[Controlli Automatici] Dubbi su risposta analitica e metodo dei residui.

[Marold]

Ciao a tutti, sono alle prese con l'esame di Automatica e ho problemi con l'antitrasformata di Laplace e il metodo dei residui.

La fdt che sto analizzando è

$ F(s) = \frac{2(s^2 - 5s)}{s^3 + 3.5s^2 + 50s} $

Devo calcolare l'espressione analitica e tracciare l'andamento della risposta indiciale. Per cui ho che:

$ Y(s) = \frac{1}{s} \rightarrow Y(s) = \frac{2(s^2 - 5s)}{s(s^3 + 3.5s^2 + 50s)} \rightarrow Y(s) = \frac{2s-10}{s(s^2 + 3.5s + 50)} $

Qui utilizzo i fratti semplici

$ \frac{2s - 10}{s(s^2 + 3.5s + 50)} = \frac{K_1}{s} + \frac{K_2s + K_3}{s^2+3.5s+50} $

Qui entro in confusione. Stando alla spiegazione del mio professore, ignoro la singola $ s $ al denominatore e pongo $ s = 0 $, ottendendo $ K_1 = -0.2 $.

Per ricavare $ K_3 $ e $ K_2 $, riscrivo il tutto così

$ \frac{2s-10}{s(s^2 + 3.5s + 50)} = -\frac{0.2}{s} + \frac{K_2s + K_3}{s^2+3.5s+50} $

Ora, durante la sua lezione ha risolto un esercizio simile e per ricavare i due residui mancanti ha prima assegnato 1 ad s e poi 2. Il mio dubbio è questo: i valori sono scelti totalmente a caso o c'è una logica dietro? Perché negli esercizi che continuo a svolgere mi ritrovo con residui diversi dai suoi, e continuo a non capire perché. In questo caso, ponendo $s = 1$ ottengo:
$K_2 = 2.7 - K_3$
E a sua volta, ponendo $s=2$ ottengo
$K_3 = -2.85-2K_2$

Risolvendo il sistema trovo gli scarti
$ K_2 = -5.55 $
$ K_3 = 8.25 $
da cui ottengo
$ -\frac{0.2}{s} + \frac{-5.55s + 8.25}{s^2+3.5s+50} $

Ma non so se è corretto.

Vi ringrazio tantissimo, sto sbattendo la testa su questo argomento da giorni. Ho provato a mandare delle email, ma ahimé nessuna risposta.

[Quinzio]

Quindi ti stai chiedendo se queste due espressioni sono la stessa cosa.

$ \frac{2s-10}{s(s^2 + 3.5s + 50)} $

$ -\frac{0.2}{s} + \frac{-5.55s + 8.25}{s^2+3.5s+50} $

In alcuni casi, come questo, fai una verifica "quick and dirty", ovvero prendi una calcolatrice o uno strumento di calcolo provi con qualche valore di $s$. Ad es. $1, 2, 5, 10$.
Le due espressioni devono dare lo stesso valore.
Non e' un metodo ortodosso, ma in questi casi semplici, se c'e' qualcosa che non va, di solito la verita' salta fuori molto presto.