[Controlli Automatici] esercizio

[nicola.cortese.7]

Salve, mi servirebbe una mano per capire come risolvere questo esercizio:
Si valuti, se possibile, la risposta a cui si assesta l'uscita del sistema quando l'ingresso è $ r(t)=sin(t) $
$ G(s)=(s+1)/(s^2+1) $

essendo un semplice sistema in catena diretta so che $ Y(s)=G(s)* R(s) $ , dove la laplace trasformata di r(t) è $ R(s)= 1/(s^2+1) $

Quindi $ Y(s)= (s+1)/(s^2+1)^2 $

Ora , so che che basterebbe antitrasformare , per es. tramite fratti semplici , ottenere y(t) in modo da vedere se si assesta ad un valore per "t" >>0 o se diverge .

Il prof in classe però non ha dovuto fare questi ultimi passaggi per arrivare alla soluzione perchè ha detto che " i modi associati ad una coppia di poli immaginari con molteplicità 2 sono del tipo $ tsin(t) $ " arrivando subito alla soluzione che il sistema diverge.

E' questa ultima parte che non mi è chiara ... qualcuno saprebbe spiegarmela

[Sinuous]

Considera che:

$(s+1)/(s^2+1)^2= s/(s^2+1)^2+1/(s^2+1)^2$

dove: $L^-1[s/(s^2+1)^2]=1/2 *t*sin(t)$

[nicola.cortese.7]

Ok... se invece mi venisse chiesto di valutare se l'uscita y(t) dello stesso sistema, messo in retroazione, si assesta ?
So che $ W(s) = (G(s)) /( 1 + G(s))=(s+1)/(s^2+s+2) $ come faresti ?

[Sinuous]

Tu come faresti? Prova ad abbozzare una risposta...

[nicola.cortese.7]

Io farei così: Innanzitutto verificherei che la W(s) sia BIBO stabile. Questa prima condizione nel mio caso è verificata perchè i poli del denominatore della FdT sono a parte reale negativa.
Successivamente mi calcolerei W(j1)
$ W(j1)=(1+j)/(1+j)=1 $ quindi $ abs(W(j1))=1 $ e $ arg(W(j1))=0 $
Ora trovo $ y(t)=1*1 sin (1t+0)=sin(t) $

E' esatto procedere in questo modo in modo da evitare di antitrasformare ?

[Quinzio]

Non e' impossibile antitrasformare.

$ W(s) = (G(s)) /( 1 + G(s))=(s+1)/(s^2+s+2) $

$(s+1)/(s^2+s+1/4 + 7/4)$

$(s+1)/((s+1/2)^2 + 7/4)$

$(s+1/2)/((s+1/2)^2 + 7/4) + (1/2)/((s+1/2)^2 + 7/4)$

$(s+1/2)/((s+1/2)^2 + 7/4) + 1/(\sqrt(7)) (\sqrt(7)/2)/((s+1/2)^2 + 7/4)$

Antitrasformando

$e^(-1/2 t)\cos(\sqrt(7)/2 t) + 1/(\sqrt(7)) e^(-1/2 t)\sin(\sqrt(7)/2 t)$

[nicola.cortese.7]

"Quinzio":Non e' impossibile antitrasformare.

$ W(s) = (G(s)) /( 1 + G(s))=(s+1)/(s^2+s+2) $

$(s+1)/(s^2+s+1/4 + 7/4)$

$(s+1)/((s+1/2)^2 + 7/4)$

$(s+1/2)/((s+1/2)^2 + 7/4) + (1/2)/((s+1/2)^2 + 7/4)$

$(s+1/2)/((s+1/2)^2 + 7/4) + 1/(\sqrt(7)) (\sqrt(7)/2)/((s+1/2)^2 + 7/4)$

Antitrasformando

$e^(-1/2 t)\cos(\sqrt(7)/2 t) + 1/(\sqrt(7)) e^(-1/2 t)\sin(\sqrt(7)/2 t)$

Nel caso in cui volessi antitrasformare per trovare y(t) dovrei fare l'antitrasformata di W(s)*R(s)=Y(s), cioè
di $ Y(s) =(s+1)/(s^2+s+2) * (10)/(s^2+100) $ che sarebbe ancora più difficile :'/

[Sinuous]

Ai fini della tua analisi, potresti semplicemente procedere con la trasformata di Fourier:

$X(ω)=F[sin(t)]= π/j*(δ(ω-1)- δ(ω+1))$

$Y(ω)= X(ω)*H(ω)$

Dove: $H(ω)=(j ω+1)/ (-ω^2+jω+2)$

Quindi: $Y(ω)= π/j*(δ(ω-1)- δ(ω+1))*H(1)= π/j*(δ(ω-1)- δ(ω+1))$

Infine: $F^-1[Y(ω)]=sin(t)$