[Controlli Automatici] Luogo delle radici

[pr0wner]

Salve a tutti.
Ho svolto con (credo) successo i primi tre punti di questa traccia di automatica, ma non riesco a capire come svolgere il punto d. Qualcuno può aiutarmi?



Grazie in anticipo

EDIT: Ho notato che l'immagine è troppo grande e non si vede, per vederla basta cliccare sopra con il tasto destro e aprirla in una nuova scheda

[D4lF4zZI0]

Per quanto riguarda il punto d, l'esercizio ti chiede di trovare il valore di $k$ affinchè il sistema ad anello chiuso abbia due poli complessi e coniugati con parte reale $-2$. La cosa è assai semplice: calcolati la fdt del sistema ad anello chiuso che risulterà, ovviamente, funzione di $k$. Studia il denominatore di tale fdt ed imponi che due poli abbiamo le specifiche richieste e determini così $k$

[Sn1p31]

ma come si procede considerando che non specifica quanto sia la parte immaginaria di questi poli?

[pr0wner]

Il denominatore è

$ s^3 + 11s^2 +10s +Ks +3K = 0 $

Ma non ho capito cosa devo fare ora..

[D4lF4zZI0]

Premesso che non ho controllato il polinomio caratteristico, ma detto ciò ordiniamolo nel seguente modo $ s^3+11s^2+(10+k)s+3k $ e poniamolo uguale al seguente polinomio $ (s+a)[(s+c)^2+b^2] $ che è ancora un polinomio di terzo grado, ma in cui compare esplicitamente il termine binomio su cui lavorare.
Il termine binomio, come puoi facilmente vedere, l'ho scritto già nell'ipotesi che abbia poli complessi e coniugati con parte reale negativa.
Ora la parte reale l'abbiamo già e vale $c=2$ quindi andando a sostituire, si ha:
$ s^3+11s^2+(10+k)s+3k=(s+a)[(s+2)^2+b^2] $
Ora applicando il principio di identità dei polinomi si arriva ( ti salto i passaggi ) al seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:
$ { ( 4+a=11 ),( 4+b^2+4a=10+k ),( 4a+ab^2=3k ):} $
le cui soluzioni sono:
$ { ( a=7 ),( k=31.5 ),( b^2=9.5):} $
Quindi hai risolto, il polinomio caratteristico diventa $ (s+7)[(s+2)^2+9.5]$ che ha due poli complessi e coniugati con parte reale $-2$ e hai trovato che per ottenere ciò occorre $k=31.5$