[Controlli Automatici] Valutare qualitativamente uscita dati ingresso e fdt
Salve a tutti. Sono alle prese con un esercizio svolto, vi allego la traccia e la soluzione:
In corrispondenza dell'ingresso $u(t)=2sca(t)$ e al variare del parametro $tau$ si determini, prima in maniera qualitativa valutando in particolare la velocità di risposta, poi in maniera quantitativa, l'uscita $y(t)$ del sistema descritto dalla seguente funzione di trasferimento:
$G(s)=(2(1+taus))/((1+s)(1+0.1s))$
Soluzione
La trasformata di Laplace dell'uscita è
$Y(s)=(4(1+taus))/(s(1+s)(1+0.1s))$
e si ha pertanto
$y(0)=\lim_{s \to \infty}sY(s) = 0$; $y'(0)=\lim_{s \to \infty}s^2Y(s)=40tau$; $\lim_{t \to \infty}y(t)=\lim_{s \to \0}sY(s)=4$.
Il valore iniziale della funzione è quindi sempre nullo, mentre la derivata iniziale è positiva, negativa o nulla, dipendentemente dal valore assunto da $tau$. In particolare, se $tau<0$, cioè se lo zero del sistema è nel semipiano destro, l'uscita assume inizialmente valori negativi anche se il suo valore finale è positivo, cosicché il suo andamento non è monotono. L'andamento si può anche prevedere non monotono se lo zero è nel semipiano sinistro abbastanza vicino all'origine del piano complesso (rispetto alla distanza dei poli da essa). In questo caso infatti si ha una azione 'di tipo derivativo' che fa si che l'uscita superi una volta il valore finale prima di assestarvicisi. Se invece lo zero si trova non molto distante dai poli l'uscita non è molto diversa da quella di un sistema del primo ordine (se lo zero coincidesse con un polo l'uscita del sistema coinciderebbe a tutti gli effetti con quella di un sistema del primo ordine). Infine se lo zero è molto più a sinistra dei poli c'è da aspettarsi che l'effetto dello zero sia di poco conto. In tutti i casi in cui lo zero è lontano dal polo in -1, corrispondente alla più grande costante di tempo, agli effetti pratici si può ritenere che -1 sia il polo dominante del sistema e quindi l'uscita raggiunga il suo valore di regime dopo un tempo pari a 4÷5 volte il valore della costante di tempo stessa. Quando invece lo zero è vicino o addirittura coincidente con il polo in -1, il polo dominante è -10 e pertanto agli effetti pratici si può ritenere che l'uscita raggiunga il suo valore di regime in un tempo pari a 4÷5 volte il valore della costante di tempo 0,1.
In ogni caso l'uscita è
$y(t)= 4+ (40(tau-1))/9e^(-t)+(4(1-10tau))/9e^(-10t)$.
Le prime righe di questa spiegazione mi sono chiare, ma, a partire dalla parte che ho sottolineato, sto avendo problemi a capire cosa voglia dire. Pertanto, cominciamo dalla parte sottolineata:
qualcuno potrebbe spiegarmi quella frase?
Grazie mille e scusate se il post è un po' lungo...
In corrispondenza dell'ingresso $u(t)=2sca(t)$ e al variare del parametro $tau$ si determini, prima in maniera qualitativa valutando in particolare la velocità di risposta, poi in maniera quantitativa, l'uscita $y(t)$ del sistema descritto dalla seguente funzione di trasferimento:
$G(s)=(2(1+taus))/((1+s)(1+0.1s))$
Soluzione
La trasformata di Laplace dell'uscita è
$Y(s)=(4(1+taus))/(s(1+s)(1+0.1s))$
e si ha pertanto
$y(0)=\lim_{s \to \infty}sY(s) = 0$; $y'(0)=\lim_{s \to \infty}s^2Y(s)=40tau$; $\lim_{t \to \infty}y(t)=\lim_{s \to \0}sY(s)=4$.
Il valore iniziale della funzione è quindi sempre nullo, mentre la derivata iniziale è positiva, negativa o nulla, dipendentemente dal valore assunto da $tau$. In particolare, se $tau<0$, cioè se lo zero del sistema è nel semipiano destro, l'uscita assume inizialmente valori negativi anche se il suo valore finale è positivo, cosicché il suo andamento non è monotono. L'andamento si può anche prevedere non monotono se lo zero è nel semipiano sinistro abbastanza vicino all'origine del piano complesso (rispetto alla distanza dei poli da essa). In questo caso infatti si ha una azione 'di tipo derivativo' che fa si che l'uscita superi una volta il valore finale prima di assestarvicisi. Se invece lo zero si trova non molto distante dai poli l'uscita non è molto diversa da quella di un sistema del primo ordine (se lo zero coincidesse con un polo l'uscita del sistema coinciderebbe a tutti gli effetti con quella di un sistema del primo ordine). Infine se lo zero è molto più a sinistra dei poli c'è da aspettarsi che l'effetto dello zero sia di poco conto. In tutti i casi in cui lo zero è lontano dal polo in -1, corrispondente alla più grande costante di tempo, agli effetti pratici si può ritenere che -1 sia il polo dominante del sistema e quindi l'uscita raggiunga il suo valore di regime dopo un tempo pari a 4÷5 volte il valore della costante di tempo stessa. Quando invece lo zero è vicino o addirittura coincidente con il polo in -1, il polo dominante è -10 e pertanto agli effetti pratici si può ritenere che l'uscita raggiunga il suo valore di regime in un tempo pari a 4÷5 volte il valore della costante di tempo 0,1.
In ogni caso l'uscita è
$y(t)= 4+ (40(tau-1))/9e^(-t)+(4(1-10tau))/9e^(-10t)$.
Le prime righe di questa spiegazione mi sono chiare, ma, a partire dalla parte che ho sottolineato, sto avendo problemi a capire cosa voglia dire. Pertanto, cominciamo dalla parte sottolineata:
qualcuno potrebbe spiegarmi quella frase?
Grazie mille e scusate se il post è un po' lungo...
Risposte
Credo che l’insegnante volesse dire che la risposta al gradino puo essere non monotona se, nel tuo caspo specifico, il valore positivo di $τ$ non è troppo piccolo, facendo così pesare di più il termine: $s$ rispetto a: $1$ al numeratore. Questo comportamento viene detto “derivativo” proprio perchè rafforza la componente derivativa del sistema (il coefficiente di $s$) rispetto a quella proporzionale ($1$): in questo caso la risposta al gradino assume infatti un comportamento più “implusivo”. Di seguito, come riferimento, la tua risposta al gradino con: $τ=2$.
Ecco cosa mi sfuggiva: il peso dei termini in base al valore di $tau$, ora è chiaro, grazie mille!
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