[Controlli Automatici] Controllore con il metodo del luogo delle radici.
Buonasera.
Data la funzione $ G(s)=(s+3)/((s+1)(s-1)) $ si costruisca un controllore con il metodo delle radici che soddisfa simultaneamente le seguenti specifiche:
- errore nullo per riferimenti costanti;
- gli zeri del controllore coincidono con il punto $ z = -1 $ ;
- il centro degli asintoti del luogo di $ C(s)G(s) $ coincide con $ sigma = -2 $ .
Per quanto riguarda la prima richiesta, ho pensato al fatto che l'errore nullo per riferimenti costanti significa che per ingressi di tipo rampa e gradino l'errore debba essere nullo, dunque aggiungo un polo nell'origine.
Per quanto riguarda il secondo punto credo basti aggiungere uno zero del tipo $ (s+1) $ .
Per quanto riguarda il terzo punto so che il baricentro degli asintoti posso calcolarlo come: $ sigma_a = (sum(poli) - sum(zeri))/(|n-m|) $ dove $ |n-m| $ è il modulo della differenza di grado del denominatore e del numeratore. Il mio problema in questo caso è che non so a priori questo grado.
La soluzione è: $ C(s)= 28(s+1)/(s(s+8) $
Grazie mille per l'aiuto.
Data la funzione $ G(s)=(s+3)/((s+1)(s-1)) $ si costruisca un controllore con il metodo delle radici che soddisfa simultaneamente le seguenti specifiche:
- errore nullo per riferimenti costanti;
- gli zeri del controllore coincidono con il punto $ z = -1 $ ;
- il centro degli asintoti del luogo di $ C(s)G(s) $ coincide con $ sigma = -2 $ .
Per quanto riguarda la prima richiesta, ho pensato al fatto che l'errore nullo per riferimenti costanti significa che per ingressi di tipo rampa e gradino l'errore debba essere nullo, dunque aggiungo un polo nell'origine.
Per quanto riguarda il secondo punto credo basti aggiungere uno zero del tipo $ (s+1) $ .
Per quanto riguarda il terzo punto so che il baricentro degli asintoti posso calcolarlo come: $ sigma_a = (sum(poli) - sum(zeri))/(|n-m|) $ dove $ |n-m| $ è il modulo della differenza di grado del denominatore e del numeratore. Il mio problema in questo caso è che non so a priori questo grado.
La soluzione è: $ C(s)= 28(s+1)/(s(s+8) $
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
Allora da solo sono riuscito a risolvere i punti principali, arrivando ad avere un controllore del tipo: $ R(s)= k(s+1)/(s(s+8) $ .
La mia domanda è come trovo il coefficiente k? Ho pensato con la tabella di Routh per la stabilità del sistema controllore-f.d.trasferimento trovo il dominio di accettazione di k. Poi per il calcolo vero e proprio ho pensato di risolvere il sistema per i punti critici: $ { ( f(s,k)=0 ),( (partial )/(partial s)f(s,k)=0 ):} $ Però con i calcoli non mi torna. Consigli?
La mia domanda è come trovo il coefficiente k? Ho pensato con la tabella di Routh per la stabilità del sistema controllore-f.d.trasferimento trovo il dominio di accettazione di k. Poi per il calcolo vero e proprio ho pensato di risolvere il sistema per i punti critici: $ { ( f(s,k)=0 ),( (partial )/(partial s)f(s,k)=0 ):} $ Però con i calcoli non mi torna. Consigli?
Considera che la rete di controllo deve avere, per quanto possibile, un grado basso.
Dai requisiti di sistema il controllore dovrà avere uno zero in: $-1$ e un polo nell’origine, quindi come minimo: $C(s)=K*(s+1)/s$. E’ evidente però che con questo $C(s)$ la formula del baricentro degli asintoti su $G(s)C(s)$ non restituisce il valore: $-2$.
Occorre aggiungere un grado di libertà: in assenza di altri requisiti, puoi ragionevolmente provare ad aggiungere un polo reale, cioè: $C(s)=K*(s+1)/(s(s+p1))$. Applicando il requisito del baricentro alla funzione $G(s)C(s)$ così formulata ottieni necessariamente: $p1=8$.
Un coefficiente moltiplicativo $K$ maggiore di $15$ è poi necessario per portare i poli complessi coniugati a sinistra: il valore $K=28$ potrebbe tuttavia derivare da qualche altro requisito non ancora espresso.
Dai requisiti di sistema il controllore dovrà avere uno zero in: $-1$ e un polo nell’origine, quindi come minimo: $C(s)=K*(s+1)/s$. E’ evidente però che con questo $C(s)$ la formula del baricentro degli asintoti su $G(s)C(s)$ non restituisce il valore: $-2$.
Occorre aggiungere un grado di libertà: in assenza di altri requisiti, puoi ragionevolmente provare ad aggiungere un polo reale, cioè: $C(s)=K*(s+1)/(s(s+p1))$. Applicando il requisito del baricentro alla funzione $G(s)C(s)$ così formulata ottieni necessariamente: $p1=8$.
Un coefficiente moltiplicativo $K$ maggiore di $15$ è poi necessario per portare i poli complessi coniugati a sinistra: il valore $K=28$ potrebbe tuttavia derivare da qualche altro requisito non ancora espresso.
Grazie mille, dato che non ci sono altri requisiti, credo abbia preso semplicemente un valore che soddisfi il criterio di Routh. Avevo provato a vedere se potesse essere dato dall'analisi dei punti critici, $ { (f(s,k)=0, (partial )/(partial s)f(s,k)=0 ):} $ , ma non torna.
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