[Controlli Automatici] "Ridurre" Funzione di Trasferimento
Salve a tutti. Svolgendo un esercizio mi ritrovo alla fine con questa uscita:
$y(t)=1-0.34e^(-3t)-0.66e^(-0.2t)(cos(1.99t)+0.87sen(1.99t))$.
Più avanti la soluzione riporta
"Visto che
$arsen(1.73/sqrt(1.73^2+1.99^2))=arcos(1.99/sqrt(1.73^2+1.99^2))~=0.72$
e quindi
$1.73~=sqrt(1.73^2+1.99^2)sen(0.72)$, $1.99~=sqrt(1.73^2+1.99^2)cos(0.72)$,
è facile verificare che si ha
$cos(1.99t)+0.87sen(1.99t)
= (1.99cos(1.99t)+1.99*0.87sen(1.99t))/1.99 ~= 0.5(1.99cos(1.99t)+1.73sen(1.99t))
~=0.5(sqrt(1.73^2+1.99^2))cos(1.99t-0.72)$
per cui in conclusione
$y(t)=1-0.34e^(-3t)-0.87e^(-0.2t)cos(1.99t-0.72)$"
Ma proprio non sto capendo da dove prende i coefficienti che usa nelle funzioni arcoseno e arcocoseno che usa poi per semplificare l'uscita... Qualcuno è in grado di spiegarmelo per favore? Grazie
$y(t)=1-0.34e^(-3t)-0.66e^(-0.2t)(cos(1.99t)+0.87sen(1.99t))$.
Più avanti la soluzione riporta
"Visto che
$arsen(1.73/sqrt(1.73^2+1.99^2))=arcos(1.99/sqrt(1.73^2+1.99^2))~=0.72$
e quindi
$1.73~=sqrt(1.73^2+1.99^2)sen(0.72)$, $1.99~=sqrt(1.73^2+1.99^2)cos(0.72)$,
è facile verificare che si ha
$cos(1.99t)+0.87sen(1.99t)
= (1.99cos(1.99t)+1.99*0.87sen(1.99t))/1.99 ~= 0.5(1.99cos(1.99t)+1.73sen(1.99t))
~=0.5(sqrt(1.73^2+1.99^2))cos(1.99t-0.72)$
per cui in conclusione
$y(t)=1-0.34e^(-3t)-0.87e^(-0.2t)cos(1.99t-0.72)$"
Ma proprio non sto capendo da dove prende i coefficienti che usa nelle funzioni arcoseno e arcocoseno che usa poi per semplificare l'uscita... Qualcuno è in grado di spiegarmelo per favore? Grazie
Risposte
Cerco di spiegartelo in un modo leggermente diverso, se noi abbiamo una espressione del tipo [nota]Uso una omega unitaria in quanto ininfluente nella semplificazione.[/nota]
$acos(t)+b\sin(t)$
potremo andare a scriverla nella forma più compatta
$cos(t-\theta)$
solo se abbiamo la fortuna [nota]Vedi formula di sottrazione del coseno.[/nota] che $\a=\cos(\theta)\quad $ e $\ b=\sin(\theta)$
ma normalmente ciò non sarà possibile, dato che probabilmente $\sqrt(a^2+b^2)=c \ne 1$
se però noi andiamo a moltiplicare e dividere per $c$ l'espressione iniziale ottenendo
$c(a/c cos( t)+b/c \sin(t))$
avremo la possibilità di ottenere $\theta$ dall'arcocoseno di \(a/c\) e dall'arcoseno di \(b/c\).
Lascio a te ottenere $\theta$ per il tuo caso numerico particolare, nel quale $a=0.66$ e $b=0.66 \times 0.87$.
$acos(t)+b\sin(t)$
potremo andare a scriverla nella forma più compatta
$cos(t-\theta)$
solo se abbiamo la fortuna [nota]Vedi formula di sottrazione del coseno.[/nota] che $\a=\cos(\theta)\quad $ e $\ b=\sin(\theta)$
ma normalmente ciò non sarà possibile, dato che probabilmente $\sqrt(a^2+b^2)=c \ne 1$
se però noi andiamo a moltiplicare e dividere per $c$ l'espressione iniziale ottenendo
$c(a/c cos( t)+b/c \sin(t))$
avremo la possibilità di ottenere $\theta$ dall'arcocoseno di \(a/c\) e dall'arcoseno di \(b/c\).
Lascio a te ottenere $\theta$ per il tuo caso numerico particolare, nel quale $a=0.66$ e $b=0.66 \times 0.87$.
Grazie RenzoDF, in pratica applica le formule di addizione e sottrazione, aggiustandosi i coefficienti per l'evenienza.
Ora è chiaro, grazie ancora!
Ora è chiaro, grazie ancora!
Ho cercato, dopo il tuo suggerimento, di svolgere l'esercizio, credendo d'aver capito, ma ho ancora qualche dubbio. Non capisco perché dice:
$cos(1.99t)+0.87sen(1.99t)
= (1.99cos(1.99t)+1.99*0.87sen(1.99t))/1.99$
Perché moltiplica e divide per 1.99?
$cos(1.99t)+0.87sen(1.99t)
= (1.99cos(1.99t)+1.99*0.87sen(1.99t))/1.99$
Perché moltiplica e divide per 1.99?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo