attaccato qualcosìaltro..). Fin qui nessun problema. Il punto è che la convoluzione è scritta nella seguente forma: y(t)=x(2t)*h(t/2). Vorrei sapere cosa cambia rispetto alla classica forma che ho incontrato sempre negli esercizi passati, cioè: y(t)=x(t)*h(t).
Grazie a tutti per le risposte!

[Ska1]

È come scrivere $y(t) = v(t) \star w(t)$ con $v(t) = x(2t)$ e $w(t) = h(t/2)$, in pratica la convoluzione è tra la versione compressa di $x$ di fattore $2$ e la versione dilatata di $h$ sempre di fattore $2$. Una volta che hai calcolato le versioni trasformate dei segnali, la convoluzione è tra questi due nuovi segnali.

[C1CC1LL0]

Ciao Ska, molte grazie per la risposta, ma mi ero dimenticato (chiedo scusa per questo) una cosa fondamentale, cioè che l'esercizio chiede la convoluzione nel dominio del tempo, quindi non mi salvo trasformando purtroppo..

[Ska1]

Conoscendo $v$ e $w$, $y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} v(\tau) w(t-\tau) d\tau$, questo significa prendere $v,w$ e considerarli come segnali nella variabile $\tau$, ribaltare e traslare in $t$ $w$ e costruire il risultato come l'area sottesa al segnale prodotto tra $v$ e la versione traslata di $w$.

[C1CC1LL0]

ok, chiaro. ma come ci si comporta avendo a che fare con un dominio temporale di un segnale dilatato e quello di un altro compresso quando si deve traslare e integrare? so, che per meglio rendere capibile quello che voglio dire dovrei postare il grafico di come sono fatti i segnali ma non sono capace

[Ska1]

Ti disegni i grafici dei due segnali modificati (il primo compresso, il secondo dilatato) e poi fai la convoluzione tra questi due "nuovi" segnali, dimenticandoti che sono versioni compresse/dilatate dei tuoi due segnali di partenza

[C1CC1LL0]

Dunque, i grafici di x(t) e h(t) li dà già l'esercizio. Dice poi di convolverli così y(t)=x(2t)*h(t/2). In termini pratici, uno dei due segnali h(t) è una rect ribaltata di base 2 unità temporali. L'altro è un segnale più articolato con una base di 4 unità temporali. Essendo già disegnati come li modifico? Forse devo modificare i grafici e moltiplicare per 2 la base di h(t) portandola a 4 unità temporali e dividere per due la base di x(t) portandola a 2 unità temporali al fine di poter convolvere su un asse comune normalizzato dei tempi t?

[Ska1]

Allora... se ti viene detto $v(t) = x(2t)$ vuol dire che $v$ è come $x$ con asse compresso di fattore $2$. Se $x(t) = rect(t -6)$, allora $v(t) = x(2t) = rect(2t -6) = rect(2(t-3)) = rect({t-3}/{1/2})$ cioè un rect centrato in $t_0=3$ e largo $1/2$. Cosa analoga la fai per l'altro segnale, una volta che hai il grafico o equivalentemente l'espressione analitica di $v$ e $w$, il tuo problema si riduce alla classica convoluzione $v(t)\star w(t)$ in cui hai già risolto i legami con $x$ e $h$ proprio perchè hai calcolato $v$ e $w$.

[C1CC1LL0]

Grazie veramente, ora non ho più dubbi!