[Controlli Automatici] Errore a regime e margine
Ciao a tutti! Spero qualcuno possa darmi una mano nel capire dove sto sbagliando in questo esercizio..
Calcolare i valori di $k$ che soddisfano le specifiche:
1) il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile;
2) per un ingresso di riferimento $r(t)= t*\delta_(-1)(t)$ , l'errore a regime sia $e_\oo=lim_(t->\oo)(y_(des)-y(t))<=0.5$;
3) il margine di guadagno $m_a$ sia non inferiore a 2.
NOTA: $y_(des)$ è legata al riferimento dalla relazione $y_(des)(t)=k_d*r(t)=2*r(t)$.
Mentre $\delta_(-1)(t)$ è la funzione gradino unitario.
1) Ho calcolato il $K$ critico e risulta che il sistema a ciclo chiuso è stabile per valori di $k<20$.
2) per il calcolo dell'errore mi sono ricondotto allo schema
e ho calcolato
$E(s)=(R(s))/(1+G(s))$
$e_(rp)=lim_(s->0)s*E(s)=s*(s+10)^2/(s*[s(s+10)^2+100*k])<=1/2$
Ho ottenuto $k>=2$
3) Ho calcolato la pulsazione in corrispondenza del quale ho fase di -180, ho trovato $\omega_(pc)=10*((rad)/s)$
In corrispondenza di questa pulsazione ho impostato $|k|/(|j\omega_(pc)||(j\omega_(pc)/10+1)^2|)>=2$ ottenendo $k>=40$.
I risultati però sono in contrasto, il sistema è instabile per valori di k superiori a 20...
Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie
Calcolare i valori di $k$ che soddisfano le specifiche:
1) il sistema a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile;
2) per un ingresso di riferimento $r(t)= t*\delta_(-1)(t)$ , l'errore a regime sia $e_\oo=lim_(t->\oo)(y_(des)-y(t))<=0.5$;
3) il margine di guadagno $m_a$ sia non inferiore a 2.
NOTA: $y_(des)$ è legata al riferimento dalla relazione $y_(des)(t)=k_d*r(t)=2*r(t)$.
Mentre $\delta_(-1)(t)$ è la funzione gradino unitario.
1) Ho calcolato il $K$ critico e risulta che il sistema a ciclo chiuso è stabile per valori di $k<20$.
2) per il calcolo dell'errore mi sono ricondotto allo schema
e ho calcolato
$E(s)=(R(s))/(1+G(s))$
$e_(rp)=lim_(s->0)s*E(s)=s*(s+10)^2/(s*[s(s+10)^2+100*k])<=1/2$
Ho ottenuto $k>=2$
3) Ho calcolato la pulsazione in corrispondenza del quale ho fase di -180, ho trovato $\omega_(pc)=10*((rad)/s)$
In corrispondenza di questa pulsazione ho impostato $|k|/(|j\omega_(pc)||(j\omega_(pc)/10+1)^2|)>=2$ ottenendo $k>=40$.
I risultati però sono in contrasto, il sistema è instabile per valori di k superiori a 20...
Qualcuno potrebbe darmi una mano? Grazie
Risposte
Quando dice il margine di guardagno non inferiore a $2$, intende a $2dB$ ?
Non lo specifica..
Ammesso che siano $dB$ ( di solito è questa l'unità di misura ), hai commesso un errore nel calcolarti $k$; infatti devi fare:
$ |F(jomega_pi)|_(dB)>=2 hArr 20log_10|F(jomega_(pi))|>=2 $
ti pare?
PS: ricordati di cambiare il segno al margine di guadagno ( ricorda la sua definizione )
$ |F(jomega_pi)|_(dB)>=2 hArr 20log_10|F(jomega_(pi))|>=2 $
ti pare?
PS: ricordati di cambiare il segno al margine di guadagno ( ricorda la sua definizione )
Vediamo se ho capito..
Dalla definizione di margine di guadagno:
$m_a=1/(|F(j\omega_(\pi))|)$
dovrei imporre $1/(|F(j\omega_(\pi))|)>=2$
Risolvendo..
$20/k>=2$ ;
$k<=10$ ..equivale a $20*log(k)<=10$, cioè $k<=10^0.5dB$
Concludendo: i valori di k accettabili sono $2<=k<=10$ (da esprimere in dB). Giusto?
Dalla definizione di margine di guadagno:
$m_a=1/(|F(j\omega_(\pi))|)$
dovrei imporre $1/(|F(j\omega_(\pi))|)>=2$
Risolvendo..
$20/k>=2$ ;
$k<=10$ ..equivale a $20*log(k)<=10$, cioè $k<=10^0.5dB$
Concludendo: i valori di k accettabili sono $2<=k<=10$ (da esprimere in dB). Giusto?
Non ti trovi, perchè quel $2$ non è un numero naturale ma è misurato in $dB$.
Quindi devi trasformare la relazione che hai scritto nel seguente modo:
$ [1/(|F(jomega_pi)|)]_(dB)>=2 rArr -20log_(10)|F(jomega_pi)|>=2 rArr log_10(k/20)<=-0.1 rArr k<=15.88 $
Quindi mettendo a sistema la relazione precedente con le altre derivanti dalle precedenti specifiche, ottieni $ 2<=k<=15.88 $
Quindi devi trasformare la relazione che hai scritto nel seguente modo:
$ [1/(|F(jomega_pi)|)]_(dB)>=2 rArr -20log_(10)|F(jomega_pi)|>=2 rArr log_10(k/20)<=-0.1 rArr k<=15.88 $
Quindi mettendo a sistema la relazione precedente con le altre derivanti dalle precedenti specifiche, ottieni $ 2<=k<=15.88 $
Ah ecco, ora è chiaro. 
Grazie mille!!
Grazie mille!!
Prego figurati 
Posso disturbarti con un altro problemino??
Ho questo schema a blocchi, il processo è caratterizzato da un modello ingresso-uscita mostrato nell'equazione sotto lo schema.
Per la funzione di trasferimento $W_R(s)$ dovrei individuare i modi di evoluzione, fissato $k=0.5$.
Ho calcolato prima la $P(s)$ e poi $W_R(s)$..
$P(s)=8/((s+1)^3)$
$W_R(s)=4/(s+1)*(8*k)/(s*(s+1)^2+2*k)$
Sostituendo il valore di k..
$W_R(s)=16/((s+1)*(s^3+2*s^2+s+1))$
Per trovare i modi di evoluzione, dovrei scomporre in fratti semplici. Uno dei polinomi a denominatore, però, è del terzo ordine (non riesco a scomporlo con Ruffini). Come si fa in questi casi?
Ho questo schema a blocchi, il processo è caratterizzato da un modello ingresso-uscita mostrato nell'equazione sotto lo schema.
Per la funzione di trasferimento $W_R(s)$ dovrei individuare i modi di evoluzione, fissato $k=0.5$.
Ho calcolato prima la $P(s)$ e poi $W_R(s)$..
$P(s)=8/((s+1)^3)$
$W_R(s)=4/(s+1)*(8*k)/(s*(s+1)^2+2*k)$
Sostituendo il valore di k..
$W_R(s)=16/((s+1)*(s^3+2*s^2+s+1))$
Per trovare i modi di evoluzione, dovrei scomporre in fratti semplici. Uno dei polinomi a denominatore, però, è del terzo ordine (non riesco a scomporlo con Ruffini). Come si fa in questi casi?
Complicato questa volta...ti dirò come sono riuscito a scomporlo ( spero che nessun matematico lo veda questo post ).
Per prima cosa ho fatto calcolare a matlab una soluzione reale dell'equazione $ s^3+2s^2+s+1=0 $; tale soluzione è $s=-1.7549$.
Infine, applicando ruffini, è risultato:
$ s^3+2s^2+s+1=(s+1.7549)(s^2+0.2451s+0.57) $
Per prima cosa ho fatto calcolare a matlab una soluzione reale dell'equazione $ s^3+2s^2+s+1=0 $; tale soluzione è $s=-1.7549$.
Infine, applicando ruffini, è risultato:
$ s^3+2s^2+s+1=(s+1.7549)(s^2+0.2451s+0.57) $
Chissà a mano come si potrebbe scomporre.. il calcolatore non credo lo si abbia a disposizione per gli esami
Potresti controllare se le fdt che ho calcolato vengono anche a te uguali?
Potresti controllare se le fdt che ho calcolato vengono anche a te uguali?
Si mi trovo con la fdt.
Se all'esame vien fuori questo polinomio caratteristico ( o uno simile ), la vedo dura; dovresti andare a tentativi per trovare la soluzione reale.
Non avendo il calcolatore, però, puoi ragionare nel seguente modo:
1) avendo un polinomio di 3° grado con coefficienti tutti positivi, per annullarlo la soluzione deve essere per forza negativa ( solo così compaiono dei segni negativi );
2) calcoli come primo tentativo $p(s=-1)=1>0$;
3) calcoli come secondo tentativo $p(s=-2)=-1<0$;
4) dunque la soluzione deve stare per forza nell'intervallo $]-2;-1[$;
5) dividi l'intervallo in due parti ( metodo di bisezione ) e calcoli $p(s=-1.5)=0.625>0$; quindi la soluzione sta nell'intervallo $]-2;-1.5[$;
6)dividi ulteriormente l'intervallo in due parti e calcoli $p(s=-1.75)=0.016$ che è praticamente la tua soluzione ( anche se potresti continuare con un altra divisione dell'intervallo per la soluzione più precisa )
Se all'esame vien fuori questo polinomio caratteristico ( o uno simile ), la vedo dura; dovresti andare a tentativi per trovare la soluzione reale.
Non avendo il calcolatore, però, puoi ragionare nel seguente modo:
1) avendo un polinomio di 3° grado con coefficienti tutti positivi, per annullarlo la soluzione deve essere per forza negativa ( solo così compaiono dei segni negativi );
2) calcoli come primo tentativo $p(s=-1)=1>0$;
3) calcoli come secondo tentativo $p(s=-2)=-1<0$;
4) dunque la soluzione deve stare per forza nell'intervallo $]-2;-1[$;
5) dividi l'intervallo in due parti ( metodo di bisezione ) e calcoli $p(s=-1.5)=0.625>0$; quindi la soluzione sta nell'intervallo $]-2;-1.5[$;
6)dividi ulteriormente l'intervallo in due parti e calcoli $p(s=-1.75)=0.016$ che è praticamente la tua soluzione ( anche se potresti continuare con un altra divisione dell'intervallo per la soluzione più precisa )
Ok grazie, e speriamo non capiti! 
Eh si te lo auguro, ma solo perchè è una perdita di tempo non perchè non si possa fare
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