[Controlli Automatici] Determinare equazione sistema a partire dalla risposta libera

[aknoh]

Buongiorno,
avrei il seguente esercizio da risolvere:

"Un sistema del terzo ordine ammette la risposta libera: $ {:y:}_(\ \l)(t)=te^-t+e^(-2t), t>0 $ .
Qual è l'equazione caratteristica del sistema? Da quali condizioni iniziali parte l'evoluzione libera (1)? "

Qualcuno potrebbe darmi una mano? Non saprei proprio come impostarlo. Grazie a chiunque mi darà una mano.

[Quinzio]

Scusa, ma le condizioni iniziali quali mai saranno ?
Questo ad esempio ? $lim_(t -> 0) y_l$

Eq. caratteristica: fai la trasformata di Laplace...

[aknoh]

"Quinzio":Scusa, ma le condizioni iniziali quali mai saranno ?
Questo ad esempio ? $lim_(t -> 0) y_l$

Eq. caratteristica: fai la trasformata di Laplace...

Ok, quindi se ho capito bene il primo punto si risolve così:
1) Ricavo la FdT

$ W(s)= 1/(s+1)^2+1/(s+2) $

2) Da questo trovo l'equazione differenziale: $ (d^3y)/dt^3+4(d^2y)/dt^2+5dy/dt+2y(t)=3u(t)+3(du)/dt+(d^2u)/dt^2 $

Il secondo punto non l'ho ben capito. O è troppo semplice o mi sono perso qualcosa
La richiesta di un altro esercizio simile a questo dice: "Determinare l'evoluzione libera a partire dalle condizioni iniziali $ y(0)=0 $ ", $ y^((1))(0)=0 $ , $ y^((2))(0)=1 $ del sistema (...)"

[Quinzio]

Il secondo punto qual è ? ....

In ogni caso, se hai delle condizioni iniziali devi tornare a trasformare nel dominio di Laplace, pero' tenendo conto delle condizioni iniziali... ovvero quando si calcola:
$L{y'(t)}(s) = sY(s) -y(0) $
si pone implicitamente la condizione iniziale $y(0)$ nulla, ovvero $y(0)=0$.
Se hai delle condizioni iniziali, devi tenerne conto.

Es:
$y' +y = 0$
con $y(0)=2$
trasformata...
$sY-y(0)+Y = 0$
$sY-2+Y = 0$
$Y = 2/(s+1)$

da cui
$y(t) = 2e^(-t)$

ok ?

[aknoh]

"Quinzio": (...)

Grazie, il tuo esempio è chiaro, ma guardando alcuni esercizi svolti trovo condizioni iniziali che riguardano anche le derivate prime (e anche seconde in alcuni casi) dell'evoluzione libera. Cioè, non solo $ {:y:}_(l)(0) $ , ma anche $ {:y:}_(l)'(0) $ e $ {:y:}_(l)''(0) $ . Vedi anche l'esempio dell'esercizio che ho citato nel mio precedente messaggio

[Quinzio]

"aknoh":[quote="Quinzio"] (...)

Grazie, il tuo esempio è chiaro, ma guardando alcuni esercizi svolti trovo condizioni iniziali che riguardano anche le derivate prime (e anche seconde in alcuni casi) dell'evoluzione libera. Cioè, non solo $ {:y:}_(l)(0) $ , ma anche $ {:y:}_(l)'(0) $ e $ {:y:}_(l)''(0) $ . Vedi anche l'esempio dell'esercizio che ho citato nel mio precedente messaggio[/quote]

Speravo che ci riuscivi da solo a capire questa generalizzazione. Sicuramente ti è stata spiegata.
In questo caso sono due operazioni "annidate", ovvero la derivata seconda è la derivata della derivata prima, quindi...
oppure guarda qui a pag 4
http://www.elettrotecnica.unina.it/files/corti/upload/Lezione%2017%20Metodo%20della%20Trasformata%20di%20Laplace_ok.pdf

[aknoh]

Doppio post

[aknoh]

"Quinzio": (...)

Grazie per il link!
Quindi, tornando al nostro esercizio, quando faccio la trasformata di Laplace per poi ricavare l'equazione differenziale devo tenere conto delle condizioni iniziali (cosa che non ho fatto).

Allora:
- $ {:y:}_l(0)=1 $
- $ {:y:}_l'(0)=-1 $
- $ {:y:}_l''(0)=2 $

Come inserisco questi valori nell'equazione differenziale?
Diventa così?
$ (d^3y)/dt^3+4(d^2y)/dt^2+5dy/dt+2y(t)-{:y:}_l(0)-{:y:}_l'(0)-{:y:}_l''(0)=3u(t)+3(du)/dt+(d^2u)/dt^2 $

[aknoh]

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