Convoluzione
Ciao a tutti!
Chi mi aiuta con questa convoluzione?
usando la definizione di convoluzione ottengo
Ma perchè non va il codice?
Integrale da meno infinito a più infinito di
Ma dopo come si procede?
Chi mi aiuta con questa convoluzione?
1(t-2)*1(t)
usando la definizione di convoluzione ottengo
\int (1(t-2- \tau) x 1(\ tau))
Ma perchè non va il codice?
Integrale da meno infinito a più infinito di
1(t-2- \tau)x
1(\tau)
Ma dopo come si procede?
Risposte
Con $1(t)$ intendi la Heaviside?
In tal caso hai l'integrale
f(t)=$\int 1(t-2-\tau)1(\tau)d\tau$
la prima cosa che puoi osservare e' che per $\tau<0$ l'integrale si annulla.
Allora si verificano due casi
1) per $t<2$ hai $1(t-2-\tau)$=0 e quindi f(t)=0
2) per $t>2$ hai che si riduce a $f(t)=\int_2^t 1 d\tau=t-2$
quindi il risultato e' una rampa con pendenza uno che parte da 2
Ovviamente la soluzione puo' anche essere trovata col metodo grafico, o con le trasformate di Fourier
In tal caso hai l'integrale
f(t)=$\int 1(t-2-\tau)1(\tau)d\tau$
la prima cosa che puoi osservare e' che per $\tau<0$ l'integrale si annulla.
Allora si verificano due casi
1) per $t<2$ hai $1(t-2-\tau)$=0 e quindi f(t)=0
2) per $t>2$ hai che si riduce a $f(t)=\int_2^t 1 d\tau=t-2$
quindi il risultato e' una rampa con pendenza uno che parte da 2
Ovviamente la soluzione puo' anche essere trovata col metodo grafico, o con le trasformate di Fourier
"AMs":
Con $ 1(t) $ intendi la Heaviside?
In tal caso hai l'integrale
f(t)=$ \int 1(t-2-\tau)1(\tau)d\tau $
la prima cosa che puoi osservare e' che per $ \tau<0 $ l'integrale si annulla.
Allora si verificano due casi
1) per $ t<2 $ hai $ 1(t-2-\tau) $=0 e quindi f(t)=0
2) per $ t>2 $ hai che si riduce a $ f(t)=\int_2^t 1 d\tau=t-2 $
quindi il risultato e' una rampa con pendenza uno che parte da 2
Ovviamente la soluzione puo' anche essere trovata col metodo grafico, o con le trasformate di Fourier
Si quella intendo!
Ok, se $\tau < 0$ si annulla, perché è causale giusto?
ma perché quelle considerazioni su $t$?
per $ t<2 $ per esempio $t=1$ ottengo $ 1(-1-\tau) $perché è $=0$?
E perchè $ t>2 $ si riduce a $ f(t)=\int_2^t 1 d\tau=t-2 $
Le considerazioni nascono facendo tutta la casistica.
Tu sai che l'integrale per essere non nullo entrambe le Heaviside devono avere argomento >0.
La cosa piu' semplice e' osservare che deve per forza valere $\tau>0$.
Per la seconda Heaviside invece deve valere $t-\tau-2>0$.
Variando t, si hanno quindi i seguenti casi:
1) per $t<2$, essendo $\tau>0$ e' immediato vedere che una Heaviside ha argomento $t-2-\tau<0$, e quindi che l'integranda e' nulla.
2) per $t>2$, l'integranda e' non nulla per $\tau
Ora magari penserai, che ho saltano 1000 passaggi e che ti stavo dando la soluzione buttata li'
In realta' ero arrivato immediatamente al risultato, perche' avevo fatto a mente il metodo grafico, che se puoi usalo sempre per questi esercizi
Tu sai che l'integrale per essere non nullo entrambe le Heaviside devono avere argomento >0.
La cosa piu' semplice e' osservare che deve per forza valere $\tau>0$.
Per la seconda Heaviside invece deve valere $t-\tau-2>0$.
Variando t, si hanno quindi i seguenti casi:
1) per $t<2$, essendo $\tau>0$ e' immediato vedere che una Heaviside ha argomento $t-2-\tau<0$, e quindi che l'integranda e' nulla.
2) per $t>2$, l'integranda e' non nulla per $\tau
Ora magari penserai, che ho saltano 1000 passaggi e che ti stavo dando la soluzione buttata li'
In realta' ero arrivato immediatamente al risultato, perche' avevo fatto a mente il metodo grafico, che se puoi usalo sempre per questi esercizi
Sei stato chiarissimo grazie mille!
Ma quindi quando faccio una convoluzione, più che risolvere l'integrale devo guardare dove è positiva? Solo se si tratta di gradino di Heaviside o per qualsiasi segnale?
Ma quindi quando faccio una convoluzione, più che risolvere l'integrale devo guardare dove è positiva? Solo se si tratta di gradino di Heaviside o per qualsiasi segnale?
Vedi se è positivo l'argomento solo se si tratta di funzione a gradino, o più in generale funzioni non nulle per argomenti >0 (tipo esponenziale negativa).
Ancora più in generale, devi valutare quando le due funzioni argomento della convoluzione si "sovrappongono". Per capirci meglio, guarda un po' la GIF animata in questa pagina
http://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione
Ancora più in generale, devi valutare quando le due funzioni argomento della convoluzione si "sovrappongono". Per capirci meglio, guarda un po' la GIF animata in questa pagina
http://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione
Ma allora questa convoluzione:
$u(t)=2rect(\frac{t-3}{2})$
$h(t)=e^(-t)1(t)$
$y(t)=e^(-t)1(t) * 2rect(\frac{t-3}{2})$
Quindi ho (un'esponenziale negativa per $t>0$ e 0 altrove) * (un rettangolo di altezza 2 e durata da 2 a 4)
In questo caso come si prosegue?
faccio l'integrale $\int h(t-\tau) u(t)d\tau$
e poi....
$u(t)=2rect(\frac{t-3}{2})$
$h(t)=e^(-t)1(t)$
$y(t)=e^(-t)1(t) * 2rect(\frac{t-3}{2})$
Quindi ho (un'esponenziale negativa per $t>0$ e 0 altrove) * (un rettangolo di altezza 2 e durata da 2 a 4)
In questo caso come si prosegue?
faccio l'integrale $\int h(t-\tau) u(t)d\tau$
e poi....
"AMs":
Con $1(t)$ intendi la Heaviside?
In tal caso hai l'integrale
f(t)=$\int 1(t-2-\tau)1(\tau)d\tau$
la prima cosa che puoi osservare e' che per $\tau<0$ l'integrale si annulla.
Allora si verificano due casi
1) per $t<2$ hai $1(t-2-\tau)$=0 e quindi f(t)=0
2) per $t>2$ hai che si riduce a $f(t)=\int_2^t 1 d\tau=t-2$
quindi il risultato e' una rampa con pendenza uno che parte da 2
Ovviamente la soluzione puo' anche essere trovata col metodo grafico, o con le trasformate di Fourier
Piccolo chiarimento: usando il metodo grafico, come faccio a capire che gli estremi di integrazione sono 2 e t? io avrei messo da 0 a t..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo