[Controlli Automatici] Stabilità Asintotica e BIBO
Ciao ragazzi avrei difficolta nella risoluzione di questi due esercizi:
Esercizio 1
Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento
$ P(s)= (s-1)/(s+1)^2$
Progettare un controllore in maniera che il sistema controllato in controreazione sia BIBO stabile e di tipo 1
Saprei svolgerlo nel caso la richiesta sia solo che il sistema sia di tipo 1 , in quel caso infatti dovrei semplicemente moltiplicare per $$G(s)=K_g /s$$ in modo da aggiungere un polo nell'origine al sistema e renderlo di tipo 1, ma come faccio a risolvere il punto in cui si chiede la BIBO stabilità?
Esercizio 2
Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento
$$P(s)= 1/(s-1)^2$$
Progettare un controllore in maniera tale che il isstema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile e che abbia $$|e_1|<=0.01$$.
In questo caso saprei come procedere per risolvere il punto $$|e_1|<=0.01$$ ma non saprei come risolvere per quanto riguarda l'asintotica stabilità, potreste darmi una mano?
Grazie
Esercizio 1
Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento
$ P(s)= (s-1)/(s+1)^2$
Progettare un controllore in maniera che il sistema controllato in controreazione sia BIBO stabile e di tipo 1
Saprei svolgerlo nel caso la richiesta sia solo che il sistema sia di tipo 1 , in quel caso infatti dovrei semplicemente moltiplicare per $$G(s)=K_g /s$$ in modo da aggiungere un polo nell'origine al sistema e renderlo di tipo 1, ma come faccio a risolvere il punto in cui si chiede la BIBO stabilità?
Esercizio 2
Si consideri il sistema descritto dalla funzione di trasferimento
$$P(s)= 1/(s-1)^2$$
Progettare un controllore in maniera tale che il isstema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile e che abbia $$|e_1|<=0.01$$.
In questo caso saprei come procedere per risolvere il punto $$|e_1|<=0.01$$ ma non saprei come risolvere per quanto riguarda l'asintotica stabilità, potreste darmi una mano?
Grazie
Risposte
Per quanto riguarda l'es. 1, siccome la stabilità asintotica implica la BIBO, senza troppo complicarsi la vita visto che non ti hanno dato altre specifiche, verifica con Routh-Hurwitz per quali valori di $K_g$ il polinomio caratteristico del sistema in anello chiuso ha tutte radici a parte reale negativa e scegli un valore conveniente in tale range.
Per l'es. 2 puoi verificare la stabilità del controllore che hai scelto allo stesso modo. Se il sistema risultasse instabile ovviamente dovrai modificare il controllore.
Per l'es. 2 puoi verificare la stabilità del controllore che hai scelto allo stesso modo. Se il sistema risultasse instabile ovviamente dovrai modificare il controllore.
Quindi per quanto riguarda l'esercizio 1 applico la formula: $ (P(s)) /(1+(P(s)G(s)) $ con $P(s)$ la mia funzione di trasferimento assegnata dall'esercizio ( in questo caso $ P(s)=(s-1)/((s+1)^2)$ e poiché voglio che il sistema sia di tipo 1 allora $G(s)$ vale : $G(s)=K_g /s $ , quindi effettuo la somma dei termini al denominatore e utilizzo il criterio di Routh-Hurwitz per valutare il segno del polinomio caratteristico al denominatore in modo tale da verificare che tutti i poli $p_i $ risultino avere parte reale negativa $ Re[p_i] <0 $
Faccio lo stesso per l'esercizio 2? Quindi sempre $ (P(s)) /(1+(P(s)G(s)) $ dove $G(s)$ vale : $G(s)=K_g /s $ ?
Faccio lo stesso per l'esercizio 2? Quindi sempre $ (P(s)) /(1+(P(s)G(s)) $ dove $G(s)$ vale : $G(s)=K_g /s $ ?
Inoltre, non l'ho aggiunto nel testo della domanda, ma l'esercizio numero 1 richiedeva anche di verificare, dopo aver fatto si che il sistema sia BIBO stabile e di tipo 1, che tutti i poli $p_i$ avessero parte reale $Re[p_i]<= 0.75 $ . Questa parte ulteriore dell'esercizio andrebbe svolta utilizzando il luogo delle radici e so come svolgerlo, ma dovrei prima di tutto sostituire il valore trovato nel punto precedente di $K_g$ che mi garantisca la BIBO stabilità e poi infine procedere nello studio tramite luogo delle radici per soddisfare il punto $Re[p_i]<= 0.75 $ giusto ?
"tkomega":
ma dovrei prima di tutto sostituire il valore trovato nel punto precedente di Kg che mi garantisca la BIBO stabilità e poi infine procedere nello studio tramite luogo delle radici per soddisfare il punto Re[pi]≤0.75 giusto ?
Puoi anche usare il luogo delle radici in ciclo aperto, invece che RH in ciclo chiuso, sia per la stabilità che per l'ulteriore condizione sui poli (ti ho suggerito RH perchè il risultato su $K_g$ è un pò "atipico" e RH non lascia spazio a dubbi).
Quanto sopra in teoria, perchè non è detto che con $K_g/s$ si riesca a soddisfare contemporaneamente entrambe le condizioni.
In quest'ultimo caso dovrai complicare il regolatore (ad es. spostando i poli del sistema stesso).
Anche l'es. 2 va affrontato in maniera simile. Se $e_1$ è l'errore alla rampa, il sistema dovrà essere di Tipo 1 e avere un certo guadagno tale da soddisfare la condizione.
Anche qui non è detto che si riesca a soddisfare contemporaneamente con $K_g/s$ una o entrambe le condizioni. Ma il problema è più complicato rispetto al precedente, perchè non si può facilmente spostare i poli instabili (la cancellazione poli zeri non va effettuata su poli instabili). Andrà trovata qualche altro metodo (ad es. doppio anello di retroazione: uno per stabilizzare e l'altro per soddisfare le specifiche).
"ingres":
[quote="tkomega"]
Quanto sopra in teoria, perchè non è detto che con $K_g/s$ si riesca a soddisfare contemporaneamente entrambe le condizioni.
[/quote]
Io parlavo di $G(s)=K_g/s$ perché in tutte le risoluzioni di questa tipologia di esercizi il mio professore utilizzava questo, ad ogni modo la formula da applicare è $ (P(s))/(1+P(s)G(s)) $ giusto?
No, la formula non è corretta se il significato di P(s) e G(s) è quello che si intende in questi esercizi.
Se P(s) è la funzione di trasferimento del processo tra azione di controllo u e uscita di processo y
$Y(s) = P(s)*U(s)$
G(s) il controllore che lega l'azione di controllo u(t) con l'errore tra riferimento r(t) e misura dell'uscita ym(t):
$U(s) = G(s)*E(s) = G(s)*(R(s)-Y_m(s))$
e H(s) la funzione di trasferimento del trasduttore in retroazione che lega la misura ym(t) con l'uscita di processo y:
$Y_m(s) = H(s)*Y(s)$
si avrà:
$Y(s) = P(s)*U(s) = P(s) G(s) (R(s)-Y_m(s)) = P(s) G(s) R(s) - P(s) G(s) H(s) Y(s)$
Quindi
$(Y(s))/(R(s)) = (P(s)*G(s))/(1+P(s)*G(s)*H(s))$
In molti casi H(s) = 1, per cui la formula corretta per la funzione di trasferimento è:
$(Y(s))/(R(s)) = (P(s)*G(s))/(1+P(s)*G(s))$
Per ulteriori approfondimenti
https://web.unica.it/unica/protected/34 ... MAT341687/
Se P(s) è la funzione di trasferimento del processo tra azione di controllo u e uscita di processo y
$Y(s) = P(s)*U(s)$
G(s) il controllore che lega l'azione di controllo u(t) con l'errore tra riferimento r(t) e misura dell'uscita ym(t):
$U(s) = G(s)*E(s) = G(s)*(R(s)-Y_m(s))$
e H(s) la funzione di trasferimento del trasduttore in retroazione che lega la misura ym(t) con l'uscita di processo y:
$Y_m(s) = H(s)*Y(s)$
si avrà:
$Y(s) = P(s)*U(s) = P(s) G(s) (R(s)-Y_m(s)) = P(s) G(s) R(s) - P(s) G(s) H(s) Y(s)$
Quindi
$(Y(s))/(R(s)) = (P(s)*G(s))/(1+P(s)*G(s)*H(s))$
In molti casi H(s) = 1, per cui la formula corretta per la funzione di trasferimento è:
$(Y(s))/(R(s)) = (P(s)*G(s))/(1+P(s)*G(s))$
Per ulteriori approfondimenti
https://web.unica.it/unica/protected/34 ... MAT341687/
grazie!
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