[CONTROLLI AUTOMATICI] Vari esercizi (prova d'esame)
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di una mano.. non riesco a risolvere alcuni esercizi di questa prova d'esame. A parte l'esercizio 5 (diagramma di Bode) e la prima parte dell'esercizio 2 (risposta indiciale), non so come impostare gli esercizi.
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
Grazie
Ecco la prova:
Avrei bisogno di una mano.. non riesco a risolvere alcuni esercizi di questa prova d'esame. A parte l'esercizio 5 (diagramma di Bode) e la prima parte dell'esercizio 2 (risposta indiciale), non so come impostare gli esercizi.
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
Grazie
Ecco la prova:
Risposte
Ti indico solo la strada per risolvere gli esercizi:
$ 1) $ Usa la trasformazione di Laplace;
$ 2) $ Usa la trasformazione di Laplace e ricorda come si può anche definire la risposta impulsiva di un sistema;
$ 3) $ La stabilità di un sistema dipende dalla natura dei poli della sua fdt; quindi trasforma con Laplace l'equazione differenziale...;
$ 4) $ E' un esercizio di sintesi dove ti viene assegnata una specifica sulla sovraelongazione ( ricorda a cosa è legata ) e il valore di regime della risposta indiciale dello stesso;
$ 5) $ Devi disegnare i diagrammi di Bode!;
$ 6)$ Avendo la fdt di un sistema del primo ordine, puoi calcolarti la risposta indiciale del sistema e da li il tempo di salita
$ 1) $ Usa la trasformazione di Laplace;
$ 2) $ Usa la trasformazione di Laplace e ricorda come si può anche definire la risposta impulsiva di un sistema;
$ 3) $ La stabilità di un sistema dipende dalla natura dei poli della sua fdt; quindi trasforma con Laplace l'equazione differenziale...;
$ 4) $ E' un esercizio di sintesi dove ti viene assegnata una specifica sulla sovraelongazione ( ricorda a cosa è legata ) e il valore di regime della risposta indiciale dello stesso;
$ 5) $ Devi disegnare i diagrammi di Bode!;
$ 6)$ Avendo la fdt di un sistema del primo ordine, puoi calcolarti la risposta indiciale del sistema e da li il tempo di salita
"D4lF4zZI0":
Ti indico solo la strada per risolvere gli esercizi:
$ 1) $ Usa la trasformazione di Laplace;
$ 2) $ Usa la trasformazione di Laplace e ricorda come si può anche definire la risposta impulsiva di un sistema;
$ 3) $ La stabilità di un sistema dipende dalla natura dei poli della sua fdt; quindi trasforma con Laplace l'equazione differenziale...;
$ 4) $ E' un esercizio di sintesi dove ti viene assegnata una specifica sulla sovraelongazione ( ricorda a cosa è legata ) e il valore di regime della risposta indiciale dello stesso;
$ 5) $ Devi disegnare i diagrammi di Bode!;
$ 6)$ Avendo la fdt di un sistema del primo ordine, puoi calcolarti la risposta indiciale del sistema e da li il tempo di salita
Grazie per la risposta.
Allora, il 5 lo so fare, non è un problema. Del 2 non so come fare la rappresentazione grafica qualitativa.
Mi ero dimenticato di scriverlo, ma anche il 6 lo so fare. Ho solo un dubbio sull'antitrasformata...
Domani posto le mie risoluzione (adesso non le ho sottomano).
"D4lF4zZI0":
Ti indico solo la strada per risolvere gli esercizi:
$ 1) $ Usa la trasformazione di Laplace;
$ 2) $ Usa la trasformazione di Laplace e ricorda come si può anche definire la risposta impulsiva di un sistema;
$ 3) $ La stabilità di un sistema dipende dalla natura dei poli della sua fdt; quindi trasforma con Laplace l'equazione differenziale...;
$ 4) $ E' un esercizio di sintesi dove ti viene assegnata una specifica sulla sovraelongazione ( ricorda a cosa è legata ) e il valore di regime della risposta indiciale dello stesso;
$ 5) $ Devi disegnare i diagrammi di Bode!;
$ 6)$ Avendo la fdt di un sistema del primo ordine, puoi calcolarti la risposta indiciale del sistema e da li il tempo di salita
Sto provando a fare l'es 6 ma ho dei problemi quando vado a calcolarmi il tempo di risalita.
Di seguito ho postato la prima parte della risoluzione che spero sia corretta.
Poi quando vado a porre w-1(t)=0,9 ho dei problemi nel calcolo in quanto ottengo e^(-t)=-0,8
EDIT:
Questa invece la risoluzione dell'esercizio 2. La rappresentazione grafica qualitativa non saprei come farla però..
Per calcolare il tempo di salita, ti serve la risposta indiciale mentre tu hai solo la fdt.
Quindi, come prima cosa, calcoli la risposta indiciale $Y(s)$ poi la antitrasformi e ti calcoli il tempo di salita.
NB: questo è solo UN metodo per calcolare il tempo di salita; un altro metodo, empirico ( quindi meno preciso ), sarebbe quello di calcolare il tempo di salita attraverso la banda passante del sistema
Quindi, come prima cosa, calcoli la risposta indiciale $Y(s)$ poi la antitrasformi e ti calcoli il tempo di salita.
NB: questo è solo UN metodo per calcolare il tempo di salita; un altro metodo, empirico ( quindi meno preciso ), sarebbe quello di calcolare il tempo di salita attraverso la banda passante del sistema
"D4lF4zZI0":
Per calcolare il tempo di salita, ti serve la risposta indiciale mentre tu hai solo la fdt.
Quindi, come prima cosa, calcoli la risposta indiciale $Y(s)$ poi la antitrasformi e ti calcoli il tempo di salita.
NB: questo è solo UN metodo per calcolare il tempo di salita; un altro metodo, empirico ( quindi meno preciso ), sarebbe quello di calcolare il tempo di salita attraverso la banda passante del sistema
Scusa ma io la risposta indiciale l'ho trovata dopo aver ricavato w(t) dalla FdT con l'antitrasformata.. ho sbagliato qualcosa?
Eh no! Quello che tu hai calcolato antitrasformando la $W(s)$ è la risposta impulsiva del sistema e non quella indiciale
"D4lF4zZI0":
Eh no! Quello che tu hai calcolato antitrasformando la $W(s)$ è la risposta impulsiva del sistema e non quella indiciale
Sì, io ho antitraformato la W(s) e ho ricavato la w(t). Poi da quest'ultima ho ricavato la w-1(t) che è la risposta indiciale
Hai ragione scusa, per un errore del browser non ho visto la parte finale del calcolo 
Quindi la risposta indiciale vale $ y=0.5(1-e^(-t)) $ dove $0.5$ rappresenta il valore di regime mentre la costante di tempo del sistema vale $ tau =1 s $.
A questo punto devi solo applicare la definizione di tempo di salita: è il tempo che impiega la risposta indiciale per passare dal 10% del valore di regime al 90% del valore di regime.
Quindi hai tutto, infatti:
$ 1) $ il $10%$ del valore di regime vale $0.05$;
$ 2) $ il $90%$ del valore di regime vale $0.45$
Impostando questi valori nell'espressione della risposta indiciale, ottieni, rispettivamente, il tempo che impiega la risposta a raggiungere il $10%$ e quello che impiega per giungere al $90%$ del valore di regime, ne fai la differenza e ottieni il tempo di salita
Quindi la risposta indiciale vale $ y=0.5(1-e^(-t)) $ dove $0.5$ rappresenta il valore di regime mentre la costante di tempo del sistema vale $ tau =1 s $.
A questo punto devi solo applicare la definizione di tempo di salita: è il tempo che impiega la risposta indiciale per passare dal 10% del valore di regime al 90% del valore di regime.
Quindi hai tutto, infatti:
$ 1) $ il $10%$ del valore di regime vale $0.05$;
$ 2) $ il $90%$ del valore di regime vale $0.45$
Impostando questi valori nell'espressione della risposta indiciale, ottieni, rispettivamente, il tempo che impiega la risposta a raggiungere il $10%$ e quello che impiega per giungere al $90%$ del valore di regime, ne fai la differenza e ottieni il tempo di salita
"D4lF4zZI0":
Hai ragione scusa, per un errore del browser non ho visto la parte finale del calcolo
Quindi la risposta indiciale vale $ y=0.5(1-e^(-t)) $ dove $0.5$ rappresenta il valore di regime mentre la costante di tempo del sistema vale $ tau =1 s $.
A questo punto devi solo applicare la definizione di tempo di salita: è il tempo che impiega la risposta indiciale per passare dal 10% del valore di regime al 90% del valore di regime.
Quindi hai tutto, infatti:
$ 1) $ il $10%$ del valore di regime vale $0.05$;
$ 2) $ il $90%$ del valore di regime vale $0.45$
Impostando questi valori nell'espressione della risposta indiciale, ottieni, rispettivamente, il tempo che impiega la risposta a raggiungere il $10%$ e quello che impiega per giungere al $90%$ del valore di regime, ne fai la differenza e ottieni il tempo di salita
Ah ecco allora perchè non mi veniva... Io facevo così:
Ponevo w-1(t)=0,9 e al valore trovato sottraevo il risultato che trovavo ponendo w-1(t)=0,1
Se hai capito l'errore, continua l'esercizio
"D4lF4zZI0":
Se hai capito l'errore, continua l'esercizio
doppio post
"D4lF4zZI0":
Se hai capito l'errore, continua l'esercizio
sì sì, viene 0,40s quindi minore di 2s
Grazie!
E per quanto riguarda la rappresentazione grafica qualitativa dell'esercizio 2? Qualche commento fa ho inserito la risoluzione per trovare la risposta indiciale, ma non capisco la seconda parte dell'esercizio e non riesco a trovare materiale che spieghi questa cosa.
Non so come hai fatto i calcoli, ma non è quello il tempo di salita.
Infatti, il tempo ( chiamiamolo $ t_1 $ ) che impiega la risposta a giungere al $10%$ del valore di regime vale:
$ 0.05=0.5(1-e^(-t_1))rArr 0.1=1-e^(-t_1)rArr e^(-t_1)=0.9rArr t_1=0.11 s $
mentre il tempo ( chiamiamolo $ t_2 $ ) che impiega a giungere al $90%$ vale:
$ 0.45=0.5(1-e^(-t_2))rArr 0.9=1-e^(-t_2)rArr e^(-t_2)=0.1rArr t_2=2.30 s $
Per definizione, il tempo di salita vale:
$ t_s=t_2-t_1=2.30-0.11=2.19 s $
Infatti, il tempo ( chiamiamolo $ t_1 $ ) che impiega la risposta a giungere al $10%$ del valore di regime vale:
$ 0.05=0.5(1-e^(-t_1))rArr 0.1=1-e^(-t_1)rArr e^(-t_1)=0.9rArr t_1=0.11 s $
mentre il tempo ( chiamiamolo $ t_2 $ ) che impiega a giungere al $90%$ vale:
$ 0.45=0.5(1-e^(-t_2))rArr 0.9=1-e^(-t_2)rArr e^(-t_2)=0.1rArr t_2=2.30 s $
Per definizione, il tempo di salita vale:
$ t_s=t_2-t_1=2.30-0.11=2.19 s $
"D4lF4zZI0":
Non so come hai fatto i calcoli, ma non è quello il tempo di salita.
Infatti, il tempo ( chiamiamolo $ t_1 $ ) che impiega la risposta a giungere al $10%$ del valore di regime vale:
$ 0.05=0.5(1-e^(-t_1))rArr 0.1=1-e^(-t_1)rArr e^(-t_1)=0.9rArr t_1=0.11 s $
mentre il tempo ( chiamiamolo $ t_2 $ ) che impiega a giungere al $90%$ vale:
$ 0.45=0.5(1-e^(-t_2))rArr 0.9=1-e^(-t_2)rArr e^(-t_2)=0.1rArr t_2=2.30 s $
Per definizione, il tempo di salita vale:
$ t_s=t_2-t_1=2.30-0.11=2.19 s $
Aaah allora avevo capito male, rifaccio il procedimento.
"aknoh":
[quote="D4lF4zZI0"]Non so come hai fatto i calcoli, ma non è quello il tempo di salita.
Infatti, il tempo ( chiamiamolo $ t_1 $ ) che impiega la risposta a giungere al $10%$ del valore di regime vale:
$ 0.05=0.5(1-e^(-t_1))rArr 0.1=1-e^(-t_1)rArr e^(-t_1)=0.9rArr t_1=0.11 s $
mentre il tempo ( chiamiamolo $ t_2 $ ) che impiega a giungere al $90%$ vale:
$ 0.45=0.5(1-e^(-t_2))rArr 0.9=1-e^(-t_2)rArr e^(-t_2)=0.1rArr t_2=2.30 s $
Per definizione, il tempo di salita vale:
$ t_s=t_2-t_1=2.30-0.11=2.19 s $
Aaah allora avevo capito male, rifaccio il procedimento.[/quote]
Ok, a posto. Mi viene lo stesso risultato più o meno (abbiamo semplificato in modo un po' diverso perchè a me viene t2=2,3s e t1=0,1s).
Il tempo di salita a me viene 2,2s, quindi maggiore di 2s
Grazie
Prego
E per quanto riguarda la rappresentazione grafica qualitativa dell'esercizio 2? Qualche commento fa ho inserito la risoluzione per trovare la risposta indiciale, ma non capisco la seconda parte dell'esercizio e non riesco a trovare materiale che spieghi questa cosa.[/quote]
Ti sta chiedendo semplicemente di disegnare l'andamento della risposta indiciale una volta che l'hai determinata
"aknoh":
[quote="D4lF4zZI0"]Se hai capito l'errore, continua l'esercizio
E per quanto riguarda la rappresentazione grafica qualitativa dell'esercizio 2? Qualche commento fa ho inserito la risoluzione per trovare la risposta indiciale, ma non capisco la seconda parte dell'esercizio e non riesco a trovare materiale che spieghi questa cosa.[/quote]
Ti sta chiedendo semplicemente di disegnare l'andamento della risposta indiciale una volta che l'hai determinata
"D4lF4zZI0":
Prego
[quote="aknoh"][quote="D4lF4zZI0"]Se hai capito l'errore, continua l'esercizio
E per quanto riguarda la rappresentazione grafica qualitativa dell'esercizio 2? Qualche commento fa ho inserito la risoluzione per trovare la risposta indiciale, ma non capisco la seconda parte dell'esercizio e non riesco a trovare materiale che spieghi questa cosa.[/quote]
Ti sta chiedendo semplicemente di disegnare l'andamento della risposta indiciale una volta che l'hai determinata
[/quote]Quindi dovrei calcolare il grafico della funzione -te^-t -e^-t +1 ?
Non devi calcarlo, devi disegnarlo
"D4lF4zZI0":
Non devi calcarlo, devi disegnarlo
sì scusa, volevo dire "disegnare", era un refuso...
Ok allora questo me lo tengo da parte, prima voglio capire gli altri esercizi.
L'esercizio 5 lo so fare (magari dopo posto il grafico per essere sicuro che sia giusto).
Degli esercizi 1 e 3 non so calcolare bene la FdT. Nel primo esercizio, per esempio, so che diventa y^3 + 3y^2 + 3y + 1 = ...
Non so come diventa il secondo membro..
Intanto il primo membro diventa $ s^3Y(s)+3s^2Y(s)+3sY(s)+Y(s) $ e non quello che hai scritto tu.
Per quanto riguarda il secondo membro, cosa c'è di strano? Devi applicare anche al secondo membro la trasformazione di Laplace; evidentemente si ha: $ s^2U(s)+U(s) $
A questo punto il problema assegnatoti nel dominio del tempo, si scrive:
$ s^3Y(s)+3s^2Y(s)+3sY(s)+Y(s) =s^2U(s)+U(s)$
nel dominio di Laplace.
Ora sai proseguire?
Per quanto riguarda il secondo membro, cosa c'è di strano? Devi applicare anche al secondo membro la trasformazione di Laplace; evidentemente si ha: $ s^2U(s)+U(s) $
A questo punto il problema assegnatoti nel dominio del tempo, si scrive:
$ s^3Y(s)+3s^2Y(s)+3sY(s)+Y(s) =s^2U(s)+U(s)$
nel dominio di Laplace.
Ora sai proseguire?
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