[Controlli Automatici] Modulo di una funzione di trasferimento
Ciao a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi a rispondere a questa domanda?
È possibile che la funzione di trasferimento W(jω) di un sistema lineare e stazionario abbia modulo infinito
per un valore finito di pulsazione ω ∈ (0, +∞)? Se la risposta è negativa, si spieghi perché. Se la risposta è
positiva, si dia un esempio e lo si commenti.
Grazie mille!!
È possibile che la funzione di trasferimento W(jω) di un sistema lineare e stazionario abbia modulo infinito
per un valore finito di pulsazione ω ∈ (0, +∞)? Se la risposta è negativa, si spieghi perché. Se la risposta è
positiva, si dia un esempio e lo si commenti.
Grazie mille!!
Risposte
Ciao,
ragionando nel piano complesso, riusciamo ad avere una visione di insieme migliore, e a questo scopo penso che l'immagine qui sotto sia molto utile. Utilizzo volutamente un gergo poco formale per esprimere il concetto in un modo molto intuitivo.
$s=sigma+jomega$ è la nostra variabile complessa. Prendiamo ad esempio una funzione di trasferimento di questo tipo:
$W(s)=1/(1-s/p)$
dove $p in CC$ è un numero complesso. Quando $s=p$ il modulo della funzione di trasferimento "schizza ad infinito", e questa è la definizione "casereccia" di polo.
Il grafico di $|W(s)|$ è un grafico in 3 dimensioni, perchè $|W(s)|":"CC->RR$, quando passiamo al dominio $jomega$ non stiamo facendo altro che affettare questo grafico con il piano $sigma = 0$, e quindi:
$sigma = 0 rArr s=sigma+jomega=jomega$
quindi semplicemente sostituiamo la $s$ nell $W(s)$ con $jomega$
$W(jomega)=1/(1-(jomega)/p)$
In questo modo otteniamo, per il modulo, un grafico in 2 dimensioni, ci possiamo quindi chiedere se è possibile che questo diverga a $+oo$ in qualche caso.
Facendo riferimento all'immagine, intuitivamente, si deve che questo accade solo se $p$ è un numero immaginario puro. infatti:
$p inCC" ; " p=sigma_0+jomega_0 " ; " sigma_0=0 rArr p=jomega_0injRRsubCC$
sostituendo nella FdT:
$W(jomega)=1/(1-(jomega)/(jomega_0))=1/(1-omega/omega_0)=omega_0/(omega_0-omega)$
Dato che $omega$ e $omega_0$ sono due numeri reali, si ha che $|W(jomega)| = W(jomega)$ (solo in questo caso specifico ovvimente)
in questo caso, quindi, si ha che $lim_(omega->omega_0)|W(jomega)|=+oo$
Facendo ancora riferimento all'immagine, in basso a destra trovi un polo complesso, ora immagina di avvicinare sempre di più quel polo all'asse $jomega$, quello che accade è rappresentato nelle tre immagini superiori. Quella "gobba", detta picco di risonanza, (che indicativamente è circa in corrispondenza della frequenza del polo) diventa sempre più alta, fino a quando non diverge ad infinito quando il polo giace sull'asse.
Passando dal dominio della frequenza, a quello del tempo, più è alto il picco di risonanza (o analogamente più è basso il fattore di smorzamento, cioè in pratica la distanza dall'asse) più ci saranno fenomeni di overshoot e ringing in uscita mandando un gradino in ingresso al sistema.
ragionando nel piano complesso, riusciamo ad avere una visione di insieme migliore, e a questo scopo penso che l'immagine qui sotto sia molto utile. Utilizzo volutamente un gergo poco formale per esprimere il concetto in un modo molto intuitivo.
$s=sigma+jomega$ è la nostra variabile complessa. Prendiamo ad esempio una funzione di trasferimento di questo tipo:
$W(s)=1/(1-s/p)$
dove $p in CC$ è un numero complesso. Quando $s=p$ il modulo della funzione di trasferimento "schizza ad infinito", e questa è la definizione "casereccia" di polo.
Il grafico di $|W(s)|$ è un grafico in 3 dimensioni, perchè $|W(s)|":"CC->RR$, quando passiamo al dominio $jomega$ non stiamo facendo altro che affettare questo grafico con il piano $sigma = 0$, e quindi:
$sigma = 0 rArr s=sigma+jomega=jomega$
quindi semplicemente sostituiamo la $s$ nell $W(s)$ con $jomega$
$W(jomega)=1/(1-(jomega)/p)$
In questo modo otteniamo, per il modulo, un grafico in 2 dimensioni, ci possiamo quindi chiedere se è possibile che questo diverga a $+oo$ in qualche caso.
Facendo riferimento all'immagine, intuitivamente, si deve che questo accade solo se $p$ è un numero immaginario puro. infatti:
$p inCC" ; " p=sigma_0+jomega_0 " ; " sigma_0=0 rArr p=jomega_0injRRsubCC$
sostituendo nella FdT:
$W(jomega)=1/(1-(jomega)/(jomega_0))=1/(1-omega/omega_0)=omega_0/(omega_0-omega)$
Dato che $omega$ e $omega_0$ sono due numeri reali, si ha che $|W(jomega)| = W(jomega)$ (solo in questo caso specifico ovvimente)
in questo caso, quindi, si ha che $lim_(omega->omega_0)|W(jomega)|=+oo$
Facendo ancora riferimento all'immagine, in basso a destra trovi un polo complesso, ora immagina di avvicinare sempre di più quel polo all'asse $jomega$, quello che accade è rappresentato nelle tre immagini superiori. Quella "gobba", detta picco di risonanza, (che indicativamente è circa in corrispondenza della frequenza del polo) diventa sempre più alta, fino a quando non diverge ad infinito quando il polo giace sull'asse.
Passando dal dominio della frequenza, a quello del tempo, più è alto il picco di risonanza (o analogamente più è basso il fattore di smorzamento, cioè in pratica la distanza dall'asse) più ci saranno fenomeni di overshoot e ringing in uscita mandando un gradino in ingresso al sistema.
Ho trovato due vecchie illustrazioni che avevo preparato per una presentazione, che penso chiariscano ancora meglio il concetto:
Il diagramma di Bode è l'intrsezione tra il grafico $|W(jomega)|$ in verde e il piano in rosso.
La prima immagine rappresenta proprio il caso in cui ci sia un polo immaginario puro, mentre la seconda rappresenta il caso in cui il polo sia complesso con parte reale non nulla. Come puoi vedere, nella prima immagine il diagramma può divergere a $+oo$.
Il diagramma di Bode è l'intrsezione tra il grafico $|W(jomega)|$ in verde e il piano in rosso.
La prima immagine rappresenta proprio il caso in cui ci sia un polo immaginario puro, mentre la seconda rappresenta il caso in cui il polo sia complesso con parte reale non nulla. Come puoi vedere, nella prima immagine il diagramma può divergere a $+oo$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo