[Controlli Automatici] Raggiungibilità e Osservabilità
Buongiorno a tutti, ho un problema nel calcolare la raggiungibilità ed osservabilità di autovalori per un processo.
Mi viene dato uno schema di controllo (che non scrivo) con due sotto-processi P1(dato nel dominio del tempo) e P2 , dove P2 è dato nel dominio di Laplace. Per quanto riguarda P1 mi vengono date le matrici:
\(\displaystyle A_{1} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix} \), \(\displaystyle B_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \) e \(\displaystyle C_{1}= \begin{bmatrix} 0.5 & 1 \end{bmatrix} \).
Noto che la matrice A1 ha 2 autovalori: \(\displaystyle \lambda_{1} = a \) e \(\displaystyle \lambda_{2} = a \).
Test Raggiungibilità:
Prima voglio trovare quanti autovalori sono raggiungibili: \(\displaystyle u = rank(B_{1} \quad A_{1}B_{1}) = rank \begin{bmatrix} 2 & 2a \\ 1 & a \end{bmatrix} = 1 \forall a \) quindi vuol dire che un solo autovalore è raggiungibile dei due totali.
faccio il test per capire quale dei due è raggiungibile:
\(\displaystyle \lambda_{1} = a \) ==> \(\displaystyle rank(A_{1}-\lambda I*B_{1}) = rank \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 1 < n(dimA_{1}) \) quindi \(\displaystyle \lambda_{1} = a \) è irraggiungibile.
Però se facessi il testo per \(\displaystyle \lambda_{2} \) mi verrebbe uguale quindi va a scontrarsi col test fatto all'inizio che diceva che un solo autovalore dei due totali è raggiungibile. Come devo comportarmi?
Stessa cosa per l'osservabilità, facendo il test per vedere quanti autovalori sono osservabili viene che il rango è 1 se \(\displaystyle a = 1 \) oppure 2 se \(\displaystyle a \neq 1 \) ma poi andando a vedere quale dei due è veramente osservabile viene che tutti e due sono inosservabili (indipendentemente dal parametro "a").
Andando a convertire il sotto-processo1 dal dominio del tempo al dominio di Laplace ho:
\(\displaystyle P_{1} = C_{1}*(SI-A_{1})^{-1}*B_{1}+D = \frac{2}{s-a}\) ed è corretto, lo vedo dalla soluzione del prof. Al denominatore devo avere tutti e soli gli autovalori raggiungibili ed osservabili per il sotto-processo1 e me ne compare 1 solo, quindi vuol dire che un solo autovalore è effettivamente raggiungibile e osservabile.
Noto una contraddizione, sbaglio?
Grazie della disponibilità.
Mi viene dato uno schema di controllo (che non scrivo) con due sotto-processi P1(dato nel dominio del tempo) e P2 , dove P2 è dato nel dominio di Laplace. Per quanto riguarda P1 mi vengono date le matrici:
\(\displaystyle A_{1} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix} \), \(\displaystyle B_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \) e \(\displaystyle C_{1}= \begin{bmatrix} 0.5 & 1 \end{bmatrix} \).
Noto che la matrice A1 ha 2 autovalori: \(\displaystyle \lambda_{1} = a \) e \(\displaystyle \lambda_{2} = a \).
Test Raggiungibilità:
Prima voglio trovare quanti autovalori sono raggiungibili: \(\displaystyle u = rank(B_{1} \quad A_{1}B_{1}) = rank \begin{bmatrix} 2 & 2a \\ 1 & a \end{bmatrix} = 1 \forall a \) quindi vuol dire che un solo autovalore è raggiungibile dei due totali.
faccio il test per capire quale dei due è raggiungibile:
\(\displaystyle \lambda_{1} = a \) ==> \(\displaystyle rank(A_{1}-\lambda I*B_{1}) = rank \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 1 < n(dimA_{1}) \) quindi \(\displaystyle \lambda_{1} = a \) è irraggiungibile.
Però se facessi il testo per \(\displaystyle \lambda_{2} \) mi verrebbe uguale quindi va a scontrarsi col test fatto all'inizio che diceva che un solo autovalore dei due totali è raggiungibile. Come devo comportarmi?
Stessa cosa per l'osservabilità, facendo il test per vedere quanti autovalori sono osservabili viene che il rango è 1 se \(\displaystyle a = 1 \) oppure 2 se \(\displaystyle a \neq 1 \) ma poi andando a vedere quale dei due è veramente osservabile viene che tutti e due sono inosservabili (indipendentemente dal parametro "a").
Andando a convertire il sotto-processo1 dal dominio del tempo al dominio di Laplace ho:
\(\displaystyle P_{1} = C_{1}*(SI-A_{1})^{-1}*B_{1}+D = \frac{2}{s-a}\) ed è corretto, lo vedo dalla soluzione del prof. Al denominatore devo avere tutti e soli gli autovalori raggiungibili ed osservabili per il sotto-processo1 e me ne compare 1 solo, quindi vuol dire che un solo autovalore è effettivamente raggiungibile e osservabile.
Noto una contraddizione, sbaglio?
Grazie della disponibilità.
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