[CONTROLLI AUTOMATICI] Vari esercizi (prova d'esame)
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di una mano.. non riesco a risolvere alcuni esercizi di questa prova d'esame. A parte l'esercizio 5 (diagramma di Bode) e la prima parte dell'esercizio 2 (risposta indiciale), non so come impostare gli esercizi.
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
Grazie
Ecco la prova:
Avrei bisogno di una mano.. non riesco a risolvere alcuni esercizi di questa prova d'esame. A parte l'esercizio 5 (diagramma di Bode) e la prima parte dell'esercizio 2 (risposta indiciale), non so come impostare gli esercizi.
Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
Grazie
Ecco la prova:
Risposte
"D4lF4zZI0":
Intanto il primo membro diventa $ s^3Y(s)+3s^2Y(s)+3sY(s)+Y(s) $ e non quello che hai scritto tu.
Per quanto riguarda il secondo membro, cosa c'è di strano? Devi applicare anche al secondo membro la trasformazione di Laplace; evidentemente si ha: $ s^2U(s)+U(s) $
A questo punto il problema assegnatoti nel dominio del tempo, si scrive:
$ s^3Y(s)+3s^2Y(s)+3sY(s)+Y(s) =s^2U(s)+U(s)$
nel dominio di Laplace.
Ora sai proseguire?
Se non sbaglio per trovare W(s) pongo Y(s)/U(s).
Quindi ottengo (s^3 + 3s^2 + 3s + 1)/ (s^2 + 1)
Giusto?
Sbagli... $ W(s)=(Y(s))/(U(s))=(s^2+1)/(s^3+3s^2+3s+1) $
Dopotutto potevi accorgertene in due modi che era sbagliato il tuo risultato:
$ 1) $ Per un problema di fisica realizzabilità: il polinomio a denominatore di una fdt deve essere, sempre, almeno di un grado superiore a quello del numeratore;
$2) $ Per una condizione sufficiente della trasformata di Laplace la quale afferma che $F(s)$ è la trasformata di Laplace di una funzione reale $y(t)$ se $ lim_(s -> +oo)F(s)=0 $
Dopotutto potevi accorgertene in due modi che era sbagliato il tuo risultato:
$ 1) $ Per un problema di fisica realizzabilità: il polinomio a denominatore di una fdt deve essere, sempre, almeno di un grado superiore a quello del numeratore;
$2) $ Per una condizione sufficiente della trasformata di Laplace la quale afferma che $F(s)$ è la trasformata di Laplace di una funzione reale $y(t)$ se $ lim_(s -> +oo)F(s)=0 $
"D4lF4zZI0":
Sbagli... $ W(s)=(Y(s))/(U(s))=(s^2+1)/(s^3+3s^2+3s+1) $
Dopotutto potevi accorgertene in due modi che era sbagliato il tuo risultato:
$ 1) $ Per un problema di fisica realizzabilità: il polinomio a denominatore di una fdt deve essere, sempre, almeno di un grado superiore a quello del numeratore;
$2) $ Per una condizione sufficiente della trasformata di Laplace la quale afferma che $F(s)$ è la trasformata di Laplace di una funzione reale $y(t)$ se $ lim_(s -> +oo)F(s)=0 $
Vero
E dalla W(s) come determino l'evoluzione libera partendo dalle C.I.?
Ti faccio io una domanda ora: ma hai studiato la teoria prima di affrontare questi esercizi?
Ho l'impressione che tu ne sappia poco o niente
Ho l'impressione che tu ne sappia poco o niente
"D4lF4zZI0":
Ti faccio io una domanda ora: ma hai studiato la teoria prima di affrontare questi esercizi?
Ho l'impressione che tu ne sappia poco o niente
Gli argomenti che sono riuscito a tovare sì (Bode, nodi sistema, ecc), ma per esempio, argomenti come l'evoluzione libera di un sistema, no
Premesso che queste cose sono scritte su tutti i libri di Controlli Automatici ( anche su alcuni testi per le scuole superiori se leggi tra le righe )...prova ad antitrasformare la $W(s)$ e posta il risultato così che ne discutiamo
"D4lF4zZI0":
Premesso che queste cose sono scritte su tutti i libri di Controlli Automatici ( anche su alcuni testi per le scuole superiori se leggi tra le righe )...prova ad antitrasformare la $W(s)$ e posta il risultato così che ne discutiamo
mmh non riesco a scomporre la W(s) in modo tale da averla in una forma adatta per l'antitrasformata
Se osservi il denominatore si vede subito che è un cubo perfetto e lo puoi scrivere uguale a $(s+1)^3$
"D4lF4zZI0":
Se osservi il denominatore si vede subito che è un cubo perfetto e lo puoi scrivere uguale a $(s+1)^3$
sì questo lo avevo fatto infatti, ma è il numeratore a darmi problemi. Dovrei scomporre in fratti semplici numeratore e denominatore per poter eseguire l'antitrasformata
temo di si 
Anche se ripensandoci bene potresti fare in questo modo:
$ W(s)=(s^2+1)/(s+1)^3=((s+1)^2-2s)/(s+1)^3=1/(s+1)-2s/(s+1)^3=1/(s+1)-2(s+1)/(s+1)^3+2/(s+1)^3 =$
$ =1/(s+1)-2/(s+1)^2+2/(s+1)^3 $
che è immediata da antitrasformare
PS: magari ricontrolla tutti i segni
$ W(s)=(s^2+1)/(s+1)^3=((s+1)^2-2s)/(s+1)^3=1/(s+1)-2s/(s+1)^3=1/(s+1)-2(s+1)/(s+1)^3+2/(s+1)^3 =$
$ =1/(s+1)-2/(s+1)^2+2/(s+1)^3 $
che è immediata da antitrasformare
PS: magari ricontrolla tutti i segni
"D4lF4zZI0":
Anche se ripensandoci bene potresti fare in questo modo:
$ W(s)=(s^2+1)/(s+1)^3=((s+1)^2-2s)/(s+1)^3=1/(s+1)-2s/(s+1)^3=1/(s+1)-2(s+1)/(s+1)^3+2/(s+1)^3 =$
$ =1/(s+1)-2/(s+1)^2+2/(s+1)^3 $
che è immediata da antitrasformare
PS: magari ricontrolla tutti i segni
Mi spieghi il secondo passaggio? Dopo aver trasformato s^2 + 1 in (s+1)^2 -2s, per capirci.
Ho provato anche a scomporre in fratti semplici la W(s) data senza l'escamotage del "(s+1)^2 -2s", ma non credo che mi venga corretta..
EDIT: no scusa, sono fuso io, ho capito il banalissimo passaggio
"D4lF4zZI0":
Anche se ripensandoci bene potresti fare in questo modo:
$ W(s)=(s^2+1)/(s+1)^3=((s+1)^2-2s)/(s+1)^3=1/(s+1)-2s/(s+1)^3=1/(s+1)-2(s+1)/(s+1)^3+2/(s+1)^3 =$
$ =1/(s+1)-2/(s+1)^2+2/(s+1)^3 $
che è immediata da antitrasformare
PS: magari ricontrolla tutti i segni
comunque alla fine l'antitrasformata viene:
$ w(t)= e^-t -2te^-t + 2t^2e^-t $
(sempre se non ho fatto errori, ma ricontrollando mi sembra giusta)
Questa è la risposta impulsiva $ w(t)=e^(-t)-2te^(-t)+t^2e^(-t) $
In quanto $ L[t^2]=2/s^3 $
In quanto $ L[t^2]=2/s^3 $
"D4lF4zZI0":
Questa è la risposta impulsiva $ w(t)=e^(-t)-2te^(-t)+t^2e^(-t) $
In quanto $ L[t^2]=2/s^3 $
hai ragione, mi ero perso $ 1/((n-1)!) $ nell'ultimo frazione.
Da questa risposta impulsiva come determino l'evoluzione libera date le C.I.?
Comunque, nel frattempo, credo di aver capito come risolvere l'esercizio 3 
Ho riletto l'esercizio che ti è stato assegnato e pare che ci sia un errore nello svolgimento; infatti il problema è il seguente:
$ { ( (d^3y)/(dt^3)+3(d^2y)/(dt^2)+3(dy)/(dt)+y=(d^2u)/(dt^2)+u ),( y(0)=0 ),( dy/dt(0)=0 ),( (d^2y)/(dt^2)(0)=1 ):} $
Ora volendo la sola evoluzione libera, il problema diventa:
$ { ( (d^3y)/(dt^3)+3(d^2y)/(dt^2)+3(dy)/(dt)+y=0 ),( y(0)=0 ),( dy/dt(0)=0 ),( (d^2y)/(dt^2)(0)=1 ):} $
che trasformato secondo Laplace ( e tenendo conto delle condizioni iniziali ) porta al seguente risultato:
$ Y(s)=1/(s+1)^3 $
La cui antitrasformata è immediata:
$ y(t)=1/2t^2e^(-t) $
$ { ( (d^3y)/(dt^3)+3(d^2y)/(dt^2)+3(dy)/(dt)+y=(d^2u)/(dt^2)+u ),( y(0)=0 ),( dy/dt(0)=0 ),( (d^2y)/(dt^2)(0)=1 ):} $
Ora volendo la sola evoluzione libera, il problema diventa:
$ { ( (d^3y)/(dt^3)+3(d^2y)/(dt^2)+3(dy)/(dt)+y=0 ),( y(0)=0 ),( dy/dt(0)=0 ),( (d^2y)/(dt^2)(0)=1 ):} $
che trasformato secondo Laplace ( e tenendo conto delle condizioni iniziali ) porta al seguente risultato:
$ Y(s)=1/(s+1)^3 $
La cui antitrasformata è immediata:
$ y(t)=1/2t^2e^(-t) $
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