[Controlli Automatici] Calcolo fase in determinato punto

[koloko]

Allego una traccia di esercizio sui diagrammi di Bode, del quale non riesco a capire la fase in un determinato punto delle omega. In particolare il punto per omega=0,2. Un primo tentativo che ho fatto è stato: dato che da 0,1 a 0,2 c'è una pendenza di -45°/decade, e dato che una variazione da 0,1 a 0,2 corrisponde ad un decimo di decade, pertanto la variazione in gradi in tale intervallo sarebbe di un decimo di 45° perciò 4,5°. Quindi -90° - 4,5° = -94,5°. Tuttavia il professore invece ha messo -103,6°

Un amico mi ha fatto notare che la scala è logaritmica, mentre io ho ragionato come se fosse lineare. Pertanto ho provato a convertire un intervallo di omega=0,1 dalla scala logaritmica alla scala lineare

[tex]0,1=20\log(x)\Longrightarrow\frac{0,1}{20}=\log(x)\Longrightarrow10^{\frac{0,1}{20}}=x\Longrightarrow x=1,01[/tex]

Tuttavia [tex]-90{^\circ}-45{^\circ}\cdot1,01[/tex] è sbagliato

[RenzoDF]

Lascia perdere quel 20 che serve solo per i guadagni e ricordando invece che il logaritmo di un rapporto è pari alla differenza dei logaritmi, prova a calcolare il logaritmo (ovviamente in base 10) di 0.2/0.1, ti accorgerai che approssimativamente è pari a 0.3 e di conseguenza l'intervallo fra le frequenze angolari 0.2 rad/s e 0.1 rad/s corrisponderà al 30% dell'intervallo [0.1, 1] ; ne segue che (usando la rappresentazione asintotica) con una pendenza di -45°/decade, a partire dai -90°, avrai una discesa di $-45°\times 0.3\approx -13.5°$ e quindi $-90°-13.5°=-103.5°$.
Prova ora a verificare la fase per $\omega=5 (rad)/s$

[koloko]

"RenzoDF":prova a calcolare il logaritmo (ovviamente in base 10) di 0.2/0.1

Non capisco da dove venga fuori 0,2/0,1

[RenzoDF]

"Caterpillar":... Non capisco da dove venga fuori 0,2/0,1 ...

Come di certo sai, il logaritmo di un rapporto è pari alla differenza dei logaritmi,

$log (a/ b)=log \a-\log b$

di conseguenza, presa come unità di misura unitaria la differenza (sull'asse logaritmico) fra due pulsazioni distanti una decade, $\omega_1=10\ \omega_2$,

$log_{10} \omega_1-log_{10} \omega_2=log_{10} (\omega_1/ \omega_2)=log_{10} 10=1 $

avremo che, per trovare la "frazione di decade" corrispondente a due generiche frequenze (per esempio quelle da te considerate)

"Caterpillar":... In particolare il punto per omega=0,2. Un primo tentativo che ho fatto è stato: dato che da 0,1 a 0,2 c'è una pendenza di -45°/decade, e dato che una variazione da 0,1 a 0,2 corrisponde ad un decimo di decade, ...

$\omega_1=0.2 \ {rad}/s \qquad , \qquad \omega_2=0.1 \ {rad}/s$

$log_{10} \omega_1-log_{10} \omega_2=log_{10} (\omega_1/ \omega_2) =log_{10} (0.2/0.1) \approx 0.3$

ovvero corrispondente a circa il 30% della decade.