[Controlli Automatici] Regolatori con smorzamento assegnato
Buonasera, vorrei proporvi un esercizio dal quale cerco da un bel po' di uscirne vivo.
L'esercizio in verità si compone di più parti, in cui la prima prevede la realizzazione di un regolatore lineare sullo stato \(\displaystyle u=-\mathbf{kx} \) e la seconda la realizzazione di un osservatore asintotico dello stato.
Vorrei porre l'attenzione sulla prima parte. Innanzitutto, il sistema è determinato dalle matrici seguenti:
\(\displaystyle \mathbf{A}=\begin{bmatrix}
0 &1 &0 \\
0 &0 &1 \\
-2 &-5 &-6
\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle \mathbf{B}=\begin{bmatrix}
0\\0
\\1
\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle \mathbf{C}=\begin{bmatrix}
0 &1 & 1
\end{bmatrix} \)
Ora, il quesito mi chiede di realizzare il regolatore di cui sopra in modo che il sistema sia a poli dominanti con smorzamento \(\displaystyle \zeta \) assegnato.
Intanto osservo che il sistema è completamente controllabile in quanto è in forma canonica di controllo, essendo la matrice di stato in forma compagna. Tuttavia, se calcolo il polinomio caratteristico di \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk} \), con \(\displaystyle \mathbf{k}=\begin{bmatrix}
k_1 &k_2 &k_3
\end{bmatrix} \) da determinare, non so come imporre le condizioni richieste dal problema.
L'esercizio in verità si compone di più parti, in cui la prima prevede la realizzazione di un regolatore lineare sullo stato \(\displaystyle u=-\mathbf{kx} \) e la seconda la realizzazione di un osservatore asintotico dello stato.
Vorrei porre l'attenzione sulla prima parte. Innanzitutto, il sistema è determinato dalle matrici seguenti:
\(\displaystyle \mathbf{A}=\begin{bmatrix}
0 &1 &0 \\
0 &0 &1 \\
-2 &-5 &-6
\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle \mathbf{B}=\begin{bmatrix}
0\\0
\\1
\end{bmatrix} \)
\(\displaystyle \mathbf{C}=\begin{bmatrix}
0 &1 & 1
\end{bmatrix} \)
Ora, il quesito mi chiede di realizzare il regolatore di cui sopra in modo che il sistema sia a poli dominanti con smorzamento \(\displaystyle \zeta \) assegnato.
Intanto osservo che il sistema è completamente controllabile in quanto è in forma canonica di controllo, essendo la matrice di stato in forma compagna. Tuttavia, se calcolo il polinomio caratteristico di \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk} \), con \(\displaystyle \mathbf{k}=\begin{bmatrix}
k_1 &k_2 &k_3
\end{bmatrix} \) da determinare, non so come imporre le condizioni richieste dal problema.
Risposte
Poichè il sistema è di ordine 3, allora dovresti ottenere una fdt che presenta il seguente polinomio caratteristico:
$ (s+a)(s^2+2xi omega_ns+omega_n^2) $
dove come si vede compare esplicitamente lo smorzamento $ xi $
$ (s+a)(s^2+2xi omega_ns+omega_n^2) $
dove come si vede compare esplicitamente lo smorzamento $ xi $
Allora dovrei calcolare la f.d.t. come \(\displaystyle \mathbf{C}\left ( s\mathbf{I}-\left ( \mathbf{A}-\mathbf{Bk} \right ) \right )^{-1}\mathbf{B} \) ed imporre le condizioni? Ma come faccio a ricavare la pulsazione naturale?
Riflettici un pochino non è difficile 
.
PS: leggi bene la traccia e capirai
.PS: leggi bene la traccia e capirai
Allora, ho cercato di abbozzare una soluzione (evidentemente errata o comunque incompleta perché mi ritrovo senza la conoscenza di alcuni parametri) considerando quel che mi hai suggerito.
In pratica, il polinomio caratteristico della matrice \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk} \) è \(\displaystyle p_{\mathbf{A}-\mathbf{Bk}}(s)=s^3+(k_3+6)s^2+(k_2+5)s+(k_1+2) \). Se questo polinomio deve essere uguale a quello che hai scritto tu (che chiamo \(\displaystyle p_t(s) \)), avrò innanzitutto che:
\(\displaystyle p_t(s)=s^3+(a+2\zeta\omega_n)s^2+(\omega_n^2+2a\zeta\omega_n)s+a\omega_n^2 \)
(ovviamente nell'ipotesi che i calcoli siano corretti!)
Ora, dev'essere \(\displaystyle p_{\mathbf{A}-\mathbf{Bk}}(s)=p_t(s) \), e quindi applicando il teorema sull'identità dei polinomi ottengo un vettore di retroazione:
\(\displaystyle \mathbf{k}= \begin{bmatrix}
a\omega_n^2-2 &\omega_n^2+2a\zeta\omega_n-5 &2\omega_n\zeta+a-6
\end{bmatrix}\)
Il problema è peggio di prima, perché adesso non conosco né la pulsazione naturale né il valore di \(\displaystyle a \)!
Probabilmente è qui che entra in gioco la condizione sui poli dominanti, ma non so proprio come procedere.
In pratica, il polinomio caratteristico della matrice \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk} \) è \(\displaystyle p_{\mathbf{A}-\mathbf{Bk}}(s)=s^3+(k_3+6)s^2+(k_2+5)s+(k_1+2) \). Se questo polinomio deve essere uguale a quello che hai scritto tu (che chiamo \(\displaystyle p_t(s) \)), avrò innanzitutto che:
\(\displaystyle p_t(s)=s^3+(a+2\zeta\omega_n)s^2+(\omega_n^2+2a\zeta\omega_n)s+a\omega_n^2 \)
(ovviamente nell'ipotesi che i calcoli siano corretti!)
Ora, dev'essere \(\displaystyle p_{\mathbf{A}-\mathbf{Bk}}(s)=p_t(s) \), e quindi applicando il teorema sull'identità dei polinomi ottengo un vettore di retroazione:
\(\displaystyle \mathbf{k}= \begin{bmatrix}
a\omega_n^2-2 &\omega_n^2+2a\zeta\omega_n-5 &2\omega_n\zeta+a-6
\end{bmatrix}\)
Il problema è peggio di prima, perché adesso non conosco né la pulsazione naturale né il valore di \(\displaystyle a \)!
Probabilmente è qui che entra in gioco la condizione sui poli dominanti, ma non so proprio come procedere.
Premesso che non ho controllato i calcoli, a questo punto devi imporre la condizione dei poli dominanti ovvero il polo semplice ( quello $s=-a$ ) non deve influire sulla dinamica del sistema ( quindi devi scegliere tu il valore del polo ) e poi devi scegliere sempre tu i due poli complessi e coniugati in modo che risulti lo smorzamento fissato, comunque sia scelto $ omega_n $
Ok, allora scelgo di attribuire al polo in questione un valore che più mi garba (quindi ipotizzare una condizione di poli dominanti significa affermare l'arbitrarietà del polo semplice?).
Ammettiamo che \(\displaystyle a = 1 \) e quindi \(\displaystyle \mathbf{k}=\begin{bmatrix}
\omega_n^2-2 &\omega_n^2+2\zeta\omega_n-5 &2\omega_n\zeta-5
\end{bmatrix} \).
Non ho afferrato bene l'ultima parte su come valutare la pulsazione: i poli complessi e coniugati di cui parli sono quelli che compaiono nel polinomio caratteristico "teorico" che hai scritto tu?
Ammettiamo che \(\displaystyle a = 1 \) e quindi \(\displaystyle \mathbf{k}=\begin{bmatrix}
\omega_n^2-2 &\omega_n^2+2\zeta\omega_n-5 &2\omega_n\zeta-5
\end{bmatrix} \).
Non ho afferrato bene l'ultima parte su come valutare la pulsazione: i poli complessi e coniugati di cui parli sono quelli che compaiono nel polinomio caratteristico "teorico" che hai scritto tu?
Si i poli complessi e coniugati sono quelli che definiscono il fattore $ s^2+2xi omega_ns+omega_n^2 $. In questo fattore inserisci lo smorzamento assegnato dal problema e, per quanto riguarda $ omega_n $, puoi scegliere un valore a sentimento visto che non ti è stato assegnato alcun dato, ma in ogni caso devi fare in modo che i poli complessi siano dominanti rispetto al polo semplice
Quindi, ricapitolando, la condizione più importante è quella dell'arbitrarietà del polo semplice derivante dal requisito dei poli dominanti del sistema. Una volta soddisfatta questa, la pulsazione e il termine \(\displaystyle a \) sono a piacere, giusto?
Si esatto è proprio così che va risolto l'esercizio
Perfetto, allora potrei scrivere \(\displaystyle \omega_n = 1 rad/s \) e ottenere finalmente il vettore tanto agognato: \(\displaystyle \mathbf{k}=\begin{bmatrix}
-1 &2\zeta-4 &2\zeta-5
\end{bmatrix} \)
e quindi ricavo la matrice \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk}=\begin{bmatrix}
0 &1 &0 \\
0 &0 &1 \\
-1 &-2\zeta-1 &-2\zeta-1
\end{bmatrix} \).
Perfetto. Adesso se volessi procedere con il secondo punto sull'osservatore asintotico, verifico la completa osservabilità della matrice \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk} \) e di conseguenza ricavo il vettore \(\displaystyle \mathbf{L}=\begin{bmatrix}
l_1\\l_2
\\l_3
\end{bmatrix} \) di Luenberger tale che il polinomio caratteristico di \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk}-\mathbf{LC} \) sia uguale ad un certo polinomio desiderato, esatto?
-1 &2\zeta-4 &2\zeta-5
\end{bmatrix} \)
e quindi ricavo la matrice \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk}=\begin{bmatrix}
0 &1 &0 \\
0 &0 &1 \\
-1 &-2\zeta-1 &-2\zeta-1
\end{bmatrix} \).
Perfetto. Adesso se volessi procedere con il secondo punto sull'osservatore asintotico, verifico la completa osservabilità della matrice \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk} \) e di conseguenza ricavo il vettore \(\displaystyle \mathbf{L}=\begin{bmatrix}
l_1\\l_2
\\l_3
\end{bmatrix} \) di Luenberger tale che il polinomio caratteristico di \(\displaystyle \mathbf{A}-\mathbf{Bk}-\mathbf{LC} \) sia uguale ad un certo polinomio desiderato, esatto?
Si è esatto. Però prima di farlo assicurati bene che i poli complessi che ottieni ponendo quel valore di $omega_n$ siano dominanti rispetto al polo semplice $s+a$.
Perdona la mia morbosa necessità di conferma xD
Dire che i poli complessi e coniugati sono dominanti significa che il modulo è più piccolo di quello del polo semplice, perché in quanto dominanti sono più "vicini" all'origine, dico bene? Per cui se i poli complessi e coniugati sono:
\(\displaystyle p_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm i\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \)
il modulo è proprio \(\displaystyle \omega_n \) e quindi dev'essere \(\displaystyle \omega_n < \left |a\right | \). Ho centrato l'obiettivo?
Dire che i poli complessi e coniugati sono dominanti significa che il modulo è più piccolo di quello del polo semplice, perché in quanto dominanti sono più "vicini" all'origine, dico bene? Per cui se i poli complessi e coniugati sono:
\(\displaystyle p_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm i\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \)
il modulo è proprio \(\displaystyle \omega_n \) e quindi dev'essere \(\displaystyle \omega_n < \left |a\right | \). Ho centrato l'obiettivo?
Colpito ed affondato . Scherzi a parte, è giusto il tuo ragionamento
. Scherzi a parte, è giusto il tuo ragionamento
Ti ringrazio infinitamente per aver perso tempo dietro questa mia richiesta! 
Ma figurati...siamo qui per aiutarci
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