[Controllo Digitale]Calcolo dell'uscita a regime
Salve, vi propongo il seguente il quesito di Controllo Digitale: si determini, se possibile, l'uscita a regime del sistema descritto dalla fdt $G(z)=10/(z+4)$ in risposta all'ingresso $x(k)=3*sin(kωT)$, con $ω= 2(rad)/s$ e $T=1s$
Intanto, essendo la $G(z)$ instabile (poiché ha un polo in -4), non è possibile determinare l'uscita. Comunque, al di là di ciò, vorrei sapere (nel caso le condizioni di stabilità fossero rispettate e si potesse procedere al calcolo) come poter determinare tale uscita, visto che l'ingresso è una sequenza di campioni. Penso si possa applicare la convoluzione, tuttavia non esiste qualcosa di più semplice e veloce? Stavo pensando di farmi la Z-trasformata dell'ingresso e poi determinare l'uscita semplicemente come prodotto $Y(z)=G(z)*X(z)$, ma non so se sia possibile e, soprattutto, corretto. Mi farebbe piacere se poteste darmi qualche consiglio! Vi ringrazio!;)
Intanto, essendo la $G(z)$ instabile (poiché ha un polo in -4), non è possibile determinare l'uscita. Comunque, al di là di ciò, vorrei sapere (nel caso le condizioni di stabilità fossero rispettate e si potesse procedere al calcolo) come poter determinare tale uscita, visto che l'ingresso è una sequenza di campioni. Penso si possa applicare la convoluzione, tuttavia non esiste qualcosa di più semplice e veloce? Stavo pensando di farmi la Z-trasformata dell'ingresso e poi determinare l'uscita semplicemente come prodotto $Y(z)=G(z)*X(z)$, ma non so se sia possibile e, soprattutto, corretto. Mi farebbe piacere se poteste darmi qualche consiglio! Vi ringrazio!;)
Risposte
chiaro che puoi,
prendi la funzione $Y(z) = G(z) *Z[x(k)]$ e poi l'antitrasformi. equivale al calcolare la convoluzione nel dominio del tempo
prendi la funzione $Y(z) = G(z) *Z[x(k)]$ e poi l'antitrasformi. equivale al calcolare la convoluzione nel dominio del tempo
Ciao, ti ringrazio immensamente per la risposta! Avevo sentito dire da qualcuno che questo esercizio si dovrebbe svolgere applicando il teorema del valore finale...sinceramente, qui non ne capisco l'utilità. Dici che ha senso?
certo, l'esercizio ti chiede il valore del segnale a regime quindi $lim_k->oo y(k)$
il teorema del valore finale nel caso di sistemi discreti dice
$lim_k->oo y(k) = lim_z->1 (z-1) Y(z)$
sempre che y(k) converga!! altrimenti tale teorema non vale
quindi ancora meglio calcoli come sopra Y(z) fai il limite.
il teorema del valore finale nel caso di sistemi discreti dice
$lim_k->oo y(k) = lim_z->1 (z-1) Y(z)$
sempre che y(k) converga!! altrimenti tale teorema non vale
quindi ancora meglio calcoli come sopra Y(z) fai il limite.
Ciao, grazie ancora per le spiegazioni! Vero, mi ero dimenticato che volesse l'uscita a regime (e l'avevo anche scritto! Solita distrazione...), quindi ecco il th del valore finale. Comunque ho notato che il prof si attiene molto al libro di testo, sul quale è riportato, nel paragrafo relativo alla funzione di risposta armonica, che, data una $G(z)$ ed un ingresso sinusoidale del tipo $sin(kωT)$, la risposta a regime di tale sistema è (ovviamente) ancora una sinusoide del tipo $A*sin(kωT+φ)$, dove $A=|G(e^(jωT))|$ e $φ=arg[G(e^(jωT))]$. Quindi, Z-trasformando l'espressione precedente, si può esprimere l'uscita come $Y(z)=Y0(z)+(|G(e^(jωT))|/(2j))*((e^(jφ)*z)/(z-e^(jωT))-(e^(-jφ)*z)/(z-e^(-jωT)))$, dove $Y0(z)$ è un termine transitorio e si annulla asintoticamente, quindi all'espressione rimanente applico il valore finale e ricavo l'uscita a regime. Va anche bene in questa maniera il procedimento?:)
si, la funzione di risposta armonica però ha senso se l'impianto è asintoticamente stabile e se esiste la trasformata di fourier dell'ingresso.
comunque è ricavabile dal procedimento generale di prima.
non ho seguito i calcoli che hai fatto per Y(z), hai trasformato la sinusiode in esponenziali e poi gli hai trasformati? potev usare la trasformata del seno.
comunque in genere se hai un ingresso sinusoidale usa semplicemente la risposta armonica, ma è essenziale capire i procedimenti generali.
comunque una volta che sai la f di risposta armonica, ogni volta che hai un segnale anche complesso che è trasformabile secondo fourier lo puoi scomporre in armoniche, per ogni armonica sai che passare per l'impianto significa che subirà un'amplificazione pari al modulo della fdt alla frequenza sua e uno sfasamento pari alla fase della fdt, cioè la risposta adogni armonica sinusoidale a pulsazione $omega_i$ e ampiezza A è $Y_i = |G(jomega_i)|*A sin (omega_i t + a r g (G(j omega_i)) )$ dunque calcolata la risposta ad ogni armonica per il principio di sovrapposizione la risposta al segnale totale sarà la somma delle risposte alle singole armoniche (antitrasformata)
comunque è ricavabile dal procedimento generale di prima.
non ho seguito i calcoli che hai fatto per Y(z), hai trasformato la sinusiode in esponenziali e poi gli hai trasformati? potev usare la trasformata del seno.
comunque in genere se hai un ingresso sinusoidale usa semplicemente la risposta armonica, ma è essenziale capire i procedimenti generali.
comunque una volta che sai la f di risposta armonica, ogni volta che hai un segnale anche complesso che è trasformabile secondo fourier lo puoi scomporre in armoniche, per ogni armonica sai che passare per l'impianto significa che subirà un'amplificazione pari al modulo della fdt alla frequenza sua e uno sfasamento pari alla fase della fdt, cioè la risposta adogni armonica sinusoidale a pulsazione $omega_i$ e ampiezza A è $Y_i = |G(jomega_i)|*A sin (omega_i t + a r g (G(j omega_i)) )$ dunque calcolata la risposta ad ogni armonica per il principio di sovrapposizione la risposta al segnale totale sarà la somma delle risposte alle singole armoniche (antitrasformata)
Tutto chiaro, come sempre sei esauriente e gentilissimo! Ho visto un po' di tracce di appelli passati e, quando capitava questa tipologia di esercizio, l'ingresso era sempre o una sinusoide oppure una cosinusoide. Inoltre la maggior parte delle volte era una domanda a trabocchetto, perché il sistema era instabile, quindi non aveva senso calcolare l'uscita a regime. Un'ultima cosa: nei calcoli, che ho riportato pari pari dal libro, quel termine $Y0(z)$ che dice essere "un termine transitorio che si annulla asintoticamente" non lo devo considerare nei calcoli, vero? Cioè, lo pongo pari a zero?
risposta= risposta libera + risposta forzata
quel y(0) è la risposta che dipende dalle condizioni iniziali. è la risposta libera e se il sistema è asintoticamente instabile allora dopo un po arriverà a zero, se invece il sistema è stabile resterà costante se è instabile divergerà.
se devi considerare la sola risposta forzata allora non devo considerarlo poichè non fa parte di questa
se devi considerare una risposta generica ricorda che per un sistema lineare puoi considerare le due risposte separatamente e poi sommarle per ottenre quella totale, ergo i calcoli sulla risposta forzata yf(t) (quella dovuta all'ingresso) li fai con y(0)=0 e poi y(t) = y(0) + yf(t)
quel y(0) è la risposta che dipende dalle condizioni iniziali. è la risposta libera e se il sistema è asintoticamente instabile allora dopo un po arriverà a zero, se invece il sistema è stabile resterà costante se è instabile divergerà.
se devi considerare la sola risposta forzata allora non devo considerarlo poichè non fa parte di questa
se devi considerare una risposta generica ricorda che per un sistema lineare puoi considerare le due risposte separatamente e poi sommarle per ottenre quella totale, ergo i calcoli sulla risposta forzata yf(t) (quella dovuta all'ingresso) li fai con y(0)=0 e poi y(t) = y(0) + yf(t)
A me serve solo quella forzata, quindi il termine libero non lo considero proprio. Grazie infinite per tutto, sei stato davvero gentilissimo, chiaro e preciso! Grazie, davvero!;)
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