[Controlli Automatici, Controlli Automatici II] NYQUIST diagrammi a seconda del parametro

[Desirio]

Salve a tutti, vorrei studiare la stabilità di un sistema a controreazione considerando la funzione guadagno di anello aperto $L(jw) = \frac{K}{(1+j w\tau)jw}$ dove $K$ è un numero reale.
Aldilà del fatto che potrei studiare le radici del polinomio caratteristico e trovare per quali K il sistema è stabile o meno (le radici dovranno essere a parte reale negativa), volendo studiare la stabilità guardando il diagramma di Nyqsuit posso iniziare facendo ad esempio la seguente ipotesi.
Supponiamo $\tau < 0$ ovvero il polo reale è negativo.
Quindi senza perdita di generalità poniamo $\tau = -1$ e $L(jw) = \frac{K}{jw(1 - jw)}$.
Il modulo della funzione è $|L(jw)| = \frac{|K|}{w\sqrt{1+w^{2}}}$ mentre la fase vale $\phi(L(jw)) = \phi(K) - 90 - arctg(-w)$.

1) w = 0 : il modulo è infinito e la fase $ \phi(K) - 90$
2) w = +infinito: il modulo vale 0 e la fase $\phi(K)$

K > 0
1) w = 0: Il modulo è infinito e la fase $- \pi/2$
2) w = + infinito: il modulo vale 0 e la fase 0

K < 0
1) w = 0: Il modulo è infinito e la fase $ - \frac{3 \pi}{2}$
2) w = + infinito: il modulo vale 0 e la fase $- \pi$

Adesso io con questi valori che spero siano esatti come faccio a disegnare il diagramma di Nyqsuit? Ho cercato su internet ma non ho ben chiaro come partono i diagrammi quando la fase è nulla, o vale pi greco o per altri valori. Inoltre quando il modulo è infinito come faccio a sapere da quale parte del diagramma parte (asse immaginario ... ) In particolare dovrei studiare la stabilità del sistema al variare di K.

[ingres]

Per K>0 in pratica se w>0 si parte da -90 gradi con modulo infinito (diciamo quasi vicino all'asse immaginario negativo), si hanno quindi dei valori complessi con parte reale positiva e parte immaginaria negativa (basta sostituire qualche valore per w) e quindi ci si avvicina allo zero con fase tendente a zero.
Il grafico per w<0 è speculare rispetto all'asse reale, per cui si può disegnare immediatamente senza studiarlo separatamente.

Il grafico totale così ottenuto si chiude poi con un percorso in senso orario all'infinito dalla parte del semiasse positivo.

In conclusione: non ci sono rotazioni attorno al punto (-1/K,0) per qualunque valore di K>0, e poichè la funzione in anello aperto ha un polo a parte reale positiva, non è possibile soddisfare il criterio di Nyquist e il sistema è comunque instabile per qualunque K>0.

Il caso K<0 è abbastanza simile e conduce ad analogo risultato.