[Controlli Automatici] Determinare lo stato di equilibrio

[Shika93]

Il modello (parziale) di un reattore per la polimerizzazione è descritto dalle seguenti equazioni, dove, in variabili adimensionali, x1 è la concentrazione del monomero e x2 è la concentrazione dell’iniziatore e u è la portata volumetrica dell’iniziatore.

$\{(\dotx_1(t)=10(6-x_1(t))-2x_1(t)sqrt(x_2(t))),(\dotx_2(t)=80u(t)-10x_2(t)),(y(t)=x_1(t)):}$

si determini lo stato di equilibrio che corrisponde all’ingresso costante $\baru = 0.125$

Dunque io so che il punto di equilibrio è definito dalla coppia $(\barx, \baru)$ e l'uscita di equilibrio sarà $\bary=g(\barx,\baru)$

Io in questo sistema ho trovato $\barx_2$ sostituendo il valore di $\baru$, ovvero:

$\barx_2=10-10\barx_2 \rightarrow \barx_2=10/11$

Idem per $\barx_1$ dove gli ho sostituito il valore di $\barx_2$

$\barx_\=60-10\barx_1-2\barx_10.95 \rightarrow \barx_1=4.65$

Fatto ciò ho determinato che la matice
$\barX=[[\barx_1],[barx_2]]=[[4.65],[0.61]]$

quindi infine ho trovato che
$\{(\bary=\barx_1=4.65),(\baru=(\barx_2+10barx_2)/80=0.125):}$

Con ciò posso dire che gli elementi di $\barX$ sono i punti di equilibrio?

[Nietzsche610]

No, i punti di equilibrio sono i punti in cui il sistema non subisce variazioni.
Operativamente li ottieni imponendo l'annullarsi delle derivate.

[Shika93]

Quindi devo risolvere il sistema
$\{(10(6-x_1(t))-2x_1(t)sqrt(x_2(t))=0),(80u(t)-10x_2(t)=0):}$
?
Però $u(t)$ cosa dovrebbe valere? Devo sostituire $\baru$ nella seconda derivata e risolvere il sistema?
Se è così è la cosa che ho fatto...

[Nietzsche610]

Se sostituisci $\bar(u)$ nella seconda equazione ottieni $\bar(x)_2=1$. Ottieni quindi:

$\{(60-10\bar(x)_1-2\bar(x)_1(+-1)=0),(\bar(x)_2=1):}$.

Quindi le configurazioni di equilibrio del sistema per quell'ingresso sono due e risultano a conti fatti:

$(\bb(x)^(eq))_1=(5,1),(\bb(x)^(eq))_2=(15/2,1) $

[Shika93]

Ah ecco. Avevo il dubbio sulla radice. Grazie mille!