[Controlli Automatici] dimostrazione della formula di Lagrange

[crisz96]

Salve, ho acquistato il libro "Fondamenti di controlli automatici" di bolzen-scattolini-schiavoni. Nel punto in cui viene introdotta la formula di Lagrange, viene detto che essa si ottiene partendo dalla forma di stato, "per semplice sostituzione" [sic]. Ho provato in tutti i modi a verificare la formula, ma non ci sono riuscito in nessun modo, nemmeno partendo dal risultato e procedendo a ritroso! Noto inoltre che mi mancano alcune condizioni al contorno, che il libro non introduce (saranno banali anche quelle?).

Vi posto i passaggi:

[img]https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.net/v/t35.0-12/26037238_10209985868873747_1561098192_o.jpg?oh=d7b1cc15a4edcaf11058c5aa59c81bbf&oe=5A42A716[/img]

[img]https://scontent-mxp1-1.xx.fbcdn.net/v/t35.0-12/26036174_10209985870793795_648169120_o.jpg?oh=faaabdb39e4de0e7ddf66929567963e9&oe=5A428065[/img]


chiedo scusa per le foto (al posto delle formule in latex), ma visto che il testo è strafamoso ci tenevo a fotografare il riferimento.
Spero di non essermi rimbambito io e di non fare una brutta figura! Grazie in anticipo.

Edit: le foto non sono un granché, preferite le formule in latex?

[donald_zeka]

È la formula risolutiva generale del seguente problema di cauchy:

$doty=a(t)y+b(t)$
$y(t_0)=y_(t_0)$

La soluzione generale è somma della soluzione della omogenea associata e di una soluzione particolare della non omogenea (concetti base sulle equazioni differrnziali che dovresti sapere).

La soluzione della omogenea si trova facilmente, sia essa $y_0(t)$, una soluzione particolare della non omogenea si trova con il metodo di variazione della costante, ossia $y_p(t)=c(t)y_0(t)$

Inserisci $y_p(t)$ nella equazione differenziale e trovi quanto vale $c(t)$

[crisz96]

Ma il libro dice che A e B sono costanti, quindi io la risolvevo come un'equazione a variabili separabili!
Grazie mille per le dritte, non riuscivo a venirne fuori

[donald_zeka]

Risolvi l'equazione posta da me in cui $a(t)$ è una generica funzione, e quindi vedi cosa succede nel caso particolare in cui $a(t)=A$ costante (dal generale si va al particolare, mai al contrario)

[crisz96]

Senza ombra di dubbio! Ma giuro che una riga sopra c'era scritto "le matrici A, B, C, D sono reali, costanti e di dimensioni opportune", dunque ne avevo tempo per scervellarmi!

[donald_zeka]

Si se y invece di essere una funzione scalare è un vettore, allora $a$ diventa una matrice etc, ma la risoluzione è la stessa