[Controlli automatici] Margine di fase

[domenico.migl]

Salve a tutti, avrei un dubbio in merito al margine di fase di una funzione di trasferimento di anello aperto $G_(ol)$. Il prof ci ha detto in aula che un sistema diventa instabile quando si hanno contemporaneamente le condizioni:

1) $|G_(ol)| = 1$
2) $arg(G_(ol)) = -180°$

nei suoi esempi i sistemi considerati avevano sempre fase minore di 180° in corrispondenza del guadagno unitario e quindi il calcolo del margine di fase veniva fatto come $180° - \phi$. Se il sistema però in corrispondenza del guadagno unitario avesse fase minore a 180° cosa succederebbe? Sono già in condizioni instabili oppure posso calcolare ugualmente il margine di fase come la "distanza" tra la fase e 180°.

(tutte queste considerazioni le facciamo dal diagramma di Bode)

[domenico.migl]

Non so se mi sono spiegato bene... Ad esempio: se volessi un margine di fase di 40° posso pensare introdurre un guadagno statico maggiore di uno così da "sollevare" la curva del modulo fin tanto che non raggiungo una fase di - 220° in corrispondenza del modulo unitario?

[Flamber]

Per il margine di fase non penso ci sia molto da dire. Devi solo applicare la definizione. In corrispondenza di $0dB$ in modulo vedi quanti gradi ti mancano a $-180°$. Se il tuo sistema è già sotto $-180°$ prima della frequenza di crossover, il sistema è già instabile. La differenza te la puoi calcolare, ma ti viene un margine di fase negativo, e ovviamente non va bene.

Questo va bene a garantire la stabilità nei casi più semplici, ma in generale io utilizzo un altro approccio.

Tipicamente nelle specifiche di progetto c'è anche un overshoot $\bars$ massimo del sistema. Da questo ti puoi ricavare un valore minimo di smorzamento $\xi_min$, che si traduce in dei valori massimi $T_P$ e $S_P$ dei picchi di risonanza di $T(j\omega)$ ed $S(j\omega)$. Fissato $\xi$, inoltre, a partire dalle specifiche sul tempo di salita e di assestamento, si ottiene un ulteriore vincolo sulla frequenza di taglio $\omega_c$

All'inizio del progetto del controllore hai una certa $L(s)$. Sul piano di Nichols puoi disegnare $L(j\omega)$ e soprattutto circonferenze a $M_P$ ed $M_S$ costanti (che ti ricavi da $T_P
A questo punto, ti basta aggiungere poli e zeri a $Gc(s)$ (e quindi a $L(s)$) in modo da far si che la curva di $L$ su Nichols oltre a passare alla destra dell'origine, non intersechi questi cerchi. Solo in questo modo puoi garantire davvero la stabilità del sistema